精品解析：四川省德阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测考试数学试题

德阳市高中2024级第一学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2.本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 设集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】首先将集合中函数的定义域求出来，然后求集合的交集. 【详解】因为， 所以要使得函数有意义，则. 解得. 所以，只有1个元素. 故选：C. 2. 已知复数：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为 A. 14 B. 20 C. 21 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为， 则抽取的老年职工的人数为， 故选． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力. 4. 若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ） A. B. 3π C. D. π 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式可得圆锥底面圆的周长，继而求出半径，根据勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆锥侧面展开图的弧长为，圆锥的底面圆的半径为， 则，可得， 所以，可得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：. 5. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“不动点”定义求出，再利用三角函数定义求解即可. 【详解】由，得，解得，点， 所以. 故选：A 6. 已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ） A. 甲组数据的第70百分位数为23 B. 甲､乙两组数据的极差不相同 C. 乙组数据的中位数为24.5 D. 甲､乙两组数据的方差相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知平均数的关系求得，再求出极差、中位数、方差判断各项正误即可. 【详解】由题设得，，解得， 甲组数据中，故第70百分位数为24，A错； 甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，所以甲､乙两组数据的极差相同，故B错； 乙组数据从小到大为，故其中位数为，C错； 甲的平均数为， 乙的平均数为， 所以甲的方差为， 乙的方差为，故两组数据的方差相同，D对. 故选：D 7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，任取一个数字，确定数字黑洞，即，代入，结合三角函数诱导公式进行化简计算即可. 【详解】由题意，任取数字，经过第一步变为，经过第二步变为，再变为，再变为，所以数字黑洞为，即，代入得， . 故选：B. 8. 若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由可知：当时，， 即当时，， 可得在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，且，， 可得，即， 又因为，， 所以， 易知，恒成立，因此，，即，, 的值域是，的值域是， 解得. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，为了测量障碍物两侧A，B之间距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ） A. a，b， B. ，， C. a，， D. ，，b 【答案】ACD 【解析】 【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定. 【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形； 法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确； 对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误； 对于C项，由正弦定理可知，即C正确； 对于D项，同上由正弦定理得，即D正确； 故选：ACD. 10. 已知向量不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在上的投影向量相等 【答案】AD 【解析】 【分析】向量加法的平行四边形法则，结合和向量平分一个内角，可得菱形，根据菱形的性质可作出各选项的判断. 【详解】 由向量不共线，向量平分与的夹角，则如图可得： 则四边形是平行四边形， 又因为平分，所以四边形是菱形， 即，而，所以，故A正确， 由于四边形是菱形，不一定是矩形，故BC错误； 由图可得，向量在上的投影向量都是，故D正确； 故选：AD． 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用指数和对数的关系、基本不等式的性质、对数的运算法则对选项逐一判断即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以A错误； ，B正确； ，所以，C错误； 因为，，所以，D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析求解函数值即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则l，m所成角正切值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，延拓几何体，找出对应的交线，再求解其夹角. 【详解】根据题意，延拓正方体如下图所示： 因为//，且//， 故平面//平面，且过点A， 故平面即为满足题意的平面， 由图可知直线分别对应图中的直线. 故即为所求角或其补角. 设正方体的棱长为1， 在中，因为， 由余弦定理可得： 解得，又因为直线的夹角范围为 故所成的角为，则 故答案为：. 【点睛】本题考查直线夹角的求解，本题的难点在于对正方体进行延拓. 14. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为______s． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若． （1）求△的面积； （2）若，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示以及三角形的面积公式即可求得结果. （2）通过正弦定理即可求出结果. 【小问1详解】 因为且， 两式联立得：，又因为，所以或（舍）， 故，由三角形面积公式得 【小问2详解】 因为，且由（1）知，设三角形的外接圆半径为R， 由正弦定理得：， 解得或（舍），所以 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若α是的一个零点，求的值． 【答案】（1）函数的单调递增区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式和诱导公式化简原函数，再根据的单调性求函数的单调递增区间； （2）根据零点条件求出α的正切值，利用倍角公式结合正切值计算出的正弦、余弦值，代入函数计算. 【小问1详解】 利用降幂公式和诱导公式化简原函数： 函数的单调递增区间为. 令： 解得： 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 根据零点条件： 利用倍角公式： ， 所以 17. 在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大． （1）求证：平面； （2）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析； （2）当为中点时，平面平面，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【小问1详解】 因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面. 18. 已知函数． （1）探讨函数图象的对称性，并说明理由； （2）将函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到函数的图象． ①求的值； ②若函数满足，求ab最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？ 【答案】（1）关于原点对称，理由见解析； （2）①；②，或. 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义域和奇函数恒等式来证明，即可得到函数图象关于原点对称； （2）①利用平移变换求得解析式，再用代入法证明恒等式成立； ②利用恒等式成立来转化求解的不等式，最后利用函数的单调性来进行推理，结合基本不等式来求最大值，利用取等号关系可求得取最大值时的a、b的值. 【小问1详解】 由可知函数的定义域为， 再由， 所以，故是奇函数，它的图象关于原点对称. 【小问2详解】 由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到函数为： ，此时定义域为， 再由， 所以； 由于，所以不等式可变形为： ， 因为当时，，所以是在上的增函数， 又因为当时，是在上的增函数， 所以也是在上的增函数， 即是在上的增函数， 因为，所以， 即，又因为，所以， 它们取等条件为，此时满足， 所以或. 19. 将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数λ使得，则称λ为f的一个特征值． （1）若，求； （2）如果，计算f的特征值，并求相应的； （3）若，要使f有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？ 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义得，结合，根据不等式的性质即可求解； （2）由特征值定义列出方程组，继而即可求解； （3）根据特征值的定义列出方程组，可得，根据有唯一的实数根，利用判别式即可求解， 【小问1详解】 , 所以， 又因为， 所以， 当时，取到最大值，此时. 【小问2详解】 ， 所以，即， 两式相除得，解得， 当时，， 此时，方程有无数多个解，所以， 当时，同理得. 【小问3详解】 , 所以，故 可得，又因为都不为0， 所以向量与平行， 所以存在实数满足， 所以， 因为要使f有唯一的特征值， 所以， 所以应满足的条件为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳市高中2024级第一学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2.本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 设集合，则集合元素个数为（ ） A 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知复数：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为 A 14 B. 20 C. 21 D. 70 4. 若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ） A B. 3π C. D. π 5. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ） A. 甲组数据的第70百分位数为23 B. 甲､乙两组数据的极差不相同 C. 乙组数据的中位数为24.5 D. 甲､乙两组数据的方差相同 7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ） A a，b， B. ，， C. a，， D. ，，b 10. 已知向量不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在上的投影向量相等 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 12. 已知函数，则______． 13. 平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则l，m所成角正切值为____________. 14. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为______s． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若． （1）求△的面积； （2）若，求c． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若α是的一个零点，求的值． 17. 在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大． （1）求证：平面； （2）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 18. 已知函数． （1）探讨函数图象的对称性，并说明理由； （2）将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到函数的图象． ①求的值； ②若函数满足，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？ 19. 将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数λ使得，则称λ为f的一个特征值． （1）若，求； （2）如果，计算f的特征值，并求相应的； （3）若，要使f有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $