第一章 勾股定理暑假课讲义 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第1节 探索勾股定理 一、勾股定理 （1）__________________________________________________.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么_________________. （2）勾股定理的一些变式：，， . 二、弦高公式： 如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，斜边上的高为h.那么h=________________. 三、勾股定理的证明 方法一：_________________将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：_________________将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：__________________如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题； 课堂三十分钟小测： 1．直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ）A．13 B．14 C．15 D．1 2．中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为_____． 3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（       ） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 5．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（       ）．A．90 B．100 C．110 D．120 7．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则下列关于面积的等式：①；②；③，其中成立的有（写出序号即可）________． 8．如图，四边形是正方形，于点，且，，则阴影部分的面积是_____． 9．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（　　）A．4 B．6 C．8 D．10 第6题 第7题 第8题 第9题 10．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．9 11．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（ ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________． 13．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝18，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，BC＝12，则EC的长为__________． 14．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？ 15．如图，梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，AO为2.4m，OB为0.7m． （1）求梯子AB的长；（2）梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长． 16．如图，在ABC中，AC=13cm，AB=15cm，BC=14cm，求BC边上的高AD． 17．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 课后45分钟巩固 1．若△ABC中，∠C=90°， （1）若a=5，b=12，则c= ； （2）若a=6，c=10，则b= ； （3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= . 2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 . 3．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为 。 4．等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为　　　 　　　。　 6．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（       ） A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm 7．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（       ）． A．90 B．100 C．110 D．120 8．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 9．如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长． 10．如图，以为斜边分别作和，若，，求的长． 11．如图，在△ABC中，，，．求(1)△ABC的面积；(2)斜边AB；(3)高CD． 12．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以的速度向终点运动，点从点出发沿方向以的速度向终点运动，，两点同时出发，设点的运动时间为秒． (1)求的长；(2)当时，求，两点之间的距离；(3)当时，求的值？ 13．解答 (1)如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD． (2)如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC．求△ABC面积． (3)如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长． 第1.2节 一定是直角三角形吗 1、 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足__________________，那么这个三角形是直角三角形. 二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定____________. （2） 再确定_________________________ 三、勾股数 满足的三个_____________，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 课堂三十分钟小测： 1．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13 C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25 2．下列条件中，使不是直角三角形的是（ ） A．，， B． C． D． 3．一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（ ） A　250 B　150 　　C　200 D　不能确定 4．下列命题中的假命题是( ) A．在△ABC中，若∠A＝∠C－∠B，则△ABC是直角三角形； B．在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形； C．在△ABC中，若∠A,∠B,∠C的度数比是1：2：3，则△ABC是直角三角形； D．在△ABC中，若三边长a：b：c＝1：2：3，则△ABC是直角三角形． 5.下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，13，18 6.下列各组数中不是勾股数的是（　　） A．9，15，12 B．11，60，61 C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5 7．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式，则此三角形是 __________. 8、如果△ABC中的三边长满足,则△ABC的面积是： 。 9．如图，一块四边形的土地，其中，，，，． （1）试说明；（2）求这块土地的面积． 10．如图，每个小正方形的边长均为1. (1)直接计算结果：AB2＝________，BC2＝________，AC2＝________； (2)请说明△ABC的形状． 11.四边形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且∠ABC=90º,求这个四边形的面积. 12.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪. （1）△ABC是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 课后45分钟巩固 1．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（　　） A．6，12，13 B．6，8，9 C．3，4，5 D．5，12，15 2．下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 3.下面各组数中，是勾股数的是（　　） A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1，3，2 D．7，24，25 4．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（       ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形，且 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角三角形 5.五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A．B．C． D． 6.如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5，D为BC边的中点．则S△ABC＝_____． 第6题图 第7题图 8. 如图，在中，是边上一点，．(1)求证：；(2)若，求的长． 9.如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（∠ABD=90°）． (1)请求出2；(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 10.如图，一个零件的形状如图所示，∠A=90°，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示． （1）求证：BC⊥BD（2）求这个四边形的面积． 11.如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明． 12.为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，CD=17cm，AD=8cm，两条街道互相垂直． (1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？ (2)求这片绿化区的面积． 13.【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件∠ABD=90°，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 第3节 勾股定理的应用 一.解决实际问题时，要善于构造_____________，把实际问题抽象成几何问题. 二：利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： ①标已知，设未知； ②利用折叠，找_________； ③利用____________，列方程； ④解方程，得解. 课堂三十分钟小测： 1．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A． B． C． D． 2．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（       ） A． B． C． D． 3．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（       ）． A． B． C． D． 4．如图，小明和小华同时从A处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 5．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，.如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　　）尺 A．7.5 B．8 C． D．9 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 6．如图，，一架云梯长为25米，顶端A靠在墙上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离为（       ） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 7．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为　　 A．1 B． C． D．2 8．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（       ） A． B． C． D． 9．如图所示，在长方形中，，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（     ） A． B． C． D．10 第6题 第7题 第8题 第9题 10.如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，求图中阴影部分的面积． 11． 学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米（如图2）． (1)设AB长为x米，绳子为 米，AE为 米（用x的代数式表示）； (2)请你求出旗杆的高度AB． 课后45分钟巩固 1．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 2．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　　） A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里 3．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（　　　） A．天 B．天 C．天 D．天 4．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　　） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 5．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　） A．x2＝（x﹣1）2+102 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12 第1题 第2题 第3题 第4题 6．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为__________．（1丈=10尺，1尺=10寸） 7．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________ 8．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺． 9．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高_____． 第7题 第8题 第9题 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米． （1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽． 11．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离． 12．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． (1)求风筝的高度．(2)过点D作，垂足为H，求的长度． 13．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 14.八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度．(2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$