精品解析：陕西省咸阳市永寿县2024-2025学年八年级下学期期末质量监测数学试题

试卷类型：A 永寿县2024~2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分．计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列纹样图是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式变形正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在四边形中，，对角线，交于点O，添加下列一个条件，仍不能使四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分交于点N，点M在上，且，连接，P为的中点，连接，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 7. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 8. 如图，是平行四边形的中心，过点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：_____． 10. 如图在正六边形，连接，，则________． 11. 不等式的正整数解的个数为________． 12. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则_____． 13. 如图，中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 因式分解：． 15. 解不等式组： 16. 解方程：． 17. 如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，，，垂足分别为B，D，且，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将平移后顶点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，． （1）画出平移后的三角形； （2）点的坐标为________． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 22. 如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． （1）求证：是等边三角形； （2）若，为的中点，求的长． 23. 乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍． （1）求甲、乙两种肥料每袋的价格； （2）若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？ 24. 如图，在中，点E是的中点，延长至点D，使得，连接，延长至点C，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 25. 为增强学生环保意识，争做绿色文明的推动者和传播者，某校发起了以“种下一棵树，为未来留下一份幸福”为主题的植树活动．现需要采购一批树苗，有两家苗圃基地，具体收费标准如下： 甲基地：树苗单价为30元/株，免费配送； 乙基地：树苗单价为25元/株，另加200元配送费． （1）设采购x株树苗，去甲苗圃基地采购树苗的费用为元，去乙苗圃基地采购树苗的费用为元，请分别写出：，与x之间的关系式； （2）学校怎样采购比较合算？ 26. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，为的中线，点E为线段上一点，连接．若，，求的长； 【问题解决】 （2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲翻新如图②所示的休闲广场，，米，按照规划要求，取的中点D，连接，点E为上一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，在边上取一点K，令，连接，沿和设计两条走廊，沿铺设小路，发现当的长度最小时，整体布局比较合理，试求当最小时，小路的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 永寿县2024~2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分．计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得 故选：C． 2. 下列纹样图是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该纹样图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该纹样图是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该纹样图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该纹样图不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列不等式变形正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 4. 如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∵为边上的高线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 在四边形中，，对角线，交于点O，添加下列一个条件，仍不能使四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定定理逐步判定后即可确定答案． 【详解】解：A.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，不符合题意； B.不能得到四边形为平行四边形，符合题意； C.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，不符合题意； D.由可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，，平分交于点N，点M在上，且，连接，P为的中点，连接，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 为的中点， 为的中位线， ． 故选：D． 7. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用直线的解析式确定点的坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：A． 8. 如图，是平行四边形的中心，过点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系，中心对称图形的性质，勾股定理知识，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．根据平行四边形的中心对称性质可知，，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：如图， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， 由勾股定理得， 即， 解得， ▱的面积， 是▱的中心， 阴影部分的面积为． 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提取公因式法进行因式分解．利用提取公因式法即可得． 【详解】解：提取公因式得：． 故答案为：． 10. 如图在正六边形，连接，，则________． 【答案】30 【解析】 【分析】此题考查了正多边形，等腰三角形的性质，首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在正六边形中，， ∴，， ∴， 故答案为：30． 11. 不等式的正整数解的个数为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算得出不等式的解集，再写出整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：移项可得， 合并同类项可得， 系数化为1可得， 故不等式的正整数解为，，个数为， 故答案为：． 12. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、含的直角三角形的性质等知识点，掌握所对的直角边是斜边的一半成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，再根据所对的直角边是斜边的一半可得，最后根据线段的和差成为解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， 又∵直角中，， ∴， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，点的对应点为，连接，则长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和勾股定理以及垂线段最短，熟练掌握相关定义是解题的关键．连接，，由旋转性质可得，，结合勾股定理得出，即可得出时，长度取最小值，即长度取最小值，利用等面积法进行运算即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图： 绕点顺时针旋转得到，点的对应点为， ， 、、三点共线， ，即旋转角， ，， ， 由勾股定理可得：， ，， ， 可知长度取最小值，则长度亦取最小值， 点在上，由点到直线垂线段最短， 可得时，长度取最小值，即长度取最小值， ， ， ， 长度的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解： ． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解：原方程整理，得， 去分母，得， 解得． 经检验，是原方程的解． 17. 如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，作的角平分线与线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 18. 如图，，，垂足分别为B，D，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，即可求证． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将平移后顶点A的对应点为，点B，C的对应点分别为，． （1）画出平移后的三角形； （2）点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据点平移后顶点A的对应点为得到平移方式，然后得到点B，C的对应点，，再首尾顺次连接即可； （2）由（1）求解即可． 【小问1详解】 如图所示，即所求； 【小问2详解】 由（1）得，点的坐标为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 21. 数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 22. 如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． （1）求证：是等边三角形； （2）若，为的中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）． 【解析】 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 23. 乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍． （1）求甲、乙两种肥料每袋的价格； （2）若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？ 【答案】（1）甲种肥料每袋400元，乙种肥料每袋300元 （2）甲种肥料最多可购买15袋 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每袋乙种肥料的价格是元，则每袋甲种肥料的价格是元，由题意可得，即可求出每袋甲种肥料的价格； （2）设购买袋甲种肥料，则购买袋乙种肥料，利用总价单价数量，结合总价不超过13500元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙种肥料每袋元，则甲种肥料每袋元，根据题意，得 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的根， （元）， 所以，甲种肥料每袋400元，乙种肥料每袋300元； 【小问2详解】 解：设购买甲种肥料袋，则购买乙种肥料（）袋，由题意，得 解得． 即甲种肥料最多可购买15袋． 24. 如图，在中，点E是的中点，延长至点D，使得，连接，延长至点C，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴点F是的中点． ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点C在的延长线上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）5 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，可得，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，再由勾股定理可得，．从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∴． 25. 为增强学生环保意识，争做绿色文明的推动者和传播者，某校发起了以“种下一棵树，为未来留下一份幸福”为主题的植树活动．现需要采购一批树苗，有两家苗圃基地，具体收费标准如下： 甲基地：树苗单价为30元/株，免费配送； 乙基地：树苗单价为25元/株，另加200元配送费． （1）设采购x株树苗，去甲苗圃基地采购树苗的费用为元，去乙苗圃基地采购树苗的费用为元，请分别写出：，与x之间的关系式； （2）学校怎样采购比较合算？ 【答案】（1）； （2）购买的树苗少于40株时，去甲基地采购比较合算；当购买的树苗为40株时，甲、乙两个基地采购费用一样；当购买的树苗大于40株时，去乙基地采购比较合算 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据两个基地的收费标准，列出函数关系式即可； （2）分3种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：甲基地采购这批树苗的费用（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式为； 乙基地采购这批树苗的费用（元）与树苗数量x（株）之间的函数关系式为． 【小问2详解】 由题意得：，解得． ，解得． ．解得． 答：购买的树苗少于40株时，去甲基地采购比较合算；当购买的树苗为40株时，甲、乙两个基地采购费用一样；当购买的树苗大于40株时，去乙基地采购比较合算． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，，为的中线，点E为线段上一点，连接．若，，求的长； 【问题解决】 （2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲翻新如图②所示的休闲广场，，米，按照规划要求，取的中点D，连接，点E为上一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，在边上取一点K，令，连接，沿和设计两条走廊，沿铺设小路，发现当的长度最小时，整体布局比较合理，试求当最小时，小路的长． 【答案】（1）；（2）路的长为米 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出，，，根据含30度角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点B作，使，连接，，证明，得出，证明，说明当Q，E，C三点共线时，最小，证明是等腰直角三角形，得出，，根据勾股定理求出．根据，得出，求出．得出，证明是等边三角形，得出即可． 【详解】解：（1）在中，，， 是等腰直角三角形． ， 为的中线， ，， ， ， ， ． ． （2）如图②，过点B作，使，连接，． ， 是等边三角形， ， 点D为的中点， ，， ， ， ， ． ， 垂直平分， ， ， 当Q，E，C三点共线时，最小， ， 是等腰直角三角形． ， ． 垂直平分， 与关于直线对称， ， 过点E作于点T． ， ，． ， 是等腰直角三角形， ， 易得， 在中，． ， ， ． ， ， 由旋转的性质得． 是等边三角形， ． 小路的长为米． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $