精品解析：河南省郑州市枫杨外国语中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试题　

2024-2025学年下期八年级数学学科期末试题 一、选择题（每道3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 故选：B． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【详解】A．，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．，因式分解错误，故本选项不符合题意； C．，等式的右边不是几个整式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．，符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中每个内角都大于 D. 三角形中没有一个内角小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法的运用，找出题设，结论，结合反证法的方法进行假设是关键． 反证法，首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，根据反证法的定义进行变形即可求解． 【详解】解：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于， 题设是：三角形，结论是：至少有一个内角小于或等于， ∴与“至少有一个”意义相反的是“每个都”， ∴反证法的第一步是先假设：三角形中每个内角都大于， 故选：C ． 4. 如果分式中的x、y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 扩大到原来的4倍 D. 扩大到原来的6倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：． ∴x、y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大到原来的2倍． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可． 【详解】解：A、等边三角形每个内角的度数为，，故该项不符合题意； B、正方形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意； C、正五边形的每个内角的度数为，，故该项符合题意； D、正六边形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键． 6. 如图所示，一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数，y随x的增大而减小；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中数据，可以判断各个小问中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， a＞0，则-a＜0，对于函数y=-ax来说，y随x的增大而减小，故①正确； d＞0，则-d＜0，则函数y=ax-d经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故②错误； 由ax-d≥cx-b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax-d≥cx-b的解集是x≥4，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 8. 关于的不等式组恰有三个整数解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有三个整数解，即可确定整数解，然后得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 解不等式①，得x>m. 解不等式②，得x3. ∴不等式组得解集为m<x3. ∵不等式组有三个整数解， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 9. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 10. 现有四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案．对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） 方案Ⅰ 作边的垂直平分线，分别交于点，顺次连接这四点围成的四边形即为所求． 方案Ⅱ 连接，过四边形各顶点分别作的平行线，这四条平行线围成的四边形即为所求． A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ，Ⅱ都可行 D. Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形的中位线定理．方案Ⅰ，利用三角形的中位线定理，即可得出结论；方案Ⅱ，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线， ∴，，，是边，，，的中点， ∴，是，的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴是平行四边形，故Ⅰ正确； ∵，， ∴， 同理， ∴是平行四边形，故Ⅱ正确； 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 12. 若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 在矩形中，，点在边上，于，于，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，设交于O，连接，由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，设交于O，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， 故答案为；． 14. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______________. 【答案】m＞－9且m≠－6 【解析】 【详解】试题解析：原方程整理得：2x+m=3x−9. 解得：x=m+9， ∵x>0， ∴m+9>0， ∴m>−9.① 又∵原式是分式方程， ∴x≠3， ∴m+9≠3， ∴m≠−6.② 由①②可得，则m的取值范围为m>−9且m≠−6. 故答案为m>−9且m≠−6. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_____． 【答案】2或2 【解析】 【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图1，易得S△EFPS△BEPS△A'EP，即可得到EFBE=BF，PFA'P=A'F．从而可得四边形A'EPB是平行四边形，即可得到BP=A'E，从而可求出BP；②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP与H，如图2，同理可得GP=BG，EGEA'=1，根据三角形中位线定理可得AP=2=AC，此时点P与点C重合（BP=BC），从而可求出BP． 【详解】∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点， ∴AB=4，AEAB=2，BC=2． ①若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图1． 由折叠可得S△A'EP=S△AEP，A'E=AE=2． ∵点E是AB的中点， ∴S△BEP=S△AEPS△ABP． 由题可得S△EFPS△ABP， ∴S△EFPS△BEPS△AEPS△A'EP， ∴EFBE=BF，PFA'P=A'F， ∴四边形A'EPB是平行四边形， ∴BP=A'E=2； ②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP与H，如图2． ． 同理可得GPBP=BG，EGEA'2=1． ∵BE=AE， ∴EGAP=1， ∴AP=2=AC， ∴点P与点C重合， ∴BP=BC=2． 故答案为2或2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 17. 已知分式．先化简A，再从、0、1、2中选一个合适的数作为m的值代入A中，求A的值． 【答案】，时，原式值为 【解析】 【分析】分式A中括号里通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵当和0时，原分式无意义， ∴当时， 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）试画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为_________； （3）请在轴上找一点，得到，则点的坐标为_________． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质，平行四边形的判定方法，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）利用平移思想，确定点的位置即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由图可知的坐标为； 【小问3详解】 如图，点的坐标为； 故答案为： 19. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）根据长方形的周长是即可得出的值；由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【小问1详解】 解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ， 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 20. 在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点 （1）尺规作图，画出折痕； （2）判断四边形是什么特殊四边形？并证明； （3）求折痕的长度？ 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形．证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）直接作线段的垂直平分线即可； （2）由矩形的性质可得，证明，可得，得出四边形是平行四边形．由折叠可知，，即可得证； （3）由勾股定理得出，则，设，则，再由勾股定理求出，，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：四边形是菱形．理由如下： ∵四边形矩形， ∴， ∴． 设与交于点， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 由折叠可知，， ∴四边形是菱形 【小问3详解】 解：∵四边形菱形， ∴， ∴， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 由（2）知，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 21. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）商场节后每千克A粽子的进价是10元； （2）商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克粽子的进价是10元； 【小问2详解】 设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 22. 我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 ，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则______，______． （2）若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值． （3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用“十字方程”并代入运算即可求解． 【小问1详解】 解：可化为， ，． 【小问2详解】 解∶ 根据题意得：，， ． 【小问3详解】 解∶ 原方程变为， ，， ， ． 【点睛】本题考查完全平方公式，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 【答案】5；【理解应用】，理由见解析；【类比迁移】． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． 根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； 理解应用：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解； 类比迁移：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解． 【详解】解：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：5； 理解应用：解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； 类比迁移：解：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下期八年级数学学科期末试题 一、选择题（每道3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C D. 3. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A. 三角形中有一个内角小于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中每个内角都大于 D. 三角形中没有一个内角小于 4. 如果分式中x、y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 扩大到原来的4倍 D. 扩大到原来的6倍 5. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 如图所示，一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数，y随x的增大而减小；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 7. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式组恰有三个整数解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 现有四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案．对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） 方案Ⅰ 作边的垂直平分线，分别交于点，顺次连接这四点围成的四边形即为所求． 方案Ⅱ 连接，过四边形各顶点分别作的平行线，这四条平行线围成的四边形即为所求． A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ，Ⅱ都可行 D. Ⅰ，Ⅱ都不可行 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则取值范围是_______． 12. 若方程组的解，满足，则的取值范围为___________． 13. 在矩形中，，点在边上，于，于，则的值是__________． 14. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______________. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_____． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式组 17. 已知分式．先化简A，再从、0、1、2中选一个合适的数作为m的值代入A中，求A的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）试画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出关于原点对称，并直接写出点的坐标为_________； （3）请在轴上找一点，得到，则点的坐标为_________． 19. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 20. 在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点 （1）尺规作图，画出折痕； （2）判断四边形是什么特殊四边形？并证明； （3）求折痕的长度？ 21. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 22. 我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 ，，． 再如十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则______，______． （2）若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值． （3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$