河南省信阳市2024-2025学年高二下学期7月期末质量监测数学试题

机密★启用前 2024一2025学年下学期高二期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号、斯场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答，每小题选出答策后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效. 3,非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，写在武卷、草稿纸和答题卡的非 答题区战均无效 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.(0!+0!+0!+0!)!= A.0 B.4 C.12 D.24 2.某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依 次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率 A号 B号 c D号 3.根据下图的散点图，变量x和变量y的样本相关系数r的值为 -3-2-1012x A.-0.81 B.-0.20 C.0.34 D.0.88 4.调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据 分析统计，计算得到X2=3.689,依据小概率值a=0.1的独立性检验，下列说法正确的是（附： x0.1=2.706) A.婴儿90%在白天出生 B.婴儿性别与出生时间无关联 C.有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D.婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 2024一2025学年下学期高二期末质量监测 数学试题第1页共4页 :.(哥吒之魔童闹海)在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱，现 将数丙、数闰、申公豹、太乙真人4个卡通棋型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两 个辱氏模型相邻的概率为 写 B c D d已知函数f(x)=ae一lnx在区间(1,2)上单调递减，则a的最大值为 10 B日 C.e 7随机变量（的分布列如下表，若E=号，则D一 0 1 2 2a 2a b 言 B号 c号 D号 8.某人在n次射击中击中目标的次数为X,且X~B(n,0.8),记P.=P(X=k),k=0,1,2,n, 若P,是唯一的最大值，则D(X)的值为 A1.28 B.1.6 C.6.4 D.8 二、多项选择题：本大题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x),函数y=(x十2)f(x)的图象 如图所示，则下列结论中一定成立的是 A.f(x)在（一∞，一2）上单调递减 B.一2为f(x)的极小值点 C.函数f(x)有极大值f(2) D.函数f(x)有三个零点 10我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张 表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是 第0行 第1行 第2行 2 第3行 3 第4行 4 6 1 第5行 151010 第6行 1615201561 第n-1行1CC,一C=C1C1 第n行1CC 1 A.C=C B.C.=C-1+C C.C+C+C+…+C。-1=C(n≥2) D.C+C+C+…+C-=C(n≥3) 11.甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种.方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投 中不得分，累计计分.方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二 次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得 分，累计计分.已知甲、乙两人每次投中的概率均为p(0<p<1),且各次投篮相互独立.甲选 择方式1投篮，乙选择方式2投篮.则下列说法正确的是 2024-2025学年下学期高二期末质量监测数学试题第2页共4页 A.当p=号时，甲得1分的概率为号 B.当p= 号时，甲至少得1分的概率为鹗 C当力=号时，乙最多得2分的概率为号 D.当一<p<1时，乙得分的期塑大于甲得分的期塑 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.随机变量X~N(4,g2),若P(X≤a)=P(X≥a+4),则P(X>≥a+2)= 13,曲线y=cos2x+在x=平处的切线方程为 14.某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖.8人站成一排合影留念，同 年级的同学不相邻的站法有 种. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知(2-x)°=ax°+ax8十a,x2+…十a1x十a,求： (1)ag+ag+a,+…+a1i (2)la,1+las1+la;1+..+la:1+laol; (3)9a2+8ag+7a+…+a1 16.(本小题满分l5分)人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.随着DeepSeek的开源， 促进了AI技术的共享和进步.某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用 DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”，从该社 团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 (1)补全2×2列联表，根据小概率值a=0.010的独立性检验，能否认为“A1达人”与性别有关 联？ (2)现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2 人，记2人中女“AI达人”的人数为X,求X的分布列与数学期望. n(ad-bc)2 附：X=a+b)(c+a(a十c)b+dDa+6+c+d=n. 9 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 T. 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2024一2025学年下学期高二期末质量监测数学试题第3页共4页 17.(本小题满分15分)某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验.随机征集了一部分志 愿者作为样本参加试验，并得到一组数据(x,y,)(i=1,2,·,10),其中x,y,表示连续用药i 天，相应的临床药效指标值.已知该组数据中y与lnx之间具有线性相关关系，令t=lx,经 计算得到下面一些统计量的值： 2=385,号=86,24=15.0,2=27.5,2，=528,24，=143.0 i】 (1)求y关于x的经验回归方程： (2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5 倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与 乙生产的药品是否合格相互独立. ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率 参考公式：对于一组数据(x,y:)(i=1,2,…,n),其回归方程y=x十a中，斜率和截距的最小 乘法估计公式分别为：6=空，一m ,a=y一bx. 18.(本小题满分17分)对于函数F(x),若实数x。满足F(x。)=x。,则称x。为F(x)的不动点.已 知函数f(x)=(x-a)e. (1)若f(x)的极小值小于一e,求a的取值范围； (2)当a=1时，求函数F(x)=f(x)一1的不动点的个数，并证明新有不动点之和等于零. 19.(本小题满分17分)第78届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日.某大学举办中 国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立. 若答对一题记2分，答错一题记1分.已知学生甲答对每个问题的概率为}，答错的概率为子， (1)学生甲随机曲取3题，记总得分为X,求X的分布列与数学期望； (2)若学生甲已答过的题累计得分为n分的概率为P,求P。与之P 2024一2025学年下学期高二期末质量监测数学试题第4页共4页2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第1 页 共5页 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A D C A C A AC ACDBCD 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.D 解析:(0! +0! +0! +0!)! =4! =24.故选D. 2.B 解析:在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到填空题,即在3道选择题2道填空题中随 机抽一题,抽到填空题的概率P=25 ,故选B. 3.A 解析:由散点图知,变量x和变量y 负相关,且相关性较强,所以样本相关系数r<-0.75, 故选A. 4.D 解析:因为χ 2=3.689>2.706=x0.1,依据小概率值α=0.1的独立性检验,所以婴儿性别 与出生时间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.1.故选D. 5.C 解析:解法1:从6个位置中选2个摆放哪吒模型,有C26=15种方法,两个哪吒相邻等价于 从5个位置中选一个摆放两个哪吒模型,有C15=5种方法,所求概率为P= 5 15= 1 3. 故选C. 解法2:先从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人(剩下两个位置放哪吒模型), 有A46 种方法,两个哪吒相邻可将两个哪吒捆绑在一起,与敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人进行全 排列,有A55 种方法,所求概率为P= A55 A46 =13. 故选C. 6.A 解析:由题意,f'(x)=aex-1x≤0 在(1,2)上恒成立,即a≤ 1xex 在(1,2)上恒成立. 设g(x)= 1xex ,x∈(1,2),g'(x)=-x+1x2ex<0 ,所以,函数g(x)在(1,2)是单调递减, ∀x∈(1,2),g(x)>g(2)=12e2.∴a≤ 1 2e2. 所以,a的最大值为12e2. 故选A. 7.C 解析:由 2a+a+2a+b=1, -2a+0+2a+2b=13 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得a=b= 1 6. Dξ= -1-13 2 ×13+ 0-13 2 ×16+ 1-13 2 ×13+ 2-13 2 ×16= 11 9. 故选C. 8.A 解析:X~B(n,0.8),Pk=P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n, 若 Pk 是 唯 一 的 最 大 值,则 Pk>Pk-1, Pk>Pk+1, 所 以, Cknpk(1-p)n-k>Ck-1n pk-1(1-p)n- (k-1), Cknpk(1-p)n-k>Ck+1n pk+1(1-p)n- (k+1), 解 得 k-p p <n< k+1-p p . 因为k=7,p=0.8,∴7.75<n<9,∵n∈N,∴n=8.∴D(X)=np(1-p) =8×0.8×(1-0.8)=1.28.故选A. 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第2 页 共5页 二、多项选择题:本大题共3题,每小题6分,共18分. 9.AC 解析:由函数y=(x+2)f'(x)的图象知,当x<-2时,f'(x)<0,当-2<x<1时,f'(x) <0,当1<x<2时,f'(x)>0,当x>2时,f'(x)<0,所以,f(x)在(-∞,-2)上单调递减,选 项A正确;-2不是f(x)的极值点,选项B错误;2为f(x)的极大值点,函数f(x)有极大值 f(2),选项C正确;由于不知道f(x)的极小值f(1)与极大值f(2)的符号,所以不能确定函数 f(x)的零点的个数,选项D错误.故选AC. 10.ACD 解析:杨辉三角的性质:Crn=Cn-rn ,Crn=Crn-1+Cr-1n-1,所以选项A正确,B错误;当n≥2 时,C11+C12+C13+…+C1n-1=C2n,选项C正确;当n≥3时,C22+C23+C24+…+C2n-1=C3n,选项 D正确.故选ACD. 11.BCD 解析:当p=23 时,设甲得分为X,则X~B 3,23 ,所以P(X=1)=C13 23 1 13 2 =29 , P(X≥1)=1-P(X=0)=1- 13 3 =2627 ,选项A错误,选项B正确;选项C,设乙的得分为 Y,则Y 可取0,2,4,6.当p=23 时,P(Y=0)=13 ,P(Y=2)=23× 1 3= 2 9 ,P(Y≤2)=13+ 2 9= 5 9 ,选项C正确;对于D,P(Y=0)=1-p,P(Y=2)=p(1-p),P(Y=4)=p2(1-p),P(Y= 6)=p3. Y 的分布列为: Y 0 2 4 6 P 1-p p(1-p) p2(1-p) p3 E(Y)=0×(1-p)+2×p(1-p)+4×p2(1-p)+6×p3=2p3+2p2+2p,因为E(X)=3p, 由E(Y)-E(X)=p(2p2+2p-1)>0,得 3-12 <p<1 ,即当 3-1 2 <p<1 时,E(Y)> E(X),选项D正确.故选BCD. 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12.12 解析:μ= a+(a+4) 2 =a+2 ,∴P(X≥a+2)=12. 13.8x+4y-3π=0 或y=-2x+3π4 解析:记y=f(x),f'(x)=-2sin2x,f' π4 =-2sinπ2 =-2, 又f π4 =π4. 所以,曲线y=cos2x+π4 在x=π4 处的切线方程为y-π4=-2 x-π4 , 即8x+4y-3π=0. 14.2016 解析:先将4名高三学生全排列, 若高一、高二学生不相邻,站法有A44·2A44=1152, 若高一学生与高二学生相邻,站法有A44·C13A22·A33=864, 共有站法1152+864=2016种. 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第3 页 共5页 四、解答题:本大题共5小题,共77分. 15.解:(1)令x=0,得a0=29=512.令x=1,得a9+a8+a7+…+a1+a0=1, 所以a9+a8+a7+…+a1=1-512=-511. 4分……………………………………………… (2)令x=-1,得-a9+a8-a7+…-a1+a0=39,所以, |a9|+|a8|+|a7|+…+|a1|+|a0|=-a9+a8-a7+…-a1+a0=39 8分………………… (3)(2-x)9=a9x9+a8x8+a7x7+…+a1x+a0 两边对x求导,得 -9(2-x)8=9a9x8+8a8x7+7a7x6+…+a1, 11分…………………………………………… 再令x=1,得9a9+8a8+7a7+…+a1=-9. 13分…………………………………………… 注意:本题(3)中若利用kCk9=9Ck-18 解之同样给分. 16.解:(1)2×2列联表如下: AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 3分………………………………………………………………………………………………… 零假设 H0:“AI达人”与性别无关, χ 2=60× (24×12-18×6)2 42×18×30×30 = 20 7≈2.857<6.635=x0.010 , 6分……………………………… 根据小概率值α=0.010的独立性检验,没有充分证据推断 H0 不成立,因此认为 H0 成立, 因此认为“AI达人”与性别无关. 8分…………………………………………………………… (2)在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人,其中,男“AI达人”抽取2442×7=4 人,女“AI 达人”抽取3人,X 的所有可能取值为0,1,2. 10分…………………………………………… 则P(X=0)= C24 C27 =27 ,P(X=1)= C14C13 C27 =47 ,P(X=2)= C23 C27 =17. 所以,X 的分布列如下: X 0 1 2 P 27 4 7 1 7 14分……………………………………………………………………………………………… X 的数学期望E(X)=0×27+1× 4 7+2× 1 7= 6 7. 15 分……………………………………… 17.解:(1)􀭰t=15.010 =1.5 ,􀭵y=110􀰐 10 i=1 yi=8.6. b̂= 􀰐 10 i=1 tiyi-n􀭰t􀭵y 􀰐 10 i=1 t2i-n􀭰t2 =143.0-10×1.5×8.6 27.5-10×1.52 =2.8,̂a=􀭵y-̂b􀭰t=8.6-2.8×1.5=4.4, y关于t的线性回归方程为:̂y=2.8t+4.4. 5分……………………………………………… 所以y关于x 的回归方程为ŷ=2.8lnx+4.4. 6分…………………………………………… 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第4 页 共5页 (2)设事件A:随机抽取一件药品来自设备甲生产,事件B:随机抽取一件药品来自设备 乙生产,事件C:随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品. ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍,所以P(A)=35 ,P(B)=25 , 则P(C|A)=0.008,P(C|B)=0.006. 8分……………………………………………………… 所以P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=35×0.008+ 2 5×0.006=0.0072. 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072. 10分………………………………………………… ②P(B|C)=P (B)·P(C|B) P(C) = 2 5×0.006 0.0072 = 1 3 , 即所抽药品为不合格品,该药品来自设备乙生产的概率为1 3 , 13分…………………………… 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为P=C23 1 3 2 ·2 3= 2 9. 15 分………… 18.解:(1)f'(x)=(x-a+1)ex, 当x<a-1时,f'(x)<0,当x>a-1时,f'(x)>0,所以,f(x)在(-∞,a-1)上递减, 在(a-1,+∞)上递增,f(x)极小值=f(a-1)=-ea-1. 4分…………………………………… 由-ea-1<-e,得a>2. 故a的取值范围为(2,+∞). 6分……………………………………………………………… (2)当a=1时,F(x)=f(x)-1=(x-1)ex-1,依题意方程F(x)=x, 即(x-1)ex-1=x的解就是函数F(x)的不动点. 令g(x)=(x-1)ex-x-1, g'(x)=xex-1, 令h(x)=g'(x),则h'(x)=(x+1)ex, 当x<-1时,h'(x)<0,当x>-1时,h'(x)>0, 所以,h(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增, 8分………………………………… 又h(1)=e-1>0,h(0)=-1<0,且当x<0时,h(x)<0. 所以,存在唯一x0,0<x0<1,使h(x0)=0. 当x<x0 时,h(x)<0,即g'(x)<0;所以,g(x)在(-∞,x0)上递减, 当x>x0 时,h(x)>0,即g'(x)>0,所以,g(x)在(x0,+∞)上递增. 所以,g(x)≥g(x0). 10分………………………………………………………………………… 因为g'(x0)=0,即x0ex0-1=0,也即ex0= 1 x0 所以,g(x0)=(x0-1)ex0-x0-1=-ex0-x0<0. 又g(-2)=1-3e2 >0,g(2)=e2-3>0. 根据零点存在定理,g(x)在(-2,x0),(x0,2),内各仅有一个零点,所以,g(x)有且仅有 两个零点.即函数F(x)有两个不动点. 13分…………………………………………………… 设m 是g(x)的零点,则g(m)=(m-1)em-m-1=0, 又g(-m)=(-m-1)e-m+m-1=e-m[(-m-1)+(m-1)em]=0, 所以-m 也是g(x)的零点. 故g(x)所有零点之和等于零.即函数F(x)所有不动点之和等于零. 17分………………… 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学参考答案及评分标准 第5 页 共5页 19.解:(1)X 的可能取值为3,4,5,6. P(X=3)= 23 3 =827 , P(X=4)=C13× 1 3× 23 2 =49 , P(X=5)=C23× 13 2 × 23 1 =29 , P(X=6)=C33× 13 3 =127. X 的分布列为 X 3 4 5 6 P 827 4 9 2 9 1 27 4分………………………………………………………………………………………………… 所以,E(X)=3×827+4× 4 9+5× 2 9+6× 1 27=4. 6 分………………………………………… (2)P1= 2 3 ,P2= 1 3+ 2 3× 2 3= 7 9 , 当n≥3时,Pn= 2 3Pn-1+ 1 3Pn-2 , 9分…………………………………………………………… 即Pn+ 1 3Pn-1=Pn-1+ 1 3Pn-2 , 所以,数列 Pn+ 1 3Pn-1 为常数列. 又P2+ 1 3P1= 7 9+ 1 3× 2 3=1 ,所以Pn+ 1 3Pn-1=1 (n≥2), 则Pn- 3 4=- 1 3 Pn-1-34 ,所以,Pn-34 是以-112为首项,-13为公比的等比数列, ∴Pn- 3 4=- 1 12× -13 n-1 , 即Pn= 3 4+ 1 4× -13 n (n≥2). 当n=1时,上式也成立. ∴Pn= 3 4+ 1 4× -13 n . 13分…………………………………………………………………… 􀰐 n i=1 Pi=P1+P2+P3+…+Pn= 3 4n+ 1 4× -13 1 + -13 2 +…+ -13 n =34n- 1 16 1- -13 n . 17分……………………………………………………………………