第21章 一元二次方程 整合复习与对接中考-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

22　 6. (1)2　 1　 > (2)解:M<N. 理由如下:∵ M= 2 9 a-1,N=a2 - 7 9 a,∴ N-M = a2 - 7 9 a-( 2 9 a-1)= a2 -a+1 = a2 -a+ 1 4 - 1 4 + 1 = (a- 1 2 ) 2 + 3 4 . ∵ (a- 1 2 ) 2 ≥0,∴ (a- 1 2 ) 2 + 3 4 >0,即 N-M>0,∴ M<N. 7. (1)-1　 -5　 (2)1　 -5 (3)解:-x2 -4x-8 = -(x2 +4x+4-4+8)= -(x+2) 2 -4. ∵ (x+ 2) 2 ≥0,∴ 当 x= -2 时,-x2 -4x-8 有最大值,最大值为-4. 小专题培优 2　 方程的拓展解法—阅读材料型 1.解:(1)设 1 x =a,则 a2 -5a+6 = 0,解得 a1 = 2,a2 = 3,∴ 1 x = 2 或 1 x = 3,解得 x1 = 1 2 ,x2 = 1 3 ,经检验,x1 = 1 2 ,x2 = 1 3 是原 分式方程的解. (2)设 x2 = y,则原方程化为 y2 -2y-3 = 0,解得 y1 = -1,y2 = 3. 当 y= -1 时,x2 = -1,此时方程无实数根;当 y = 3 时,x2 = 3,解得 x1 = 3 ,x2 = - 3 . ∴ 原方程的解是 x1 = 3 ,x2 = - 3 . 2.解:(1)x2 +3x+2 = 0,(x+1)(x+2)= 0,所以 x1 = -1,x2 = -2. (2)x2 -5x+6 = 0,(x-2)(x-3)= 0,所以 x1 = 2,x2 = 3. (3)x2 -5x-6 = 0,(x-6)(x+1)= 0,所以 x1 = 6,x2 = -1. (4)原方程可化为 x2 -7x-18 = 0,(x+2)(x-9)= 0,所以 x1 = -2,x2 = 9. 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 1. A　 2. 1+x+x(1+x)= 169　 3. B　 4. C 5. 共有 10 个队参加比赛. 　 6. B　 7. B 8. 赛义德得到的钱数为 12. 　 9. 10　 【变式】30　 10. 5 11. 共有 10 家公司参加商品交易会. 12. (1)x(x+1) (2)解:经过两轮传染后会有 81 人患病的情况发生,理由 如下:依题意,得 1+x+x( x+ 1- 4) = 81,整理,得 x2 - 2x- 80 = 0,解得 x1 = 10,x2 = - 8(不符合题意,舍去) . ∵ x1 = 10 为正整数,∴ 经过两轮传染后会有 81 人患病的情况发生. 13. (1)它们的平方之和是 25. (2)这两个正整数分别是 4 和 5. 14. (1)9　 14 (2)解:设此多边形的边数为 n,由题意,得n(n -3) 2 = 20,整 理,得 n2 -3n-40 = 0. 解得 n1 = 8,n2 = - 5(不符合题意,舍 去) . 答:八边形的对角线可以共有 20 条. 15. (1)36　 n(n +1) 2 (2)解:前 n 行的点数和不能是 100. 理由如下:假设前 n 行的点数和是 100,则n(n +1) 2 = 100, 即 n2 + n - 200 = 0, 解 得 n = -1± 12 -4×(-200) 2 = -1±3 89 2 . ∵ n 为整数,∴ 前 n 行的点数和不能是 100. 第 2 课时　 平均变化率、销售利润问题 1. B　 2. B　 3. 平均每年的增产率为 10%. 4. C　 5. 每顶头盔的售价是 70 元. 6.解:(1)当每台彩电降价 x 元时,每天彩电的销量为 8+ 6× x 75 = (8+ 2 25 x)台. (2)根据题意,得(3 900-x-3 500) (8+ 2 25 x) = 5 000,整理, 得 x2 -300x+22 500 = 0,解得 x1 = x2 = 150. 答:每台彩电应降 价 150 元. 7. D 8.解:设当每个粽子的售价为 x 元时,超市每天的销售利润为 800 元. 根据题意,得(x-3) (500-10×x -4 0. 1 )= 800,解得 x1 = 7,x2 = 5. ∵ 售价不能超过进价的 200%,∴ 3<x≤3× 200%, 即 3<x≤6,∴ x= 5. 答:当每个粽子的售价为 5 元时,超市每 天的销售利润为 800 元. 9. (1)y= 10x+100 (2)解:根据题意,得(60-x- 40) (10x+ 100) = 1 760,整理, 得 x2 -10x-24 = 0,解得 x1 = 12,x2 = -2(不符合题意,舍去), ∴ 60- x = 60 - 12 = 48. 答:这种排球每个的实际售价是 48 元. 10. (1)30　 50 (2)解:设每箱“沃柑”的售价降低了 m 元,根据题意,得 (50-m)×(1-60%)(100+4× m 2 ) +30×60%×(100+4× m 2 )= 4 080,整理,得 m2 -45m+350 = 0,即(m-10) (m- 35) = 0, 解得 m1 = 10,m2 = 35. 又∵ 50-m≥30,∴ m≤20,∴ m = 10. 答:每箱“沃柑”的售价降低了 10 元. 第 3 课时　 面积问题 1. C　 2. 8 3.解:由题意,得 2(x2 -4)= x2 +2x,整理,得 x2 -2x-8 = 0,解得 x1 = 4,x2 = -2(不符合题意,舍去),∴ x 2 -4 = 12,x2 +2x = 24, 则铁丝的总长为 12×6+24×6 = 216(cm) . 4. B　 【变式】C 5. 这块台布的长约为 7. 7 尺,宽约为 4. 7 尺. 6. C　 【解析】∵ 垂直于墙的一边长为 x 米,∴ 平行于墙的一 边长为 ( 40 - 2x) 米, 则 x ( 40 - 2x) = 198, 故 A 错误; ∵ x>0, 0<40-2x≤20,{ 解得 10 ≤ x < 20,故 B 错误;对于方程 x(40-2x) = 198,化简,得 x2 - 20x+ 99 = 0,解得 x1 = 9,x2 = 11,∵ 10≤x< 20,∴ x = 11,故只有一种围法,故 C 正确、D 错误. 7.解:设 AB= x m,则 BC= (22-3x+2)m,由题意,得 x(22-3x+ 2)= 45,整理,得 x2 - 8x+ 15 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 5. 当 x = 3 时,22- 3x+ 2 = 15> 14,不符合题意,舍去;当 x = 5 时,22- 3x+2 = 9,符合题意. 答:若花圃的面积刚好为 45 m2 ,则此时 花圃的 AB 段长为 5 m. 8.解:(1)设 BC = x m,则 AB = (33- 3x) m,依题意,得 x(33- 3x)= 90,解得 x1 = 6,x2 = 5. 当 x = 6 时,33- 3x = 15,符合题 意;当 x= 5 时,33-3x= 18,18>15,不符合题意,舍去. 答:鸡 场的长(AB)为 15 m,宽(BC)为 6 m. (2)不能,理由如下:设 BC = y m,则 AB = (33- 3y) m,依题 意,得 y(33- 3y) = 100,整理,得 3y2 - 33y+ 100 = 0. ∵ Δ = (-33) 2 -4×3×100 = -111<0,∴ 该方程无实数根,即该扶贫 单位不能建成一个 100 m2 的矩形养鸡场. 9. (1)30 (2)解:设小道的宽度为 y m,则栽种鲜花的区域可合成长 (30-y) m,宽(30-1-y) m 的矩形,依题意,得(30-y) (30- 1-y)= 812,整理,得 y2 -59y+ 58 = 0,解得 y1 = 1,y2 = 58(不 符合题意,舍去) . 答:小道的宽度为 1 m. 10. ( 5 -1 2 ) 3 11.解:设竹竿的长为 x 米,则城门的高为(x-2)米,宽为(x- 4)米,由题意,得(x-4) 2 +(x- 2) 2 = x2 ,解得 x1 = 10,x2 = 2 (不符合题意,舍去) . 答:竹竿的长是 10 米. 12.解:(1)当运动时间为 t s 时,CP= 2t cm,CQ = (16-4t) cm, 根据题意,得 1 2 ×2t(16- 4t) = 1 4 × 1 2 × 8× 16,整理,得 t2 - 4t+4 = 0,解得 t1 = t2 = 2. ∴ t 的值为 2. (2)△PCQ 的面积不能与四边形 ABPQ 的面积相等. 理由 如下:当运动时间为 t s 时,CP = 2 t cm,CQ = (16- 4 t)cm, 根据题意,得 1 2 ×2t(16- 4t) = 1 2 × 1 2 × 8× 16,整理,得 t2 - 4t+8 = 0. ∵ Δ= (-4) 2 -4×1×8 = -16<0,∴ 该方程没有实数 根,∴ △PCQ 的面积不能与四边形 ABPQ 的面积相等. 第二十一章　 整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 ①二元一次方程　 ②分母　 ③a= 0 或 b= 0　 ④0 1. (1)x= 4. 　 (2)x= - 1 3 . 2. (1)原方程组的解为 x= 5, y= 2.{ 　 (2)原方程组的解为 x= 3, y= -1.{ 3. (1)x= -1 是原分式方程的解. 　 (2)原分式方程无解. 4. (1)x1 = 2,x2 = -2. 　 (2)x1 = 3+ 5 2 ,x2 = 3- 5 2 . (3)x1 = -3- 10 ,x2 = -3+ 10 . 　 (4)x1 = 1,x2 = 6. 5. (1)当 m= 1 时,此方程是一元一次方程. (2)当 m≠1 时,此方程是一元二次方程. 二阶　 广西中考抢先练 1. C　 2. C　 3. B　 4. B　 5. C　 6. x1 = 3,x2 = -3 7. x1 = 0,x2 = 1 2 　 8. A　 9. D　 10. A　 11. 2 12. (1)证明略. 　 (2)k= -3. 　 13. B　 14. 48 15. (1)2t　 (5-t)　 (2)当 t= 0 或 2 时,PQ 的长度等于 5 cm. (3)存在. 当 t= 1 时,五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2 . 第二十二章　二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 1. C　 2. B　 3. 3 4.解:(1)y= 3-2x2 是二次函数,其中 a= -2,b= 0,c= 3. (2)y=x(x-1)+1=x2-x+1 是二次函数,其中 a=1,b=-1,c=1. (3)y= 2x(1-x)+2x2 不是二次函数. 5. A　 6. y= x(x -1) 2 7. S= 4π x2 +20π x+25π　 【变式】y= 16π-πx2 　 0<x<4 8. y 与 x 之间的关系式为 y= x2 +7x. 9. B　 10. D　 11. C 12. (1)当 m= ±2 2时,此函数是正比例函数. (2)当 m= 3 时,此函数是二次函数. 13.解:(1)圆柱的表面积 S 与圆柱的底面直径 x 之间的关系 式为 S= 1 2 π x2 +10π x,是二次函数. (2)圆柱的表面积增加了 102π cm2 . 14. 乙的说法正确. 理由略. 22. 1. 2　 二次函数 y=ax2 的图象和性质 1. A　 2. A　 3. B　 4. B　 5. k>-1　 6. -1 7. (1)画图略. (2)①抛物线　 y 轴　 (0,0)　 ② ①②　 ③④　 越小 越大　 ③y= -4x2 　 x 轴　 ④高　 x<0　 x>0 8. (1)a= 3. 　 (2)把 x= 3 代入 y= 3x2 ,得 y= 3×32 = 27. (3)抛物线的开口向上;抛物线的顶点是坐标原点;当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大. (答案不唯一,也可以是:抛物线 有最低点;当 x= 0 时,y 有最小值,最小值是 0 等) 9. D　 10. a>b>d>c　 11. 2π　 12. 2 13. (1)k= -3. 　 (2)n 的取值范围是-4≤n≤0. 14. (1)A( 3 ,1),C(- 3 ,1) . (2)菱形 OABC 的面积为 2 3 . 22. 1. 3　 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +k 的图象和性质 1. C　 2. B　 3. C　 4. B　 5. D　 6. y 轴 7. (1)(1,0)或(-1,0)　 (2)(0,-3)　 (3)增大　 减小 (4)小　 小　 -3 8. y3 <y2 <y1 　 9. B　 10. y= 1 2 x2 -1 11.解:(1)平移后的图象的解析式为 y= -x2 +2, 其顶点坐标为(0,2),对称轴为 y 轴. (2)当 x= 0 时,平移后的图象所对应的函数有最大值,最 大值为 2. 12. 能. 理由略. 　 13. A　 14. D　 15. -7 16.解:(1)∵ 把抛物线 y=ax2 +c 向下平移 3 个单位长度后得 到抛物线 y= -2x2 -1,∴ a= -2,c-3 = -1,∴ c = 2,∴ 平移前 的抛物线的解析式为 y= -2x2 +2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 九上·第二十一章 23　 第二十一章　整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 一、与方程有关的概念及解法 类型 一元一次方程 一元二次方程 二元一次方程组 分式方程 概念或一 般形式 ax+b= 0(a≠0) ax2 +bx+c = 0(a,b,c 为常数,a≠0) 由两个①　 二元一 次方程　 组成的方 程组叫做二元一 次方程组 ②　 分母　 中含有未知数的方 程叫做分式方程 解法或基 本思想 去分母 → 去括 号→ 移项 → 合 并同类项 → 系 数化为 1 降次,将一元二次方 程转化为一元一次 方程 消元,将二元一次方 程组转化为一元一 次方程 去分母, 化分式方程为整式方 程→解整式方程→检验→定解 二、一元二次方程解法的比较 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开 平方法 平方根的定义 (ax+b) 2 = n(a≠0,n≥0) 型方程 开平方 求解迅速、准确,但只适用于一些 特殊结构的方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 解法繁琐,当二次项系数为 1 时, 用此法比较简单 公式法 配方 所有一元二次方程 代入求根公式 计算量大,易出现符号错误 因式分 解法 若 ab = 0,则③　 a = 0 或 b= 0　 能化一边为④　 0　 ,另一 边为两个因式乘积的形式 的方程 分解因式 求解迅速、准确,但适用范围小 1. 解下列一元一次方程: (1) -x-1 = 3-2x; (2)4x +2 5 -5x-7 10 = 1. 解:(1)移项,得-x+2x=3+1, 合并同类项,得 x=4. (2)去分母,得 2(4x+2)-(5x-7)= 10, 去括号,得 8x+4-5x+7=10, 移项,得 8x-5x=10-4-7, 合并同类项,得 3x=-1, 系数化为 1,得 x=- 1 3 . 2. 解下列二元一次方程组: (1) x -2y= 1,　 ① 4x+3y= 26 ②{ (代入消元法); (2) 2x +3y= 3,　 ① 5x-3y= 18 ②{ (加减消元法) . 解:(1)由①,得 x=1+2y③, 把③代入②,得 4(1+2y)+3y=26,解得 y=2, 把 y=2 代入③,得 x=1+2×2=5, 所以原方程组的解为 x=5, y=2.{ (2)由①+②,得 7x=21,解得 x=3, 把 x=3 代入①,得 2×3+3y=3,解得 y=-1, 所以原方程组的解为 x=3, y=-1.{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 3. 解下列分式方程: (1)(2023 广西) 2 x-1 = 1 x ; (2)5x -4 x-2 +1 = 4x +10 3x-6 . 解:(1)方程两边同乘 x(x-1),得 2x=x-1, 解得 x=-1. 检验:将 x=-1 代入 x(x-1),得 x(x-1)≠0, ∴ x=-1 是原分式方程的解. (2)去分母,得 3(5x-4)+3(x-2)= 4x+10, 去括号,得 15x-12+3x-6=4x+10, 移项、合并同类项,得 14x=28,解得 x=2, 检验:当 x=2 时,3(x-2)= 0, ∴原分式方程无解. 4. 用适当的方法解下列一元二次方程: (1)2x2 -8 = 0;　 　 　 (2)x2 -3x+1 = 0; 解:(1)2x2 =8, ∴ x2 =4, ∴ x1 =2,x2 =-2. (2)∵ a=1,b=-3,c=1, ∴ b2-4ac=9-4=5>0, (3)x2 +6x= 1; (4)(x-1) 2 = 5(x-1) . ∴ x= -b± b2-4ac 2a =3± 5 2 , ∴ x1 = 3+ 5 2 ,x2 = 3- 5 2 . (3)x2+6x+9=1+9, (x+3) 2 =10, ∴ x+3=± 10 , ∴ x1 =-3- 10 ,x2 =-3+ 10 . (4)(x-1) 2-5(x-1)= 0. (x-1)(x-1-5)= 0, ∴ x-1=0 或 x-6=0,∴ x1 =1,x2 =6. 5. 已知关于 x 的方程(m-1)x2 +x-2 = 0. (1)当 m 为何值时,此方程是一元一次方程? (2)当 m 为何值时,此方程是一元二次方程? 解:(1)∵ (m-1)x2+x-2=0 是一元一次方程, ∴m-1=0,解得 m=1, ∴当 m=1 时,此方程是一元一次方程. (2)∵ (m-1)x2+x-2=0 是一元二次方程, ∴m-1≠0,解得 m≠1, ∴当 m≠1 时,此方程是一元二次方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二阶　 广西中考抢先练 考点 1　一元二次方程的有关概念 1. (2023 柳州鱼峰区模拟)将方程 3x2 = 5x-1 化 为一元二次方程的一般式后得 ( C ) A. 3x2 -5x-1 = 0　 　 　 　 B. 3x2 +5x-1 = 0 C. 3x2 -5x+1 = 0 D. 3x2 +5x+1 = 0 2. (2024 南宁武鸣区期中)已知一元二次方程 5x2 -1 = 4x,其中一次项系数、常数项分别为 ( C ) A. 4,-1　 　 B. 4,1　 　 C. -4,-1　 　 D. -4,1 3. (2023 桂林一模)已知 m 是一元二次方程 x2 - 4x+2 = 0 的一个根,则 8m-2m2 +2 的值为 ( B ) A. 6-16 2 B. 6 C. -6 D. 6+16 2 考点 2　一元二次方程的解法 4. (2024 桂林龙胜县期中)把一元二次方程 x2 + 12x+27 = 0 化为(x+p) 2 = q 的形式,正确的是 ( B ) A. (x-6) 2 = 9 B. (x+6) 2 = 9 C. (x+12) 2 = -27 D. (x+6) 2 = -27 5. (2024 防城港防城区校级月考)解方程 2x2 - 5x-1 = 0 时,确定方程有实数根后,由求根公式 x= -b± b2 -4ac 2a 得 ( C ) A. x= -5± 17 4 B. x= 5± 17 4 C. x= 5± 33 4 D. x= 5± 33 2 6. (2024 柳州融水县期中)一元二次方程 x2 -9 = 0 的解是　 x1 =3,x2 =-3　 . 7. (2024 河池宜州区期中)一元二次方程 2x2 = x 的解是　 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九上·第二十一章 25　 考点 3　一元二次方程根的判别式及根与系数 的关系 8. (2024 南宁一模)关于 x 的一元二次方程 x2 + mx-4 = 0 的根的情况是 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. (2024 南宁兴宁区校级期末)若关于 x 的一元 二次方程(k+2)x2 -2x-1 = 0 有实数根,则实数 k 的取值范围是 ( D ) A. k>3 B. k≥-3 C. k>-3 且 k≠-2 D. k≥-3 且 k≠-2 10. (2024 钦州钦南区校级月考)当 b+c= 5 时,关 于 x 的一元二次方程 3x2 +bx-c = 0 的根的情 况为 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 11. (2023 贺州一模)若 x1,x2 是方程 x2 -3x+2 = 0 的两个根,则 x1x2 = 　 　 2　 . 12. ( 2023 玉林模拟) 关于 x 的一元二次方程 x2 -(k+3)x+2k+2 = 0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程两根 x1,x2 刚好互为相反数,求此 时的 k 值. (1)证明:∵ x2-(k+3)x+2k+2=0, ∴ a=1,b=-(k+3),c=2k+2, ∴Δ=b2-4ac=[-(k+3)] 2-4×1×(2k+2) =k2-2k+1 =(k-1) 2≥0, ∴方程总有两个实数根. (2)解:由题意可知 x1+x2 =k+3=0, 解得 k=-3. 考点 4　一元二次方程的应用 13. (2023 广西)据国家统计局发布的《2022 年国 民经济和社会发展统计公报》显示,2020 年和 2022 年全国居民人均可支配收入分别为 3. 2 万元和 3. 7 万元. 设 2020 年至 2022 年全国居 民人均可支配收入的年平均增长率为 x,依题 意可列方程为 ( B ) A. 3. 2(1-x) 2 = 3. 7　 　 B. 3. 2(1+x) 2 = 3. 7 C. 3. 7(1-x) 2 = 3. 2　 　 D. 3. 7(1+x) 2 = 3. 2 14. ( 2023 南宁西乡塘区月 考)如图是一张长 12 cm、 宽 10 cm 的矩形铁皮,将 其剪去两个全等的正方形 和两个全等的矩形,剩余部 分(阴影部分)可制成底面积是 24 cm2 的有盖 长方体铁盒,则该铁盒的体积为　 48　 cm3. 15. (2024 南宁武鸣区期中)如图,在长方形 ABCD 中,AB= 5 cm,BC = 6 cm,点 P 从点 A 开始沿 边 AB 向终点 B 以 1 cm / s 的速度移动,与此 同时,点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2 cm / s 的速度移动. 如果 P,Q 分别从 A,B 同时 出发,当点 Q 运动到点 C 时,两点停止运动. 设运动时间为 t s. (1)填空:BQ= 　 2t　 　 cm,PB = 　 　 　 　 cm (用含 t 的代数式表示); (2)当 t 为何值时,PQ 的长度等于 5 cm? (3)是否存在 t 的值,使得五边形 APQCD 的 面积等于 26 cm2? 若存在,请求出此时 t 的 值;若不存在,请说明理由. (5-t)×2t× 1 2 =4, 解得 t1 = 4 ( 不 合 题 意, 舍 去),t2 =1. 即当 t = 1 时,五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋