2025年广东省广州市白云区源雅学校中考数学三模试卷

2025年广东省广州市白云区源雅学校中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x+2y＝3xy B．（x3）2＝x5 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．2xy•3x＝6x2y 4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（3分）中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆．12866000用科学记数法表示为（　　） A．1.2866×103 B．1.2866×104 C．1.2866×107 D．1.2866×108 6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 7．（3分）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．±2 D．2 8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：3　 　 ． 12．（3分）分解因式：m2﹣4m＝　 　 ． 13．（3分）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　 　 ． 14．（3分）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 15．（3分）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　 　 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 　 　 ． 三、解答题：（本大题9个小题，共72分） 17．（4分）计算：． 18．（4分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF． 19．（6分）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 20．（6分）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是 　 　 人； （2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为 　 　 度； （3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 21．（8分）如图，一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y的图象的一个交点为A（2，6）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数y＝2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y的图象相交于点B，C，求S△ABC的值． 22．（10分）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 23．（10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以A为圆心，AB的长为半径作圆，CE是⊙A的切线与BA的延长线交于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作BC的垂线交EC的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接BD． ①试判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由； ②若，⊙A的半径为3，求DB的长． 24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，3），顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，点P是BC与抛物线对称轴的交点，求△BPE的面积． 25．（12分）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的效量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC＝S△APC+　 　 ，则AF＝　 　 +　 　 ； 实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG＝1时，求PD+PE的值； 拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2，BD＝4，求S△PAC+S△PBE的值． 2025年广东省广州市白云区源雅学校中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C． B C D B A 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【答案】D 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：D． 2．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析． 【解答】解：A．主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B．主视图是一个矩形（矩形内部有一条纵向的虚线），俯视图是三角形，故本选项不合题意； C．主视图和俯视图是圆，故本选项符合题意； D．主视图是三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，俯视图是三角形，三角形的内部有一点与三角形的三个顶点相连，故本选项不合题意； 故选：C． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x+2y＝3xy B．（x3）2＝x5 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．2xy•3x＝6x2y 【答案】D 【分析】利用完全平方公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式法则逐项判断即可． 【解答】解：x与2y不是同类项，无法合并，则A不符合题意， （x3）2＝x6，则B不符合题意， （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则C不符合题意， 2xy•3x＝6x2y，则D符合题意， 故选：D． 4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据各象限内点的坐标特征判断即可． 【解答】解：∵﹣2＜0，a2+1＞0， ∴点P所在的象限是第二象限． 故选：B． 5．（3分）中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆．12866000用科学记数法表示为（　　） A．1.2866×103 B．1.2866×104 C．1.2866×107 D．1.2866×108 【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：12866000＝1.2866×107． 故选：C． 6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】B 【分析】直接利用圆周角定理求解． 【解答】解：∵∠AOB和∠C都对， ∴∠C∠AOB100°＝50°． 故选：B． 7．（3分）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（　　） A．8 B．±8 C．±2 D．2 【答案】C 【分析】先根据偶次方的非负性质，绝对值的非负性质，得出方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出x+y的值，再根据平方根定义即可得出答案． 【解答】解：∵（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0， ∴， ②×2，得4x+2y﹣22＝0③， ①﹣②，得﹣x+3＝0， 解得：x＝3， 把x＝3代入②，得2×3+y﹣11＝0， 解得：y＝5， ∴x+y＝3+5＝8， ∴， ∴x+y的平方根是． 故选：C． 8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x＝﹣1时y＞0，即可逐一判断，进而求解． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， 故选：D． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 【答案】B 【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK＝8，AK＝6，平移求出E点坐标，进而得到平移规则，再求出G点坐标即可． 【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO， ∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO， ∴△AHO∽△BKA， ∴， ∴∠A＝90°，ta，A（﹣4，3）， ∴OH＝3，AH＝4，， ∴， ∴BK＝8，AK＝6， ∵将△ABO平移， ∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6， ∴E（6，0）， ∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E， ∴将点O（0，0）先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G， ∴G（10，﹣3）； 故选：B． 10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接GE，证明Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），可得GF＝GB，设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点H到AD，AG，GD的距离相等，利用面积之比即可解答． 【解答】解：如图，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE＝1， ∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE， ∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°， ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴GF＝GB， 设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x， 根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2， 即（2﹣x）2+22＝（2+x）2， 解得， ∴，， ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等， ∴， 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：3　0　 ． 【答案】0． 【分析】先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【解答】解：0， 故答案为：0． 12．（3分）分解因式：m2﹣4m＝　m（m﹣4）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】提取公因式m，即可求得答案． 【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）． 故答案为：m（m﹣4）． 13．（3分）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　2　 ． 【答案】2． 【分析】如图，连接AC，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出∠BCA的度数，进而推出△ACD为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵正六边形ABCDEF， ∴AB＝BC＝CD＝1，， ∴∠BCA＝∠BAC＝30°， ∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°， ∵正六边形为轴对称图形， ∴， ∴∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD＝2， 故答案为：2． 14．（3分）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据菱形的判定与性质证明证明OB⊥AC，根据等边三角形的判定与性质证明∠AOB＝60°，利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOB计算即可． 【解答】解：如图，连接OB． ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB＝OC， ∵OA＝OC， ∴OA＝AB， ∴▱OABC是菱形， ∵OA＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOBπ×12． 故答案为：． 15．（3分）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　10　 ． 【答案】10． 【分析】将x＝α代入原方程，可得出2α2﹣6α＝1，利用根与系数的关系，可得出α+β＝3，再将其代入原式＝（2α2﹣6α）+3（α+β）中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝α代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0， ∴2α2﹣6α＝1． ∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β， ∴α+β＝3， ∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10． 故答案为：10． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为 　　 ． 【答案】． 【分析】解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则，∠FCE＝30°，求出，CF，从而可得DF，由勾股定理可得DE，最后根据三角形三边关系可得OD≤DE+OE，即可得解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2， ∴， ∵△BCD为等边三角形， ∵CD＝BC＝2，∠BCD＝60°， 如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F， 则，∠FCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝30°， ∴，， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可得：OD≤DE+OE， ∴， ∵OD的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题9个小题，共72分） 17．（4分）计算：． 【答案】3． 【分析】先根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算，再合并即可． 【解答】解： ＝4﹣3+2 ＝4﹣3 ＝3． 18．（4分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据∠ABE＝∠BAF得CB＝CA，再根据CE＝CF得BE＝AF，由此可依据“SAS”判定△ABE和△BAF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵∠ABE＝∠BAF， ∴CB＝CA， ∵CE＝CF， ∴CB+CE＝CA+CF， 即BE＝AF， 在△ABE和△BAF中， ， ∴△ABE≌△BAF（SAS）， ∴AE＝BF． 19．（6分）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度．（结果不取近似值） 【答案】无人机离湖面的高度为（1515）米． 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设BD＝x米，则AD＝（x+30）米，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 设BD＝x米， ∵AB＝x米， ∴AD＝AB+BD＝（x+30）米， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝AD•tan30°（x+30）米， 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴CD＝BD•tan45°＝x（米）， ∴x（x+30）， 解得：x＝1515， ∴CD＝（1515）米， ∴无人机离湖面的高度为（1515）米． 20．（6分）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是 　50　 人； （2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为 　86.4　 度； （3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50； （2）86.4； （3）． 【分析】（1）用A类人数除以所占的比例求出总人数即可； （2）求出C类人数，补全条形图，用360°乘以C类人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【解答】解：（1）本次调查的总人数是：10÷20%＝50（人）． 故答案为：50； （2）C类人数为：50﹣10﹣20﹣8＝12（人）， 补全统计图： C类所对应的扇形的圆心角为：360°86.4°． 故答案为：86.4； （3）画树状图如下： 一共有12种情况，恰好是1名女生和1名男生的有8种情况， 所以，P（恰好是1名女生和1名男生）． 21．（8分）如图，一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y的图象的一个交点为A（2，6）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数y＝2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y的图象相交于点B，C，求S△ABC的值． 【答案】（1）y＝2x+2，y＝12；（2）42． 【分析】（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线BC解析式为y＝2x﹣10，则可求出B（﹣1，﹣12），C（6，2），过点A作ATⅡy轴交直线BC于T，则T（2，﹣6），再根据S△ABC＝S△ABT+S△ACT列式求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过A（2，6）， ∴6＝2×2+b， ∴b＝2， ∴一次函数解析式为 y＝2x+2； ∵反比例函数的图象经过A（2，6）， ∴， ∴m＝12， ∴反比例函数解析式为； （2）将一次函数y＝2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点B，C， ∴直线BC解析式为y＝2x+2﹣12＝2x﹣10， 联立， 解得或， ∴B（﹣1，﹣12），C（6，2）， 如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于T， ∵A（2，6）， ∴点T的横坐标为2， 在y＝2x﹣10中，当x＝2时，y＝2×2﹣10＝﹣6， ∴T（2，﹣6）， ∴AT＝6﹣（﹣6）＝12， ∴S△ABC＝S△ABT+S△ACT ＝18+24 ＝42． 22．（10分）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】（1）该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个； （2）每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个． 【分析】（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个，根据3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该厂每天生产甲种文创产品的数量），再将其代入（x﹣50）中，即可求出该厂每天生产乙种文创产品的数量； （2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x﹣50）个， 根据题意得：3x﹣4（x﹣50）＝100， 解得：x＝100， ∴x﹣50＝100﹣50＝50（个）． 答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个； （2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个， 根据题意得：10， 解得：y＝20， 经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意． 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个． 23．（10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以A为圆心，AB的长为半径作圆，CE是⊙A的切线与BA的延长线交于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作BC的垂线交EC的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接BD． ①试判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由； ②若，⊙A的半径为3，求DB的长． 【答案】（1）作图见解答过程； （2）①BD与⊙A相切，理由见解答过程； ②6． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图； （2）①结合（1）证明∠ABC+∠DBC＝90°，即可解决问题； ②利用锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，AD为所作垂线； （2）①BD与⊙A相切，理由如下： ∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC的垂线， ∴∠ABC＝∠ACB，且AD是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DCB＝∠DBC． ∵CD与⊙A相切于点C， ∴∠BCD+∠ACB＝90°， 即∠ABC+∠DBC＝90°， ∴BD与⊙A相切； ②在Rt△AEC中， ∵，AC＝3， ∴EC＝4， 根据勾股定理，得AE5， ∴BE＝AB+AE＝3+5＝8， 在Rt△BDE中， ∵tanE， ∴BDBE＝6． 24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，3），顶点为M． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，点P是BC与抛物线对称轴的交点，求△BPE的面积． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）①1； ②2或3或． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①利用待定系数法求得BC的解析式为y＝﹣x+3，进而可得：E（1，0），F（0，1），即△AFE是等腰直角三角形，则外接圆半径R＝1，再利用面积法求得内切圆半径为r1，即可求得答案； ②分三种情况：当点F在∠ACE的平分线上时，当点F在∠AEC的平分线上时，当点F在∠CAE的平分线上时，分别求得△BPE的面积即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（3，0），C（0，3）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）①设BC的解析式为y＝kx+n，则， 解得：， ∴BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵EF∥BC， ∴设EF的解析式为y＝﹣x+t， 当y＝0时，x＝t，当x＝0时，y＝t， ∴E（t，0），F（0，t）， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OFE＝45°， 又A（﹣1，0）， ∵∠AFE＝90°， ∴∠AFO＝∠AFE﹣∠OFE＝45°， ∵∠AOF＝90°， ∴△AOF是等腰直角三角形， ∴OF＝OA，即t＝1， ∴E（1，0），F（0，1）， ∴△AFE是等腰直角三角形， ∴Rt△AFE的外接圆半径R＝1， ∵Rt△AFE内切圆半径为r， ∴（2）×r2×1， ∴r1， ∴1； ②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴P（1，2）， 当点F在∠ACE的平分线上时，如图， 则∠ACO＝∠ECO， ∵∠AOC＝∠EOC＝90°，OC＝OC， ∴△ACO≌△ECO（ASA）， ∴OE＝OA＝1， ∴E（1，0）， ∴∠PEB＝90°，PE＝2，BE＝3﹣1＝2， ∴S△BPE•PE•BE2×2＝2； 当点F在∠AEC的平分线上时，如图， ∵∠CBO＝45°， ∴直线EF与x轴的夹角为45°，则∠AEC＝90°，此时点E，F均与点O重合， ∴S△BPE3×2＝3； 当点F在∠CAE的平分线上时，如图，过点F作FH⊥AC于H， 设F（0，t），则E（t，0）， ∵AF平分∠CAO，FH⊥AC，FO⊥AO， ∴FH＝FO＝t， 在Rt△ACO中，AC， ∴S△ACF•CF•OA•AC•FH， ∴（3﹣t）×1t， 解得：t， ∴E（，0）， ∴S△BPE（3）×2； 综上，△BPE的面积为2或3或． 25．（12分）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的效量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在△ABC中，AC＝BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC＝S△APC+　S△BPC　 ，则AF＝　PD　 +　PE　 ； 实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC＝3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG＝1时，求PD+PE的值； 拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC＝BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB＝10，AD＝2，BD＝4，求S△PAC+S△PBE的值． 【答案】探究发现：S△BPC，PD，PE； 实践应用：； 拓展延伸：24． 【分析】探究发现：通过等面积即可得解； 实践应用：过G作GN⊥CF于点N，由（探究发现）可知PD+PE＝GN，所以求出GN即可，再由题意可知△CGF为等边三角形，所以求出CG即可，进而解△ACG即可； 拓展延伸：延长AC、BE交于点Q，连接BC，过P作PM⊥BE于点M，易证△ABQ为等腰三角形，所以BC＝PD+PM，利用双勾股可求出CD＝4，进而AC＝BE＝6，BC＝8，从而即可得解． 【解答】解：探究发现：由图可知S△ABC＝S△APC+S△BPC AC•PDBC•PE BC•（PD+PE） ， ∴AF＝PD+PE， 故答案为：S△BPC，PD，PE； 实践应用：如图，过G作GM⊥AG于点M， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， 在Rt△AMG中，AG＝1， ∴AM＝AG•cos30°，GM＝AG•sin60°， ∵AC＝3， ∴CM＝AC﹣AM， 在Rt△CGM中，CG， ∵线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF， ∴CG＝CF，∠GCF＝60°， ∴△CGF为等边三角形， ∴GF＝CF＝CG，∠F＝60°， 过G作GN⊥CF于点N， 在Rt△GFN中，GN＝GF•sin60°， 由（探究发现）可知PD+PE＝GN； 拓展延伸：如图，延长AC、BE交于点Q，连接BC，过P作PM⊥BE于点M， 设CD＝x，则AC＝2+x， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，BD＝4， ∴在Rt△ACB中，BC2＝AB2﹣AC2＝100﹣（2+x）2， 在Rt△BCD中，BC2＝BD2﹣CD2＝（4）2﹣x2， ∴100﹣（2+x）2＝（4）2﹣x2， 解得x＝4； ∵BE＝AC＝2+4＝6， ∴， ∴，即， ∴∠ABE＝∠BAC， ∴△ABQ为等腰三角形， ∵AC⊥DP，BC⊥AC，PM⊥BE， ∴由（探究发现）可知BC＝PD+PM， 在Rt△ABC中，BC8， ∴PD+PM＝8， ∴S△PAC+S△PBE AC•PDBE•PM ＝3（PD+PM） ＝3×8 ＝24． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$