安徽省宿州市第二中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024-2025 学年度第二学期期末考试卷 高二数学试题 参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A C B D B A BC ABD AC 12. 0.4 13. 4 15.(-1,1) 1.C 【分析】先分别求出集合A和集合 B,然后再求交集,从而求解. 【详解】由题意可得: 1,0,1A ,所以得: 1 ,3 3 ,1B , 所以得: 1A B ,故 C项正确. 故选:C. 2.A 【分析】利用 2 21x x 判断命题 p的真假,举出实例,得到 q为真命题. 【详解】由 2 21x x x x ,得 p是真命题, p 是假命题; 命题 q, 1x 时, 2 1, 1 2x x ,故满足 2 1x x , q为真命题. 故选:A 3.A 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】 0.4 ( ) 0.3 0.4 P A P B P B P B A P A , , 1 1 0.4 0.6P A P A 又事件 相互独立, 0.6 0.3 0.18P AB P A P B 故选:A 4.C 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知,相关系数 2 4,r r 所在散点图呈负相关, 1 3,r r 所在散点图呈正相关,所 以 1 3,r r 都为正数, 2 4,r r 都为负数. 1 2,r r 所在散点图近似一条直线上,线性相关性比较强,相关系数的绝对值越接近1, 而 3 4,r r 所在散点图比较分散,线性相关性比较弱,相关系数的绝对值越远离1. 综上可得: 2 4 3 10r r r r . 故选:C. 5.B 【分析】根据导数的定义,基本初等函数的导数公式可得 0 1cos 2 x ,再根据同角三角函数 的平方关系求值即可. 【详解】记 sinf x x ,则 cosf x x , 由 0 0 0 sin sin 1lim 2x x x x x ,可得 0 1cos 2 x , 所以 20 0 3sin 1 cos 2 x x . 故选:B. 6.D 【分析】根据题意,分 2步进行分析:①将 5本不同的书籍分为 3组,每组至少 1本,②将 《西游记》所在的组分发给了甲,剩下 2组任意分配,由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意,分 2步进行分析: ①将 5本不同的书籍分为 3组,每组至少 1本, 若分为 1、1、3的三组,有 1 1 3 5 4 3 2 2 C C C 10 A 种分组方法, 若分为 1,2,2的三组,有 1 2 2 5 4 2 2 2 C C C 15 A 种分组方法, 共有1 5 10 2 5 种分组方法, ②将《西游记》所在的组分发给了甲,剩下 2组任意分配,有 2种情况, 则有 25 2 50 种分发方式. 故选:D. 7.B 【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数,进而采用变量代换的方法,推出函数的对称 中心,进而推出其周期,再结合赋值法求得 (0), (1), (2), (3)f f f f ,结合函数的周期性,即可 求得答案. 【详解】由题意知函数 ( )f x 的定义域为R ,且 ( ) ( ) 2 ( ) ( )f x y f x y f x f y , (0) 1f , 令 0x ,则 ( ) ( ) 2 ( )f y f y f y ,即 ( ) ( )f y f y ,故 ( )f x 为偶函数; 又 (- 1) ( 1)f x f x ,令 0x ,则 (1) (1), (1) 0f f f , 又得 ( 1) ( 1) 0f x f x , 即 ( )f x 的图象关于点 (1,0)成中心对称,则 (2) (0) 1f f ; ( 1) ( 1) 0f x f x ,即 ( 2) ( )f x f x ,又结合 ( )f x 为偶函数, 则 ( 2) ( )f x f x ,故 ( 4) ( 2) ( )f x f x f x ,即 4为 ( )f x 的周期, 故 (3) ( 1) (1) 0f f f , 故 2025 0 ( ) (0) (1) (2) (3) (2024)+ (2025) 506[ (0) (1) (2) (3)]+ (0) (1) k f k f f f f f f f f f f f f L 506[1+0 1 0]+1+0 1 , 故选:B 8.A 【分析】设 ln emxg x f x x x x x ,由题设可得 g x 的单调性,从而得到 ln emxx m , 利用同构可得 emxx ,参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】因为 1 2 1 2 1 f x f x x x ,所以 1 1 2 2 1 2 0 f x x f x x x x 令函数 ln emxg x f x x x x x ,则 g x 在 0, 上单调递减, 所以 ln e 0mxg x x m 在 0, 上恒成立,所以 ln emxx m , 即 ln e e ln emx mx mxx x mx .令函数 lnh x x x ,则 ln 1h x x , 当 10, e x 时, 0h x ,当 1 , e x 时, 0h x , 所以 h x 在 10, e 上单调递减,在 1 , e 上单调递增. 当 0,1x 时, 0h x ,当 1,x 时, 0h x , 且由题干可知 0m , 0x ,即 e 1mx , 若 0,1x ,则 emxx 恒成立, 当 1,x 时, ln e lnemx mxx x≤ 恒成立等价于当 1,x 时, emxx , 故 0,x 时, emxx 恒成立,故 ln xm x . 令函数 ln xx x ,则 2 1 ln xx x , 当 0,ex 时, 0x ,当 e,x 时, 0x , 所以 x 在 0,e 上单调递增,在 e, 上单调递减, 所以 x 的最大值 max 1e e x ,所以 1 e m ; 综上所述,正实数m的取值范围为 1 e , . 故选:A. 9.BC 【分析】先计算 q的值,然后考虑 ( )E X 、 ( )D X 的值,最后再计算 ( )E Y , ( )D Y 的值,从而可 得答案. 【详解】由题意有0.1 0.4 0.2 0.1 1q ,得 0.2q 所以 ( ) 1 0.1 2 0.2 3 0.4 4 0.2 5 0.1 3E X 2 2 2 2 2( ) 1 3 0.1 2 3 0.2 3 3 0.4 4 3 0.2 5 3 0.1 1.2D X 2 1 2 1 2 3 1 7E Y E X E X 22 1 2 4 1.2 4.8D Y D X D X 故选:BC 10.ABD 【分析】(1)A根据已知条件可知,展开式中仅第 6项的二项式系数最大,由此可解得正 整数 n的值; B写出展开式通项,令 x的指数为零,求出参数的值,代入通项可求得常数项的值; C赋值法令 x =1,即可得展开式中各项系数之和; D利用组合数公式得出 11 k k n nkC nC ,再利用二项式定理化简可得结果. 【详解】A 根据已知条件可知,展开式中仅第 6项的二项式系数最大,解得 10n ; B 10 2 2x x 的展开式通项为 10 510 2 1 10 102 2 2 r rrr r r rT C x C xx , 令 10 5 0 2 r ,解得 2r ,故展开式中的常数项为 2 22 1 102 180T C ; C 10 2 2x x 令 x =1, 103可得展开式中各项系数之和为 D 因为由 1 1 1 !! ! ! 1 ! ! k k n n nnkC k n nC k n k k n k ,得, 11 k k n nkC nC , 因此, 1 2 0 1 2 1 11 1 1 12 2k n n nn n n n n n n nC C kC nC n C C C C n . 故选:ABD 11.AC 【分析】对于 A,利用导函数 23 2 1f x x ax 有两个变号零点即可判断;对于 B,利用 A项结论写出韦达定理,化简所求式求其值域即可判断;对于 C,化简计算 1 2f x f x b a 得到 23 2 2 3 2 2a x a x b a b a ,即可求出 a的值 对于 D,在 1a 时,讨论函数 f x 的单调性和变化趋势,由 5 1 5( ) ( ) 3 3 27 f f b 推得 1 5 3 3 m 进行判断; 【详解】因函数 3 2f x x ax x b 的定义域为R ,求导得 23 2 1f x x ax . 对于 A,由 2 4 12 0a ,知函数 f x 恒有两个变号零点,故函数 f x 恒有两个极值点, 故 A正确; 对于 B,由 A分析, 1 2 2 3 ax x , 1 2 1 3 x x , 则 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 34 3 3 ax x x x x x ,当且仅当 0a 时取等号,故 B错误; 对于 C, 3 23 21 1 1 1f x f x x ax x b x a x x b 23 2 2 3 2 2a x a x b a b a ,则有 3 2 0 2 3 0 a a ,解得 3 2 a ,故 C正确. 对于 D,当 1a 时, 23 2 1 3 1 1f x x x x x , 当 1 3 x 或 1x 时, 0f x ,当 1 1 3 x 时, 0f x , 故 f x 在 1( , ) 3 和1, ) 上单调递增,在 1( ,1) 3 上单调递减, 则 1 3 ,1分别是 f x 的极大值点和极小值点,因 f x 在 3,m 上有最大值, 且 5 1 5( ) ( ) 3 3 27 f f b ,故有 1 5 3 3 m ,故 D错误; 故选:AC. 12.0.4 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由 1 0.1X 可得 0.1 1 0.1X ,即0.9 1.1X , 因为随机变量 2~ 1,X N ,且 0.9 0.3P X , 故 0.9 1.1 1 2 0.9 1 2 0.3 0.41 0.1P P X P XX . 13.4 【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出m, n的关系,再根据不等式中“1”的整体 代换即可得出答案. 【详解】由 ln 2y x n ,得 1y x , 令 1 1 e y x ,得 ex , 则 1 e 1 lne 2 e m n ,即 1m n , 所以 1 1 1 1 2 2 2 4n mm n m n m n m n n m m n ,当且仅当 1 2 m n 时取等号. 14. 1,1 【分析】证明函数 f x 为偶函数,利用导数判断函数 f x 在 0, 上的单调性,结合函数 性质将条件转化为 2 1ax x x 恒成立,结合二次函数性质列不等式求 a的范围. 【详解】函数 2e ex xf x x 的定义域为R ,定义域关于原点对称, 且 2 e ex xf x x f x , 所以 f x 为偶函数, 又当 0x 时, e 1x ,0 e 1x , 所以 e e 2 0x xf x x , 所以 2e ex xf x x 在 0, 上单调递增, 所以不等式 2 1f ax f x x 对任意 x R 恒成立, 转化为 2 1ax x x ,即 2 21 1x x ax x x , 所以 2 1 1 0x a x 且 2x 1 1 0a x 在R 上恒成立, ①若 2 1 1 0x a x 在R 上恒成立,则 21 ( 1) 4 0a ,解得 1 3a ; ②若 2 1 1 0x a x 在R 上恒成立,则 22 ( 1) 4 0a ,解得 3 1a , 综上所述,实数 a的取值范围是 1,1 . 15.(1) 1 2U A B x x ;(2) 3m 【分析】(1)解一元二次不等式得A,再由补集与交集的概念求解, (2)转化为集合间的关系,分类讨论求解. 【详解】(1)∵ 2 6 0A x x x 2 6 0 3x x x x x 或 2x , - 2 分 ∴ 3 2U A x x , - 4 分 ∴ 1 2U A B x x . - 6 分 (2)∵B C B , ∴C B ,- 7分 ①当C 时,满足C B ,即 1 2m m ,解得 1m≤ .-9分 ②当C 时,因为C B ,所以 1 2 1 1 2 6 m m m m ,即1 3m ,- 12分 综上,实数m的取值范围为 3m .- 13分 16.(1)答案见解析;(2) 4a 【分析】(1)依题意可得 1 0x a x ,再分 1a 、 1a 、 1a 三种情况讨论,分别 求出不等式的解集; (2)参变分离可得 2 3 3xa x x x 在 1,2x 上有解,则 max 3a x x 1,2x ,结合对勾 函数的性质计算可得. 【详解】(1)因为 2 1 0x a x a ,即 1 0x a x ,-1 分 当 1a 时,解得 x a 或 1x ,所以不等式的解集为 ,1 ,a ;-3分 当 1a 时, 21 0x ,所以不等式的解集为R ;-5分 当 1a 时,解得 1x 或 x a ,所以不等式的解集为 , 1,a ,-7分 综上可得当 1a 时等式的解集为 ,1 ,a ;当 1a 时不等式的解集为R ,当 1a 时 不等式的解集为 , 1,a .-8分 (2)因为关于 x的不等式 2 3 0x ax 在 1,2x 上有解, 所以 2 3 3xa x x x 在 1,2x 上有解-9分 所以 max 3a x x , 1,2x ,-10分 又 3y x x 在 1, 3 上单调递减,在 3,2 上单调递增,-12分 且当 1x 时 4y ,当 2x 时 7 2 y ,-14分 所以当 1,2x 时 3 4x x , 所以 4a .-15分 17.(1) 3 8 ;(2)① 2 3 p ;②分布列见解析,期望为 67 27 . 【分析】(1)根据全概率公式即可求解, (2)①②根据全概率公式即可求解概率,进而根据期望公式求解. 【详解】(1)设 iA “甲第 i局获胜”,其中 1,2,3i ,依题意得 1P A p , 当 1 2 p 时,由全概率公式得 2 1 2 1 2 1 2 1 1P A P A A P A A P A P A A P A ∣ . 2 1P A A∣ 3 2 2 2 1 1 3(1 ) 1 2 2 8 p p p , 所以甲第二局获胜的概率为 3 8 .-4分 (2)①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为 2(1 )p , 依题意得 2 1(1 ) 9 p ,解得 2 3 p .-7分 ② X 的可能取值为 2,3. 3 2 1 2 1 2 2 1 2 142 1 , 3 3 3 27 P X P A A P A A p p p p -10分 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 33P X P A A A P A A A P A A A P A A A 2 2 2 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1p p p p p p p p p p p p p 3 2 2 2 2 2 131 3 3 3 27 p p ,-13分 所以 X 的分布列为 X 2 3 P 14 27 13 27 14 13 672 3 27 27 27 E X .-15分 18.(1)见解析;(2)见解析 【分析】(1)根据直方图完成列联表,利用公式 2 2 n ad bc a b c d a c b d 求得 2 , 与邻界值比较,即可得到结论;(2)X 的可能取值为 0,1, 2,利用组合知识根据古典概型概 率公式求出各随机变量对应的概率,从而可得分布列,进而利用期望公式可得 X 的数学期 望. 【详解】(1)据频率分布直方图,“步行健将”的人数为 0.5 0.2 0.5 100 35 , 其中女性有 7人,填写表格如下: -4分 故 22 100 23 28 7 42 2.564 3.841 35 65 30 70 -7分 故在犯错误的概率不超过 0.05的前提下不能认为“是否为‘步行健将’与性别有关” -9分 (2)依题意知 X 的可能取值为 0,1,2,所以 2 1 1 0 2 7 7 28 7 28 2 2 2 35 35 35 3 28 540 , 1 , 2 85 85 85 C C C C CP X P X P X C C C 分布列为 -15分 故 3 28 54 80 1 2 85 85 85 5 E X .-17分 19. 【分析】(1)对 f x 求导,作出 f x 的图象,利用数形结合思想可解; (2)注意 2 22 elnln 2 4 ln 4 2ln 2 , e2 e 2 ,构造函数 ln( ) xg x x ,利用 ( )g x 单调性即可判断 ln 2与 2 4 ln 4 e 的大小,结合 f x 的单调性即可判断; (3)根据条件,过点 P的切线与 2y x 平行时距离的最小,利用导数几何意义求出切点 即可. 【详解】(1)因为 exf x x ,则 1 exf x x ,-1分 当 1x 时, 0f x ,当 1x 时, 0f x ,且 1 0f , 所以 1x 是 f x 的极小值点, 又 1 11 e e f ,-3分 所以 exf x x 在区间 , 1 上单调递减,在区间 1, 上单调递增, 又当 x 时, 0f x ,当 x 时, f x , exf x x 的图象如图, -4分 令 y m ,由图知,当 1 0 e m 时, y m 与 exf x x 有两个交点; 当 10m m e 和 时, y m 与 exf x x 只有一个交点; 当 1 e m 时, y m 与 exf x x 没有交点;-7分 (2)由 2 22 2 eln2 2 ln 2ln 2 4 ln 4 2ln 2 , e2 e e 2 ,-8分 联想到构造函数 ln( ) xg x x , 2 1 ln( ) xg x x 在 (0,e)上为正,在 (e, ) 上为负, ln( ) xg x x 上 (0,e)上为增函数,在 e, 上为减函数-10分 由 2ee 4 2 ,可得 2e0 (2) (4) ( ), 2 g g g 由 ( )f x 在 ( 1, ) 上为增函数,可得 2e( (2)) ( ( )), 2 f g f g -12分 (3)设点 0 0,P x y ,易知当曲线在 0 0,P x y 处的切线与 2y x 平行时, 点 0 0,P x y 到直线 2y x 的距离最小,-13分 又 1 exf x x ,则 00 0 1 e 1xf x x ,令 1 e 1xg x x ,则 2 exg x x , 易知,当 2x 时, 0g x ,当 2x 时, 0g x , 所以 1 e 1xg x x 在区间 , 2 上单调递减,在区间 2, 上单调递增-15分 且 1x 时, 0g x ,又 00 e 1 0g ,所以 0 0x , 又 0 0f ,得到 0,0P ,所以 0,0P 到直线 2y x 的距离为 2 2 2 d -17分