精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高二下学期期末考试数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，应用复数的除法、乘方运算化简求复数，进而求其模长. 【详解】由， ∴， ∴. 故选：C. 2. 已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值. 所以； 由，得. 所以. 令，则. 由在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，所以， 所以. 所以，解得. 若，，此时取可使成立. 当时，，其中或时，，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，其中或时，，所以. 若时，，此时取可使成立. 当时，，其中时，. 所以时满足题意. 故的最大值为. 3. 已知，且，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出,再根据,两边平方化简即可求解. 【详解】由题可得， 因为，所以 即， 即， 即， 得到. 故选：B. 4. 10支步枪中有6支已经校准过，4支未校准，一名射击运动员用校准过的枪射击时，中靶的概率为，用未校准的枪射击时，中靶的概率为，现从10支中任取一支射击，则中靶的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设从10支中任取一支取得校准枪支为事件，取得未校准枪支为事件，分别求其概率，根据全概率公式求解即可. 【详解】设从10支中任取一支取得校准枪支为事件，取得未校准枪支为事件，中靶为事件， 则, ， 所以. 故选：B 5. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再由交集的定义求. 【详解】不等式，解得，即集合， 又集合，所以. 故选：D. 6. 一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（ ）． A. 为严格增数列 B. 为公差不为零的等差数列． C. 为等比数列（其中，） D. 为周期数列 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐一分析是否存在符合条件的无穷等差数列. 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 7. 已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为6 B. 在区间上单调递增 C. 的图像关于直线对称 D. 在区间上共有100个零点 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合周期函数定义可证明为周期函数，可判断A；再根据奇偶性、周期性、单调性判断BC；再结合函数零点的定义判断D. 【详解】因为，所以令，得，故， 又为偶函数，所以，所以，即， 故，所以的一个周期为12，故A错误； 又在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 由周期性可知在区间上单调递减，故B错误； 因为为偶函数，所以图像关于y轴对称， 由周期性可知图像关于直线对称，故C正确； 因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 又，所以由周期性可知，在区间上，， 而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点， 又，所以在区间上有337个零点， 由于为偶函数，所以在区间上有674个零点，故D错误； 故选：C. 8. 设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 若，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，与共线的单位向量坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】由基底的性质判断A；由题意可得，求出与的夹角，即可判断B；由题意可得或，求出在方向上的投影向量的模，即可判断C；求出满足题意的单位向量，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得，所以，共线，所以，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A正确； 对于B，因为，所以， 即，所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以或， 所以在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对于D，设所求向量坐标为， 由题意可得，解得， 所以所求向量坐标为或，故D错误. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 到的两条渐近线的距离之积为 C. 若直线的斜率之积为，则关于原点对称 D. 若直线过点，且在轴两侧，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由焦距和渐近线斜率求出可得双曲线方程判断选项A；由点到直线距离公式结合双曲线方程判断选项B；选项C，设关于原点的对称点为，证明，的斜率之积为3，得重合；设直线的方程为，代入双曲线方程，结合韦达定理和重心坐标公式，由的取值范围， 建立不等式求的取值范围判断选项D. 【详解】由题意，得，，解得，， 所以的方程为，故A正确； 的两条渐近线的方程为，即， 设，则， 所以到的两条渐近线的距离之积为，故B错误； 设，，则关于原点的对称点也在上， 又，的斜率之积为， 又在上， 有，，所以 ， 即，的斜率之积为3， 又直线，的斜率之积为3，都在上，所以重合， 即关于原点对称， 故C正确； 因为，直线过点，设，，， 直线的方程为，由，得， ，所以 ， ， ， 因为在轴两侧，则其横坐标异号， 即， 由可知，所以 ， 因为的重心为，所以，， 又在上， 所以 ， 化简得，所以，即 ， 所以 或 ，即的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11. 数列为等比数列，下列命题正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 若，，则 C. 若，则单调递增 D. 若该数列前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义及性质可得A,B正误，利用的符号可得C的正误，根据等比数列和的特征可得D的正误. 【详解】设等比数列的公比为， 对于A，，所以数列为等比数列，A正确； 对于B，由，所以，因为等比数列中偶数项的符号一致，所以，B不正确； 对于C，因为，所以；当时，由可得， 此时； 当时，由可得，此时； 所以单调递增，C正确； 对于D，因为，所以，，， 因为为等比数列，所以，即，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 12. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆与焦点相同，得到所求椭圆焦点在轴上，且，设其标准方程为，结合在椭圆上列方程组求解． 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同， 其焦点在轴上，且， 设其标准方程为， ，且，①， 点在所求椭圆上， ②， 联立①②得，解得， 所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【详解】在中， 令，可得. 14. 已知函数，，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围为______． 【答案】. 【解析】 【分析】 先求函数在上的最大值，再将“对于任意的，，都有成立”转化为“对于任意的，都有恒成立”，接着整理转化为“”，最后利用导数求函数的最大值即可解题. 【详解】解：因为，所以 令，解得：或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 所以函数在上的最大值为， 因为对于任意的，，都有成立， 所以对于任意的，都有成立， 所以对于任意的，都有恒成立， 所以对于任意的，都有恒成立， 所以对于任意的，都有恒成立， 所以 令，则， 令，则（） 所以在上单调递减，又因为， 所以函数在上有，在上有， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上有最大值， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、利用导数研究不等式恒成立问题并求参数，还考查了转化的数学思维方式，是偏难题. 四、解答题（共77分） 15. （1）已知数列，求的前10项和； （2）小明购买了价格分别为x元、y元的甲、乙两种学习用品，若1，x，y成等比数列，x，y，成等差数列，求x，y． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的求和公式计算；（2）运用等比中项和等差中项联立方程，计算即可. 【详解】（1）因为，则数列是首项为、公比为2的等比数列， 所以的前10项和为． （2）因为1，x，y成等比数列，x，y，成等差数列， 所以，且即 解得． 16. 向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． （1）公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； （2）该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 【答案】（1）0．8186． （2）方案一，理由如下： 设方案一的折扣为，则可以取，，， ，，， ． 设方案二的折扣为，则可以取，， 用，表示游客首次在第位置的概率， 则，，． 由题知，游客到达，位置，只有两种途径， 一种是从位置，掷到偶数，其概率为， 另一种是从位置，掷到奇数，其概率为， ，，． 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列． ，，，，， 又， ，， ，，且 ，． 第二次到达①位置的概率． ． ，若想要获得最大优惠，游客应选方案一． 【解析】 【小问1详解】 ，则，，结合正态分布的性质：和 ． 即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0．8186． 【小问2详解】 略 17. 在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点. （1）过点的平面平行于平面且与交于点，求； （2）若平面平面，且，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两条平行线确定一个平面，作出过点平行于平面的平面，并证明. 从而利用平面与平面平行的性质定理可得，所以，则. 【小问1详解】 （2）因为平面平面，只需在平面内向作一条垂线即可证明该垂线与平面垂直，进而与垂直；再利用平面，有，利用直线与平面垂直的判定定理可得平面，则. 建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离计算公式求得, 过作，交于，交于；过作交于. 因为，面，面，则面，同理面， 由，且 、平面，所以平面面，平面即为题中所述平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 所以. 因为， 所以. 因为为中点，且， 所以为中点， 所以， 所以，则. 【小问2详解】 过作交于. 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 因为，，且、平面， 所以平面. 又因为平面， 所以. 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，， ，，. 设为平面的法向量， 则，令，则， 则. 18. 已知函数，，其中． （1）求函数的零点； （2）当时，求证：，； （3）用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）函数有且只有一个零点. （2）证明见解析 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点； （2）构造函数，利用导数分析函数的单调性，进而证明出结论； （3）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案. 【小问1详解】 解：函数的定义域为，且， 当时，，则；当时，，则， 所以函数在上为增函数， 又因为，故函数有且只有一个零点. 【小问2详解】 证明：构造函数， ∵，设， 则，设， 则， ∴单调递增，∴， ∴单调递增， ∴，∴单调递增， ，∴成立，故原不等式成立. 【小问3详解】 函数的定义域为，由（1）知，当时，， 又，所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，恒成立， 1°若，由知，对任意，，在单调递减，此时，符合题意. 2°若，由知，对任意，，在单调递增，此时，不合题意，舍去； 3°若，当时，递增，由知，存在，使得，故当，，递增，此时，不合题意，舍去 所以使当时，恒成立实数的取值范围是； 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 19. 已知平面内一动圆过点，且轴被该圆截得的弦长为2，设该动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）若过点且斜率为的直线与交于两点，分别作在点处的切线，两条切线交于点. （i）若，求的取值范围； （ii）若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据圆过点及被轴截得的弦长为2，列方程，化简可得曲线的方程. （2）（i）设直线的方程为：，与曲线方程联立，由韦达定理可得，，再结合抛物线的焦点弦长公式，可求的取值范围； （ii）先求曲线在处的切线方程，得到点坐标，求点到直线的距离，利用三角形的面积公式列方程，求出的值，可得直线的方程. 【小问1详解】 设动圆圆心为，半径为， 则，即， 整理得的方程为. 【小问2详解】 如图： 设，. （i）由（1）可知为的焦点. 由题可知的方程为， 联立，可得， 则，. 所以. 由，可得， 解得或，即的取值范围是. （ii）设点处的切线方程为， 联立，可得， 由，可得. 所以点处的切线方程为. 同理点处的切线方程为. 由，并结合（1）解得，即， 所以点到直线的距离为. 所以，解得， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高二下学期期末考试数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. 0 C. D. 4. 10支步枪中有6支已经校准过，4支未校准，一名射击运动员用校准过的枪射击时，中靶的概率为，用未校准的枪射击时，中靶的概率为，现从10支中任取一支射击，则中靶的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 6. 一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（ ）． A. 为严格增数列 B. 为公差不为零的等差数列． C. 为等比数列（其中，） D. 为周期数列 7. 已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为6 B. 在区间上单调递增 C. 的图像关于直线对称 D. 在区间上共有100个零点 8. 设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 B. 非零向量和满足，则与的夹角为 C. 若，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，与共线的单位向量坐标为 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 到的两条渐近线的距离之积为 C. 若直线的斜率之积为，则关于原点对称 D. 若直线过点，且在轴两侧，则的取值范围是 11. 数列为等比数列，下列命题正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 若，，则 C. 若，则单调递增 D. 若该数列前项和，则 三、填空题（共15分） 12. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为______． 13. 已知，则________. 14. 已知函数，，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围为______． 四、解答题（共77分） 15. （1）已知数列，求的前10项和； （2）小明购买了价格分别为x元、y元的甲、乙两种学习用品，若1，x，y成等比数列，x，y，成等差数列，求x，y． 16. 向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物．因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案． （1）公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布．试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率； （2）该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两种方案中任选一种参加游戏．方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3个白球不优惠．方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次．若掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格．游客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏结束．若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由． 参考数据：若，则．． 17. 在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点. （1）过点的平面平行于平面且与交于点，求； （2）若平面平面，且，求点到平面的距离. 18. 已知函数，，其中． （1）求函数的零点； （2）当时，求证：，； （3）用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 已知平面内一动圆过点，且轴被该圆截得的弦长为2，设该动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）若过点且斜率为的直线与交于两点，分别作在点处的切线，两条切线交于点. （i）若，求的取值范围； （ii）若的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $