2025年广东省东莞中学中考数学三模试卷

2025年广东省东莞中学中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）. 1．（3分）下列实数中最大的是（　　） A．π B． C．|﹣2| D．1 2．（3分）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著名旅游景点中，随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时AB∥CD，∠1＝73°，则∠2的度数为（　　） A．73° B．93° C．107° D．117° 5．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程mx+3y＝5的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．7 D．﹣7 6．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长是（　　） A．4 B．6 C．9 D．16 7．（3分）方程解是（　　） A．x＝2 B．x＝5 C．x＝1 D．x＝﹣2 8．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于原点的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（3分）如果2xmy2与﹣7x2yn﹣1可合并，则m+n为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4 10．（3分）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，S1、S2分别表示两个阴影部分的面积．若m+n＝9，mn＝15，则S1﹣S2＝（　　） A．6 B．21 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 11．（3分）要使分式有意义，则x的取值应该满足的条件为 　 　 ． 12．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝82°，则∠D＝ 　 　 °． 13．（3分）如图，一名滑雪运动员沿着坡度为1：的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了　 　 米． 14．（3分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y＝　 　 ． 15．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝6，∠ABC＝67.5°，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作▱PAQC，PQ，AC交于点O，则对角线PQ长度的最小值为 　 　 ． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，16题6分，17，18题各7分，共20分） 16．（6分）计算：． 17．（7分）如图，已知每个小正方形的边长为1cm，O、A、B都在小正方形顶点上，扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图． （1）计算这个圆锥侧面展开图的面积； （2）求这个圆锥的底面半径． 18．（7分）某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由8位评委打分（满分100分），广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持． 数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理成如图统计图： 数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如表分析： 同学 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7.25 b 7 1.69 乙 a 7.5 c 3.94 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可） 四、解答题（二）（本大题共3小题，19，20题各9分，21题10分，共28分） 19．（9分）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝6米，AB＝2米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上． （1）求BC段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； （2）出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离； （3）若要在滑梯BC上的Q点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到BE的距离不超过2米，求点Q到水面的距离至少多少米？ 20．（9分）某小区有一个长为50米，宽为30米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道（通道与停车场的边平行或垂直），小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 21．（10分）阅读以下材料，回答问题： 夏天到了，小姜想利用学过的数学知识做一个风筝．她在网上查找了制作风筝的注意事项： （1）轻质耐用：优先选用竹篾、塑料棒等轻质且有一定强度的骨架材料，搭配宣纸、尼龙布等轻便蒙面材料，以减轻自重并提升抗风性； （2）对称平衡：确保骨架左右对称，避免飞行时偏斜失衡． 制作准备 小姜找到一块形状为平行四边形ABCD的尼龙布料以及长度足够长的轻质竹条，其中AB＝40cm，AD＝64cm，∠B＝60°． 制作过程 （1）如图1，小姜以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E．沿着EF将四边形ABEF剪下． （2）如图2，为了美化风筝，小姜打算将剩余布料四边形CDFE平均裁成四条布料，每条两端分别剪去一个直角三角形，做成长方形条状，粘在风筝上作为尾带． 任务1 裁剪下来的四边形ABEF是什么形状，是否符合风筝的形状要求？请说明理由． 任务2 用与线段AE和BF等长的竹条作为风筝骨架并固定，求需要竹条的总长度． 任务3 直接写出每条长方形尾带的长． 五、解答题（三）（本大题共2个小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．（13分）【问题呈现】 （1）△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系． ①如图1，当m＝1时，AD与BE的位置关系为 　 　 ； ②如图2，当m≠1时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （2）某村有一块形状为直角三角形的空地△ABC（如图3），村长打算在点C的周边，围出形状为直角三角形的区域△CDE作为菜地（点C，D，E接逆时针方向排列），且点A，E，D要在同一直线上．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，千米，DE＝2千米，BC＝2CA，CE＝2CD，求点E到点B的距离． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴正半轴交于点C，． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E，F是线段CB上的动点（点F在点E的右侧），且EF＝2，是否存在这样的点E、F使得AE＝EF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）动直线l：y＝kx﹣k与抛物线交于P、Q两点，以PQ为直径的圆与PQ上方的抛物线始终交于一定点D，请求定点D的坐标． 2025年广东省东莞中学中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C A C C D B C 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）. 1．（3分）下列实数中最大的是（　　） A．π B． C．|﹣2| D．1 【答案】A 【分析】先把C选项中的数化简，然后比较4个选项中数的大小，找出最大的数即可． 【解答】解：|﹣2|＝2， ∵， ∴， ∴四个选项中最大的数是π， 故选：A． 2．（3分）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【解答】解：从上面看，可得选项D的图形． 故选：D． 3．（3分）在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著名旅游景点中，随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的运算方式直接运算即可． 【解答】解：由题意可得： ， 故选：B． 4．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时AB∥CD，∠1＝73°，则∠2的度数为（　　） A．73° B．93° C．107° D．117° 【答案】C 【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝75°，再根据邻补角的定义求解即可得． 【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠1＝73°， ∴∠3＝∠1＝73°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣73°＝107°， 即∠2的度数为107°， 故选：C． 5．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程mx+3y＝5的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．7 D．﹣7 【答案】A 【分析】根据题意，把x＝﹣2，y＝3代入方程mx+3y＝5，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程mx+3y＝5的一个解， ∴将x＝﹣2，y＝3代入，得﹣2m+3×3＝5， 解得：m＝2． 故选：A． 6．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长是（　　） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【解答】解：设△DEF的周长是x， ∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3，△ABC的周长为6， ∴， 解得：x＝9， 经检验，x＝9是原方程的解， 故选：C． 7．（3分）方程解是（　　） A．x＝2 B．x＝5 C．x＝1 D．x＝﹣2 【答案】C 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：2x+2＝x+3， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x+3）≠0， 故原方程的解为x＝1， 故选：C． 8．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于原点的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求出点的坐标，由此即可得． 【解答】解：根据题意可知，点P关于原点对称的点的坐标为（3，﹣1）， 点（3，﹣1）在第四象限， 即在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于原点的对称点在第四象限． 故选：D． 9．（3分）如果2xmy2与﹣7x2yn﹣1可合并，则m+n为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4 【答案】B 【分析】根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：2xmy2与﹣7x2yn﹣1可以合并，得 m＝2，n﹣1＝2． 解得m＝2，n＝3， m+n＝2+3＝5． 故选：B． 10．（3分）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，S1、S2分别表示两个阴影部分的面积．若m+n＝9，mn＝15，则S1﹣S2＝（　　） A．6 B．21 C． D． 【答案】C 【分析】根据（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn求出m﹣n，再由S1﹣S2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行计算即可． 【解答】解：∵m+n＝9，mn＝15， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝81﹣60＝21， ∴m﹣n（取正值）， ∴S1﹣S2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝9． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 11．（3分）要使分式有意义，则x的取值应该满足的条件为 　x≠﹣5　 ． 【答案】x≠﹣5． 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【解答】解：由题意可得：分母不为零时，分式有意义， 即x+5≠0， 解得x≠﹣5， 故答案为：x≠﹣5． 12．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝82°，则∠D＝ 　98　 °． 【答案】98． 【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝82°， ∴∠D＝180°﹣82°＝98°， 故答案为：98． 13．（3分）如图，一名滑雪运动员沿着坡度为1：的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了　50　 米． 【答案】50． 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝100m， 则ACAB＝50（m）， 故答案为：50． 14．（3分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y＝　b（a+2）　 ． 【答案】b（a+2）． 【分析】由图形发现6＝2×（1+2），20＝4×（4+2），42＝6×（5+2），总结规律即可得y＝b（a+2）． 【解答】解：由6＝2×（1+2），20＝4×（4+2），42＝6×（5+2）， 得y＝b（a+2）． 故答案为：b（a+2）． 15．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝6，∠ABC＝67.5°，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作▱PAQC，PQ，AC交于点O，则对角线PQ长度的最小值为 　3　 ． 【答案】3． 【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形， ∴AO＝CO，OP＝OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过点O作OP'⊥AB于点P'， ∵∠BAC＝45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AOAC＝3， ∴OP'＝AO•sin45°＝3， ∴PQ的最小值＝2OP′＝3， 故答案为：3． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，16题6分，17，18题各7分，共20分） 16．（6分）计算：． 【答案】2． 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、二次根式和绝对值，再计算加减． 【解答】解： ＝1﹣2+23 ＝2． 17．（7分）如图，已知每个小正方形的边长为1cm，O、A、B都在小正方形顶点上，扇形OAB是某个圆锥的侧面展开图． （1）计算这个圆锥侧面展开图的面积； （2）求这个圆锥的底面半径． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用图形可以得到扇形的圆心角，和半径，利用扇形面积公式计算扇形的面积和底面半径即可． 【解答】解：（1）由图可知，OB2； 则弧AB的长为π， ∴面积为：2π； （2）设底面半径为r， 则2πrπ， r． 这个圆锥的底面半径为cm． 18．（7分）某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由8位评委打分（满分100分），广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持． 数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理成如图统计图： 数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如表分析： 同学 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7.25 b 7 1.69 乙 a 7.5 c 3.94 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝ 　7.25　 ，b＝ 　7　 ，c＝ 　9　 ； （2）甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可） 【答案】（1）7.25；7；9；（2）见解析（答案不唯一）． 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义可得答案； （2）根据方差和中位数来看即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，甲同学的决赛成绩为：6，5，7，9，8，7，9，7， ∴甲同学的决赛成绩从小到大为：5，6，7，7，7，8，9，9， ∴中位数为第4、5个之和的平均值， ∴， ∵乙同学的决赛成绩为：5，4，6，8，10，9，7，9， ∴， ∵9出现2次，次数最多， ∴众数c＝9， 故答案为：7.25；7；9； （2）甲的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是7.25分，从方差来看，甲成绩的方差为1.69，乙成绩的方差为3.94，甲成绩的方差小于乙成绩的方差， 所以甲认为自己能够担任播音主持； 乙的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是7.25分，从中位数来看，乙的成绩的中位数为7.5分，大于甲的成绩的中位数7分，所以乙认为自己能够担任播音主持． 四、解答题（二）（本大题共3小题，19，20题各9分，21题10分，共28分） 19．（9分）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝6米，AB＝2米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上． （1）求BC段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）； （2）出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离； （3）若要在滑梯BC上的Q点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到BE的距离不超过2米，求点Q到水面的距离至少多少米？ 【答案】（1）y； （2）6米； （3）3米． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）设点C的坐标为（m，1.5）并代入y与x的函数关系式，求出m的值再减去AB的长即可； （3）设点Q的坐标为（a，b）并代入y与x的函数关系式，将a用b表示出来，根据a﹣2≤2列关于b的不等式并求其解集，从而得到b的最小值即可． 【解答】解：（1）∵OA＝6米，AB＝2米， ∴点B的坐标为（2，6）， 设BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y（k为常数，且k≠0）， 将坐标B（2，6）代入y， 得6， 解得k＝12， ∴BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y． （2）设点C的坐标为（m，1.5）， 将C（m，1.5）代入y， 得1.5， 解得m＝8， 8﹣2＝6（米）， ∴B，C之间的水平距离为6米． （3）设点Q的坐标为（a，b）， 将Q（a，b）代入y， 得b， ∴a， 根据题意，得2≤2， 解得b≥3， ∴点Q到水面的距离至少3米． 20．（9分）某小区有一个长为50米，宽为30米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道（通道与停车场的边平行或垂直），小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 【答案】（1）通道的宽是2米； （2）当每个车位的月租金上涨150元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为12250元． 【分析】（1）设通道的宽是x米，根据题意可得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝1196，然后进行计算即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨m元，对外开放的总月租金收入为y元，然后根据总租金＝每个车位的租金×租出的车位数，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）设通道的宽是x米， 由题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝1196， 整理得：x2﹣40x+76＝0， 解得：x1＝2，x2＝38（舍去）， ∴通道的宽是2米； （2）设每个车位的月租金上涨m元，对外开放的总月租金收入为y元， 由题意得：y＝（200+m）（50） m2+30m+10000， ∵a，b＝30， ∴150， ∴当m＝150时，y最大＝（200+150）×（50﹣15）＝12250（元）， ∴当每个车位的月租金上涨150元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为12250元． 21．（10分）阅读以下材料，回答问题： 夏天到了，小姜想利用学过的数学知识做一个风筝．她在网上查找了制作风筝的注意事项： （1）轻质耐用：优先选用竹篾、塑料棒等轻质且有一定强度的骨架材料，搭配宣纸、尼龙布等轻便蒙面材料，以减轻自重并提升抗风性； （2）对称平衡：确保骨架左右对称，避免飞行时偏斜失衡． 制作准备 小姜找到一块形状为平行四边形ABCD的尼龙布料以及长度足够长的轻质竹条，其中AB＝40cm，AD＝64cm，∠B＝60°． 制作过程 （1）如图1，小姜以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E．沿着EF将四边形ABEF剪下． （2）如图2，为了美化风筝，小姜打算将剩余布料四边形CDFE平均裁成四条布料，每条两端分别剪去一个直角三角形，做成长方形条状，粘在风筝上作为尾带． 任务1 裁剪下来的四边形ABEF是什么形状，是否符合风筝的形状要求？请说明理由． 任务2 用与线段AE和BF等长的竹条作为风筝骨架并固定，求需要竹条的总长度． 任务3 直接写出每条长方形尾带的长． 【答案】任务一：制作风筝在形状上要求图形对称；菱形是轴对称图形，符合要求，理由见解答； 任务二：40cm； 任务三：34cm． 【分析】在任务一中，需要认真读题，明确尺规作图的结果是四边形ABEF为菱形，结合AB＝4AF，通过△OAF≌△OBE，证明AF＝BE，则证明菱形ABEF． 在任务二中，通过∠ABE＝60°，可知△ABE为等边三角形，AE＝AB＝40cm；再结合Rt△OAB求出OB，再求出BF即可． 任务三中，剪掉的部分是斜边为6cm的直角三角形，其短直角边为3cm，所以尾带长为40﹣2×3＝34cm． 【解答】解：任务一：由尺规作图可知，AF＝BE，AG为∠FAB的角平分线． ∵AB＝AF，∠FAB＝∠EAB，EB＝EF， ∴AO⊥BE，OB＝OF， 又∵AF∥BE， ∴∠FAO＝∠BEO， 又∵∠AOF＝∠EOB， ∴△OAF≌△OBE（AAS）， ∴AF＝BE， ∴AB＝AF＝BE＝EF，四边形ABEF是菱形． 制作风筝在形状上要求图形对称；菱形是轴对称图形，符合要求． 任务二：∵BA＝BE，∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形． ∴AE＝AB＝40cm； ∵BO⊥AE， ∴在Rt△AOB中，， 任务三：取其中一条尾带CDMN，四边形CDMN为平行四边形． 如图作MH⊥CD，CK⊥MN，DM＝（64﹣40）÷4＝6cm，∠D＝60°， ∴DH＝6×cos60°＝3cm， 同理NK＝DH＝3cm， ∴CH＝40﹣3﹣3＝34（cm）． ∴每条长方形尾带的长34cm． 五、解答题（三）（本大题共2个小题，22题13分，23题14分，共27分） 22．（13分）【问题呈现】 （1）△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系． ①如图1，当m＝1时，AD与BE的位置关系为 　AD⊥BE　 ； ②如图2，当m≠1时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （2）某村有一块形状为直角三角形的空地△ABC（如图3），村长打算在点C的周边，围出形状为直角三角形的区域△CDE作为菜地（点C，D，E接逆时针方向排列），且点A，E，D要在同一直线上．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，千米，DE＝2千米，BC＝2CA，CE＝2CD，求点E到点B的距离． 【答案】（1）①AD⊥BE；②成立，证明见解析； （2）6千米或千米． 【分析】（1）①通过观察图形和简单的几何直观判断，当给定特定条件时，可直接得出AD与BE的位置关系为垂直； ②延长BE交AC于点M，交AD于点N，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证△BCE∽△ACD，再根据相似三角形对应角相等，得到∠CAG＝∠CBF，而∠CAG+∠AGC＝90°，所以∠CBF+∠BGF＝90°，进而得出∠BFG＝90°，即AD⊥BE； （2）①当点D在线段AE上时，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，求解，舍去负值； ②当点E在线段AD上时，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，求解，舍去负值． 【解答】解：（1）①AD⊥BE（或垂直）， 如图，延长BE交AD于点G， ∵m＝1， ∴AC＝BC，DC＝EC， ∵∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠DCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB＝90°， ∴∠DCA＝∠ECB， 在△DCA和△ECB中， ， ∴△DCA≌△ECB（SAS）， ∴∠DAC＝∠CBE， ∵∠GAB+∠ABG＝∠DAC+∠CAB+∠ABG ＝∠CBE+∠CAB+∠ABG＝∠CAB+∠CBA ＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°， ∴BE⊥AD． 故答案为：AD⊥BE； ②当m≠1时，（1）中的结论还成立，证明如下： 延长BE交AC于点M，交AD于点N，如图： ∵CB＝mCA，CE＝mCD， ∴， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，即∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE∽△ACD， ∴∠CBE＝∠CAD， ∵∠CMB＝∠NMA， ∴∠MCB＝∠ANM， ∵∠MCB＝90°， ∴BE⊥AD （2）①当点D在线段AE上时，如图： 同①②可得△BCE∽△ACD，BE⊥AD， ∴， ∴ADBE， ∵DE＝2千米， ∴AE＝2BE， ∵AE2+BE2＝AB2， ∴， 解得BE（﹣6已舍去）； ②当点E在线段AD上时，如图： 同理可得， 解得BE＝6（负值已舍去）； 综上所述，取水点E到入口B的距离为6千米或千米． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴正半轴交于点C，． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E，F是线段CB上的动点（点F在点E的右侧），且EF＝2，是否存在这样的点E、F使得AE＝EF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）动直线l：y＝kx﹣k与抛物线交于P、Q两点，以PQ为直径的圆与PQ上方的抛物线始终交于一定点D，请求定点D的坐标． 【答案】（1）yx2+x； （2）存在，E（，）； （3）D（1，2）． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线BC的解析式，设E（m，m），根据EF＝AE＝2，得到方程4＝（m+1）2+（m）2，求出m的值即可求E点坐标； （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由kx﹣kx2+x，可得x1+x2＝2﹣2k，x1•x2＝﹣2k﹣3，设PQ为直径的圆的圆心为M，则M（1﹣k，﹣k2），则PQ＝2，设D（n，n2+n），根据MDPQ，可得（m﹣1）2（m+1）2（m﹣3）2﹣3﹣[（m﹣1）k+1]2＝0，由D是定点，可知m＝1，即可求D点坐标． 【解答】解：（1）∵B（3，0）， ∴BO＝3， ∵， ∴OC， ∴C（0，）， 将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴yx2+x； （2）存在这样的点E、F使得AE＝EF，理由如下： 设直线BC的解析式为y＝tx， ∴3t0， 解得t， ∴yx， 设E（m，m）， ∵EF＝AE＝2， ∴4＝（m+1）2+（m）2， 解得m＝﹣1（舍）或m， ∴E（，）； （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， kx﹣kx2+x， 整理得x2+2（k﹣1）x﹣2k﹣3＝0， ∴x1+x2＝2﹣2k，x1•x2＝﹣2k﹣3， 设PQ为直径的圆的圆心为M，则M（1﹣k，﹣k2）， PQ|x1﹣x2|＝2， 设D（n，n2+n）， ∴MDPQ， ∴（1﹣k﹣n）2+（n2+nk2）2＝（1+k2）（4+k2）， 整理得（m﹣1）2（m+1）2（m﹣3）2﹣3﹣[（m﹣1）k+1]2＝0， ∵D是定点， ∴m＝1， ∴D（1，2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$