2025年广东省广州市华南师大附中增城中学中考数学三模试卷

2025年广东省广州市华南师大附中增城中学中考数学三模试卷 一.选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．（3分）下列四个图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）2025年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒120帧，每帧画面仅用时大约0.00833s，使得画面效果更加震撼，数据0.00833可用科学记数法表示为（　　） A．83.3×10﹣3 B．0.833×10﹣4 C．8.33×10﹣3 D．8.33×10﹣4 3．（3分）如图是单位长度为1的数轴，点A，B是数轴上的点，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2m2+m2＝3m4 B．2m2•4m2＝8m2 C．m5÷m3＝m2 D．（3n2）2＝3n4 5．（3分）下列运用等式性质变化错误的是（　　） A．若a＝b，则a+3＝b+3 B．若﹣3x＝﹣3y，则x＝y C．若a﹣2＝b﹣2，则a＝b D．若x＝y，则 6．（3分）由6个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）下列说法正确的是（　　） A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 8．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，则∠AOB的度数为（　　） A．22.5° B．45° C．30° D．60° 9．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　） A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 二.填空题（本题有6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）抛物线y＝（x﹣4）2+5顶点坐标是 　 　 ． 12．（3分）若点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称，则a﹣b＝ 　 　 ． 13．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 14．（3分）如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 　 　 ． 15．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则△ACD的面积为 　 　 ． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D，E分别是边AB和BC上的两点，连结DE，将△BDE沿DE折叠，点B恰好落在AC的中点M处，BM与DE交于点F．下列四个结论：①DF＝EF；②ME＝BE；③DM⊥AM；④tan∠CME，其中错误的是 　 　 ．（写出错误结论的序号） 三.解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17．（4分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF．求证：△ABE∽△ECF． 18．（4分）解不等式组：． 19．（6分）已知二次函数y＝x2+2x+m的图象与y轴的交点在x轴的下方，化简：． 20．（6分）我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表． 志愿服务时间（小时） 频数 A 0＜x≤50 a B 50＜x≤100 10 C 100＜x≤150 16 D 150＜x≤200 20 请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题： （1）表中a＝　 　 ；扇形统计图中“C”部分所占百分比为　 　 ，若我市共有3000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于100小时的教职工人数大约为　 　 人； （2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与BC边相切于点D． （1）尺规作图：作AE∥BC交⊙O于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）． （2）连接CO并延长交AE于点F．若OA＝3，BD＝6，求AF的长． 22．（10分）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共580人将参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表： 甲型号大客车 乙型号大客车 满座载客量（人/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1200 800 （1）若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？ （2）设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？ 23．（10分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．（参考数据：sin37°，tan37°，sin53°，tan53°） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q，此时∠QPM＝90°，求Q点到N点的距离． 24．（12分）如图1，已知∠MAN＝60°，在射线AM、AN上分别截取点B、C，使AB＝AC＝8． （1）求证：AB＝BC； （2）如图2，以BC为直径在BC的上方作一个半圆，点D为半圆上的一个动点，连接AD交BC于点E． ①当DB⊥AB时，求AD的长． ②在线段AC上取一点F，连接BF交AD于点G，若BF＝AE，当点D在半圆BC上从点B运动到点C时，求点G经过的路径长． 25．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D． （Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标． 2025年广东省广州市华南师大附中增城中学中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C． C C D C D B A C 一.选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．（3分）下列四个图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案． 【解答】解：A、C、D中的图形不是轴对称图形，故A、C、D不符合题意； B图形是轴对称图形，故B符合题意． 故选：B． 2．（3分）2025年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒120帧，每帧画面仅用时大约0.00833s，使得画面效果更加震撼，数据0.00833可用科学记数法表示为（　　） A．83.3×10﹣3 B．0.833×10﹣4 C．8.33×10﹣3 D．8.33×10﹣4 【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.00833＝8.33×10﹣3． 故选：C． 3．（3分）如图是单位长度为1的数轴，点A，B是数轴上的点，若点A表示的数是﹣3，则点B表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【解答】解：∵点A表示的数是﹣3，点B距离点A4个单位， ∴点B表示的数是﹣3+4＝1， 故选：C． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2m2+m2＝3m4 B．2m2•4m2＝8m2 C．m5÷m3＝m2 D．（3n2）2＝3n4 【答案】C 【分析】利用单项式乘单项式法则，合并同类项法则，同底数幂除法法则，积的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：2m2+m2＝3m2，则A不符合题意， 2m2•4m2＝8m4，则B不符合题意， m5÷m3＝m2，则C符合题意， （3n2）2＝9n4，则D不符合题意， 故选：C． 5．（3分）下列运用等式性质变化错误的是（　　） A．若a＝b，则a+3＝b+3 B．若﹣3x＝﹣3y，则x＝y C．若a﹣2＝b﹣2，则a＝b D．若x＝y，则 【答案】D 【分析】根据等式的性质解答． 【解答】解：A、若a＝b的两边同时加上3，等式仍成立，则a+3＝b+3，故本选项不符合题意． B、若﹣3x＝﹣3y的两边同时除以﹣3，等式仍成立，则x＝y，故本选项不符合题意． C、若a﹣2＝b﹣2的两边同时加上2，等式仍成立，则a＝b，故本选项不符合题意． D、若x＝y≠0时，等式不成立，故本选项符合题意． 故选：D． 6．（3分）由6个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看，底层是四个小正方形，上层中间靠左边是一个小正方形， 故选：C． 7．（3分）下列说法正确的是（　　） A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【分析】根据众数，中位数，随机事件，全面调查与抽样调查和方差的意义逐一判断即可解答． 【解答】解：A、一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数都是3.5，故不符合题意； B、“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故不符合题意； C、了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故不符合题意； D、甲组数据的方差s0.21，乙组数据的方差s0.03，则乙组数据比甲组数据稳定，故D符合题意； 故选：D． 8．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，则∠AOB的度数为（　　） A．22.5° B．45° C．30° D．60° 【答案】B 【分析】由在⊙O中，OA⊥BC，根据垂径定理可得：，又由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数． 【解答】解：在⊙O中，OA⊥BC， ∴， ∵∠CDA＝22.5°， ∴∠AOB＝2∠CDA＝45°． 故选：B． 9．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设竿长x尺，绳索长y尺，因为第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，则x+5＝y；第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，则x﹣5． 【解答】解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为x﹣5，那么方程组是． 故选：A． 10．（3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　） A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】由图1中点（440，2）可判断选项A；由图2中图象的增减性可判断选项B、C；由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大可判断选项D． 【解答】解：由图1可知，当P＝440W时，I＝2A，故选项A说法正确，不符合题意； 由图2可知，Q随I的增大而增大，故选项B说法正确，不符合题意； 由图2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故选项C说法错误，符合题意； 由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大，所以P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 二.填空题（本题有6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）抛物线y＝（x﹣4）2+5顶点坐标是 　（4，5）　 ． 【答案】（4，5）． 【分析】由抛物线解析式的顶点式的特点即可解答． 【解答】解：∵y＝（x﹣4）2+5， ∴顶点坐标为（4，5）， 故答案为：（4，5）． 12．（3分）若点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称，则a﹣b＝ 　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【解答】解：∵点A（a，﹣3）与点B（﹣2，b+2）关于原点对称， ∴a＝2，b+2＝3， 解得a＝2，b＝1， ∴a﹣b＝2﹣1＝1， 故答案为：1． 13．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥6　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【解答】解：由题意可得x﹣6≥0， 解得x≥6， 故答案为：x≥6． 14．（3分）如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 　5　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【解答】解：根据题意得2πr， 解得r＝5． 故答案为：5． 15．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则△ACD的面积为 　　 ． 【答案】． 【分析】设OB＝a，⊙A的半径为r，则AB＝AC＝r，BC＝2r，依题意得点C（a，2r），则a×2r＝6，即ar＝3，再根据S△ACDAC•OB可得出△ACD的面积． 【解答】解：设OB＝a，⊙A的半径为r， 则AB＝AC＝r，BC＝2r， ∵⊙A与x轴相切于点B， ∴BC⊥x轴， ∴点C的坐标为（a，2r）， ∵点C在函数（x＞0）的图象上， ∴a×2r＝6， ∴ar＝3， ∴S△ACDAC•OBar． 故答案为：． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D，E分别是边AB和BC上的两点，连结DE，将△BDE沿DE折叠，点B恰好落在AC的中点M处，BM与DE交于点F．下列四个结论：①DF＝EF；②ME＝BE；③DM⊥AM；④tan∠CME，其中错误的是 　①②　 ．（写出错误结论的序号） 【答案】①②． 【分析】①由折叠的性质可得ED是BM的垂直平分线，假设DF＝EF，则四边形BDME为菱形，MB平分∠ABC，由∠ACB＝90°，∠B＝30°，M是AC的中点，得出BM不是∠ABC的平分线，即可判断，②由BM不是∠ABC的平分线，可得∠MDA＝∠DBM+∠DMB≠30°，在△ADM 中∠MAD+∠MDA＝60°+∠MDA≠90°，即可判断，③设CM＝a，ME＝x，应用勾股定理，表示出CE的长度，在Rt△CME中，ME2＝CM2+CE2，即可求得：，根据锐角三角函数的定义，即可判断． 【解答】解：由折叠的性质可得：EB＝EM，DB＝DM， ∴ED是BM的垂直平分线，假设DF＝EF，则四边形BDME为菱形， ∴∠EBF＝∠DBF，即：MB平分∠ABC， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，M是AC的中点， ∴BM不是∠ABC 的平分线， ∴假设DF＝EF错误，故①错误， ∵BM不是∠ABC 的平分线， ∴∠DBM＝∠DBM≠15°， ∴∠MDA＝∠DBM+∠DMB≠30°， ∴∠MAD+∠MDA＝60°+∠MDA≠90°，故②错误， 设CM＝a，ME＝x，则：AM＝a，EB＝x，AC＝2a，AB＝2AC＝4a，由勾股定理得：， ∴， 在Rt△CME 中，ME2＝CM2+CE2，即：， 整理得：， ∴，故③正确， 综上所述，只有①②错误， 故答案为：①②． 三.解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17．（4分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF．求证：△ABE∽△ECF． 【答案】见解答． 【分析】先根据正方形的性质得到∠B＝∠C＝90°，再证明∠AEB＝∠EFC，然后根据相似三角形的判定方法得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°，∠CEF+∠EFC＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC， 而∠B＝∠C， ∴△ABE∽△ECF． 18．（4分）解不等式组：． 【答案】见试题解答内容 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x＜2， ∴原不等式组的解集为：1＜x＜2． 19．（6分）已知二次函数y＝x2+2x+m的图象与y轴的交点在x轴的下方，化简：． 【答案】1． 【分析】由二次函数y＝x2+2x+m的图象与y轴的交点在x轴的下方可知m＜0，然后化简代数式即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴m＜0， ∴ ＝|2﹣m| ＝|2﹣m|﹣|m﹣1| ＝2﹣m﹣（1﹣m） ＝2﹣m﹣1+m ＝1． 20．（6分）我市教育局想了解各学校教职工参与志愿服务的情况，在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表． 志愿服务时间（小时） 频数 A 0＜x≤50 a B 50＜x≤100 10 C 100＜x≤150 16 D 150＜x≤200 20 请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题： （1）表中a＝　4　 ；扇形统计图中“C”部分所占百分比为　32%　 ，若我市共有3000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于100小时的教职工人数大约为　2160　 人； （2）若陈老师和李老师参加志愿服务活动，社区随机安排他们两人到三个不同的路口做文明劝导员．他们被安排在每一个路口的可能性相同．请用列表或画树状图的方法求出李老师和王老师恰好被安排在同一路口的概率． 【答案】（1）4；32%，2160； （2）． 【分析】（1）先根据“B”部分的人数与占比求得总人数，进而求得a的值，根据“C”的人数除以总人数求得占比，进而根据样本估计总体求得志愿服务时间多于100小时的教职工人数； （2）设三个路口分别为1，2，3，画树状图法求概率，即可求解． 【解答】解：（1）10÷20%＝50人， ∴a＝4， 扇形统计图中“C”部分所占百分比为， 若我市共有3000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于100小时的教职工人数大约为， 故答案为：4；32%，2160． （2）设三个路口分别为1，2，3，画树状图如下： 共有9种结果，并且它们出现的可能性相等，李老师和王老师在同一路口的结果有3种． 所以，P． 21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与BC边相切于点D． （1）尺规作图：作AE∥BC交⊙O于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）． （2）连接CO并延长交AE于点F．若OA＝3，BD＝6，求AF的长． 【答案】（1）见解答． （2）AF． 【分析】（1）在AB的上方作∠BAE＝∠B，交⊙O于点E，则AE即为所求． （2）连接OD，由切线的性质可得OD⊥BC，OD＝OA＝3，则OB，AB＝BC＝OB+OA.可证明△AOF∽△BOC，得，即，求出AF的值即可． 【解答】解：（1）如图，在AB的上方作∠BAE＝∠B，交⊙O于点E， 则AE即为所求． （2）连接OD， ∵以点O为圆心，OA长为半径的圆与BC边相切于点D， ∴OD⊥BC，OD＝OA＝3， ∴OB， ∴AB＝BC＝OB+OA． ∵AE∥BC， ∴∠OAF＝∠B，∠AFO＝∠BCO， ∴△AOF∽△BOC， ∴， 即， ∴AF． 22．（10分）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共580人将参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表： 甲型号大客车 乙型号大客车 满座载客量（人/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1200 800 （1）若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？ （2）设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）8，4； （2）8，12800． 【分析】（1）分别设甲、乙型号的大客车的辆数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可． 【解答】解：（1）设租用甲型号大客车a辆，租用乙型号大客车b辆． 根据题意，得， 解得． 答：租用甲型号大客车8辆，租用乙型号大客车4辆． （2）租用乙型号大客车（12﹣x）辆， 根据题意，得55x+35（12﹣x）≥580， 解得x≥8， ∴8≤x≤12， y＝1200x+800（12﹣x）＝400x+9600， ∵400＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝8时y值最小，y最小＝400×8+9600＝12800． 答：当租用甲型号大客车8辆时，租车的总费用最少，最少费用是12800元． 23．（10分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．（参考数据：sin37°，tan37°，sin53°，tan53°） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q，此时∠QPM＝90°，求Q点到N点的距离． 【答案】（1）点P到地面的高度约为4m； （2）Q点到N点的距离约为7m． 【分析】（1）作PB⊥QN于点B，延长ME交PB于点A．易得四边形ABNM是矩形，那么AB＝MN，AM＝BN，根据37°的正弦值和PM的长可得PA的长，加上AB的长即为点P到地面的高度； （2）根据勾股定理可得AM的长，也就是BN的长，根据∠QPM＝90°，可得∠QPB＝37°，根据37°的正切值和PB的长可得QB的长，加上BN的长即为Q点到N点的距离． 【解答】解：（1）作PB⊥QN于点B，延长ME交PB于点A． ∴∠PBQ＝∠PBN＝90°． ∵EM∥QN， ∴∠BAE＝∠PAE＝90°． 由题意得：MN⊥BN， ∴∠MNB＝90°． ∴四边形ABNM是矩形． ∴AB＝MN＝1（m），AM＝BN． ∵PM＝5m，∠PME＝37°， ∴PA＝PM•sin∠PME≈53（m）． ∴PB＝PA+AB＝3+1＝4（m）． 答：点P到地面的高度约为4m； （2）∵PA＝3m，PM＝5m，∠PAM＝90°， ∴AM＝4（m），∠APM+∠PME＝90°． ∴BN＝4（m）． ∵∠QPM＝90°， ∴∠QPB+∠APM＝90°． ∴∠QPB＝∠PME＝37°． ∴QB＝PB•tan∠QPB≈43（m）． ∴QN＝QB+BN＝7（m）． 答：Q点到N点的距离约为7m． 24．（12分）如图1，已知∠MAN＝60°，在射线AM、AN上分别截取点B、C，使AB＝AC＝8． （1）求证：AB＝BC； （2）如图2，以BC为直径在BC的上方作一个半圆，点D为半圆上的一个动点，连接AD交BC于点E． ①当DB⊥AB时，求AD的长． ②在线段AC上取一点F，连接BF交AD于点G，若BF＝AE，当点D在半圆BC上从点B运动到点C时，求点G经过的路径长． 【答案】（1）证明过程见解答． （2）． （3）或π． 【分析】（1）证明△ABC是等边三角形即可得到结果． （2）连接CD，则∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，先求出BD，再利用勾股定理即可求出AD． （3）分类讨论：当∠BFA＝∠AEB时，证明△ABF≌△BAE得到BG＝AG，点G在AB边的中垂线上，求出△ABC的高即可．②当∠BFC＝∠AEB时，△BCF≌△ABE，此时点D经过的路径为图中以BA为弦的弧长，求出弧的圆心角，半径，再求出弧长即可． 【解答】（1）证明：∵∠MAN＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC． （2）解：如图2，连接CD， ∵DB⊥AB， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6， ∴∠CBD＝30°， ∵点D为半圆上的一个动点， ∴∠BDC＝90°， ∴CDBC8＝4， ∴BD， ∴AD． （3）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ①如图3，当∠BFA＝∠AEB时， ∵∠BAC＝∠ABC，BF＝AE， ∴△ABF≌△BAE（AAS）， ∴∠FBA＝∠EAB， ∴BG＝AG， ∴点G在AB边的中垂线上， 此时点G经过的路径为AC•sin60°＝84． ②如图4，∠BFC＝∠AEB时，即∠BFA+∠AEB＝180°时， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC， ∴△BCF≌△ABE（AAS）， ∴∠CBF＝∠BAE， 此时点D经过的路径为图中以BA为弦的弧长， 最高点G在AB边中垂线上，线段CP的处． ∴GPCPAC•sin60°8． 设弦AB所在圆的半径为r，由垂径定理得， r2＝（r）2+4， 解得，r， ∴弦AB所对的圆心角为120° ∴弧AB的长ππ． 综上得，点G经过的路径长为或π． 25．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D． （Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标． 【答案】（Ⅰ）（1，﹣2）；（Ⅱ）yx2﹣x﹣1或yx2﹣3x﹣1；（Ⅲ）点M的坐标为（，0）、点N的坐标为（，﹣1）． 【分析】（Ⅰ）由y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，即可求解； （Ⅱ）由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，则（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，即可求解； （Ⅲ）当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，进而求解． 【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1， （Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， 故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）； （Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1， 故点D（1，﹣a﹣1）， 由DE＝2DC得：DE2＝8CD2， 即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]， 解得a或， 故抛物线的表达式为yx2﹣x﹣1或yx2﹣3x﹣1； （Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a）， 作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1）， 当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由： ∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2， 则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2， 解得a（舍去）或， 则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，）， 由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x， 当y＝0时，y＝﹣3x0，解得xm， 则m+3， 即点M的坐标为（，0）、点N的坐标为（，﹣1）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$