四川省攀枝花市2024-2025学年高一下学期普通高中教学质量监测数学试题

攀枝花市2024-2025学年度(下)普通高中教学质量监测2025.7 高一数学试题卷 本试题卷共4页,满分150分,考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在平行四边形中,设为线段的中点,为线段上靠近的三等分点,,,则向量( ) A. B. C. D. 3.已知四棱锥的所有棱长均相等,点,分别为线段,的中点,则异面直线与所成角的大小为( ) A. B. C. D. 4.如图是函数的部分图象,则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知、为两条不同的直线,为一个平面,则下列结论中正确的是( ) A.若∥,,则∥ B.若∥,∥,则∥ C.若,,则∥ D.若∥,,则 6.的值为( ) A. B. C. D. 7.在△中,,边上的高等于,则( ) A. B. C. D. 8.设平面向量,,,,,,,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设,是任意的非零向量,则( ) A.若∥,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 10.已知圆锥的底面半径为1,母线长为4,底面圆周上有一动点,则( ) A.圆锥的体积为 B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C.圆锥截面的面积的最大值为 D.若,且,则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 11.已知函数,则( ) A.若相邻两条对称轴的距离为,则 B.若是奇函数,则的最小值为1 C.当时,的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为 D.若在区间上有且仅有两个零点,则 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设复数满足,则______. 13.已知,,则______ 14.如图,直三棱柱中,,,,点在棱上,且.当△的面积取最小值时,三棱锥的外接球的表面积为______.A1 C1 B1 A C B P 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知向量,. (1)求； (2)若∥,求的值； (3)求与的夹角的余弦值. 16.(15分) 已知函数. (1) 求的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时,求的最大值以及取到最大值时的值. 17.(15分) 如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,侧面底面,是的中点. (1)证明：平面； (2)若的边长为2,求直线与平面所成的角的正切值. 18.(17分) 已知,,分别为△三个内角,,的对边,且. (1)求； (2)若, (i)求△周长的取值范围； (ii)若为边上的中线,,求△的面积. 19.(17分) 如图,在等腰直角△中,,,为的中点,、分别为、边上一点,满足,∥.将△、△分别沿着、翻折成△、△,满足,在平面的同侧,且∥. (1)证明：,,,共面； (2)设几何体的体积.为,求的最大值； (3)当取最大值时,求二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 攀枝花市2024-2025学年度(下)普通高中教学质量监测2025.7 高一数学试题卷 本试题卷共4页,满分150分,考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D. 【解析】复数在复平面内对应的点为,横坐标为正,纵坐标为负,位于第四象限. 2.在平行四边形中,设为线段的中点,为线段上靠近的三等分点,,,则向量( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】,,,所以. 3.已知四棱锥的所有棱长均相等,点,分别为线段,的中点,则异面直线与所成角的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】连接,∥,则为异面直线与所成角,因为四棱锥棱长均相等,所以△为等边三角形,. 4.如图是函数的部分图象,则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】由图象知,,,；代入得,结合,得. 5.已知、为两条不同的直线,为一个平面,则下列结论中正确的是( ) A.若∥,,则∥ B.若∥,∥,则∥ C.若,,则∥ D.若∥,,则 【答案】D. 【解析】A选项与可能异面；B选项与可能相交、异面；C选项可能在内；D选项由线面平行和垂直的性质可知正确. 6.的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C. ,,则原式. 7.在△中,,边上的高等于,则( ) A. B. C. D. 【答案】A. C【解析】设,由,边上高,且,可得(记).用余弦定理,设,代入、,得,即. 再用余弦定理求：. 8.设平面向量,,,,,,,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【答案】已知平面向量,满足且,向量 (),又因为 ,所以,代入可得.计算,根据向量模长平方等于自身数量积,展开得,利用数量积运算性质,结合即,, ,化简后得到,进一步展开为,这是一个关于的二次函数,由于二次项系数为正,函数开口向上,其最小值在顶点处取得,顶点横坐标为,代入可得最小值为,因此的最小值为 二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设,是任意的非零向量,则( ) A.若∥,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则【答案】BC. 【解析】 A选项∥时,； B选项两边平方可得,即； C选项则,即,； D选项时与同向,错误. 10.已知圆锥的底面半径为1,母线长为4,底面圆周上有一动点,则( ) A.圆锥的体积为 B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C.圆锥截面的面积的最大值为 D.若,且,则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 【答案】ABC. 【解析】 A选项圆锥高,体积； B选项侧面展开图弧长,圆心角； C选项截面面积,底面直径两端点,对应最大,此时,面积最大值为； D选项绕侧面一周从到的最短长度侧面展开图扇形圆心角 (见 B 选项), 在上且,则,展开后扇形中,与 (对应底面同一点)的圆心角为,最短路径为线段,由余弦定理：,D错误. 11.已知函数,则( ) A.若相邻两条对称轴的距离为,则 B.若是奇函数,则的最小值为1 C.当时,的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为 D.若在区间上有且仅有两个零点,则 【答案】BCD. 【解析】A: 若相邻对称轴距离为,则周期 (相邻对称轴间距为),由得,故A错误. B: ,若为奇函数,则是奇函数(显然成立),又最 小 值 为 1, B正 确 . C: 时,向左平移个单位后,解析式为 (利用诱导公式 ,C正确. . D: 时,, 即,需有且仅有两个零点,故,解得,D正确. 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设复数满足,则______. 【答案】. 【解析】由得,. 13.已知,,则______ 【答案】. 【解析】由,得,,. 14.如图,直三棱柱中,,,,点在棱上,且.当△的面积取最小值时,三棱锥的外接球的表面积为______.A1 C1 B1 A C B P 【答案】. 【解析】设,,由得,△面积最小时,此时三棱锥为外接球直径,表面积. 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知向量,. (1)求； (2)若∥,求的值； (3)求与的夹角的余弦值. 【解析】解：(1)由题意得 故. (2),. 因为,所以. 即,解得.……………………8分 (3). 又. 故. (1)由题意得. 故 (2),. 因为,所以. 即,解得. (3). 又. 故. 16.(15分) 已知函数. (1) 求的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时,求的最大值以及取到最大值时的值. 【解析】(1)由题意知： .……………………3分 . ∴的最小正周期是. (2)令,函数的单调递减区间为. 由,解得, ∴函数的单调递减区间为(开区间亦可). (3)当时,. 当,即时,取得最大值 17.(15分) 如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,侧面底面,是的中点. (1)证明：平面； (2)若的边长为2,求直线与平面所成的角的正切值. 【解析】(1)证明：在正方形中,． 又∵侧面底面,平面平面,平面, ∴平面． 又平面, ∴． ∵侧面是正三角形且是的中点, ∴． 又∵平面,平面, ∴平面． (2)由(1)知平面,∵ ∴平面,故． 由(1)知,平面,平面, ∴平面． ∴是直线与平面所成的角． 在正中,, ∴,, 在中,, ∴． ∴． 18.(17分) 已知,,分别为△三个内角,,的对边,且. (1)求； (2)若, (i)求△周长的取值范围； (ii)若为边上的中线,,求△的面积. 【解析】(1)法一：由正弦定理得． 从而,即． 又中, ∴. 又,所以．……………………6分 法二：由余弦定理得 化简得……………………4分 则 又,所以． (2)(ⅰ)法一：由正弦定理得,则,,∵, ∴. 的周长为 . 又∵ ∴,故 ∴周长的取值范围是. 法二：由余弦定理得 所以. ∵ ∴ ∴(当且仅当时取得等号). 又∵ ∴周长的取值范围是. (ⅱ)在中,由余弦定理得,即. 在中,由余弦定理得 在中,由余弦定理得. ∵, ∴. 所以,. 19.(17分) 如图,在等腰直角△中,,,为的中点,、分别为、边上一点,满足,∥.将△、△分别沿着、翻折成△、△,满足,在平面的同侧,且∥. (1)证明：,,,共面； (2)设几何体的体积.为,求的最大值； (3)当取最大值时,求二面角的余弦值. 【解析】(法一)延长,相交于点,连接、. 由题意,,所以,. 因为,所以,且在同一平面内. 所以∽.所以,故共线.即直线,所以共面. (法二)延长,相交于点. 因为,所以∽,且. 延长,相交于点. 因为,所以∽ 因为,,所以,故与重合. 即直线,所以共面. (2)因为,平面,平面,故平面 同理,平面 又,所以平面平面. 由(1)知共面,所以,几何体为三棱台. 由,,平面, 所以平面,从而平面平面.过作,垂足为,则平面 易知,.分 则.分 (3)由(2)知,当取最大值时, 因为,所以 取的中点,连接,,则, 所以是二面角的平面角. 在中,由余弦定理得. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$