精品解析：云南省玉溪市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试卷

玉溪市2024～2025学年春季学期期末高一年级教学质量检测数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模长公式进行求解 【详解】因为，则， 故选：D． 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，判断零点所在区间. 【详解】已知，因为都是R上的增函数， 所以函数是连续的增函数， 易知，， 可知，故函数的零点所在的区间是， 故选：C． 4. 圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出母线长，再利用圆锥的侧面积公式即可求得结果. 【详解】由圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，即圆锥的母线长为， 所以其侧面积为，故D正确. 故选：D． 5. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由图有，即可求函数的最小正周期. 【详解】由图可知，则，即的最小正周期为. 故选：B 6. 在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义列式结合一元二次不等式的解法计算求解. 【详解】， 化简得，， 故选：B． 7. 某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】设孩子是男孩记为，孩子为女孩记为，则样本点为，，，，，，，，其中都是男孩为，故3个孩子都是男孩的概率， 故选：A． 8. 已知，且与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据模长及夹角得出，再应用夹角余弦公式计算求解即可. 【详解】因为， ， 所以与的夹角为， 故选:B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. 定义域为 B. 是奇函数 C. 在单调递增 D. 在单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正切函数的性质可求解定义域A，根据奇偶性的定义可判断B，由指数函数和正切函数的单调性可求解CD. 【详解】由已知，函数定义域为，定义域关于原点对称，，则为奇函数， 由于均为单调递增函数，故单调递增， 当时，单调递增，所以在单调递增，故BC正确，AD错误， 故选:BC． 10. 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给公式逐一验算各个选项即可得解. 【详解】由题可得，，，， 故选：ABD． 11. 如图，三棱台中，平面平面，，，则（ ） A. 平面 B. C. D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的判定定理即可得证；对于BC，说明，结合即可判断；对于D，由线面角的定义验算即可判断. 【详解】对于A，，平面，平面，平面，故A正确； 对于BC，如图，作，交于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，在中，， ，，， 又，是直角三角形，且， ，而平面，， 又平面，平面，， 平面， 平面，， 在三棱台中，，，不垂直于，故B错误，C正确； 对于D，设，则，，在中，，， 在中，，作于， 平面，平面， ，而平面，平面，， 平面， 平面，，是直角三角形，且， 设与平面所成角为，则即为与平面所成角， 且， 在中，， ，，故D错误. 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 13. 已知，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二倍角公式得到，求出. 【详解】， ，，． 故答案为：1 14. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件得到是以4为一个周期的周期函数，并求出，，，当时，，从而求出的值. 【详解】是定义域为的奇函数，且， ，，即函数是以4为一个周期的周期函数， 中，令得， 中，令得， ， ∴， 又， 故， 所以当时， ， 其中，， 则． 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本数据的第50百分位数； （2）估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 【答案】（1） （2）50岁 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图百分位数定义列式计算求解； （2）根据频率分布直方图平均数定义列式计算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 样本中数据落在的频率为， 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有：，解得． 【小问2详解】 设100名游客的平均年龄为，由图可知， ， 故这100名游客的平均年龄约为50岁． 16. 已知函数． （1）求； （2）证明：函数的图象关于点对称； （3）当时，求函数的所有零点的和． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由解析式可得，即可证结论； （3）应用方程法，结合给定区间求函数的零点，进而求和即可得. 【小问1详解】 已知函数，则． 【小问2详解】 由， 所以函数的图象关于点对称． 【小问3详解】 令，即， 所以或，，解得或， 因为，则，，，，． 17. 如图，在正方体中，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：， 又平面，平面，平面． （2） 【解析】 【分析】(1)证明，得关键线线平行，从而得到平面； (2)证明，得到二面角的平面角，在直角三角形中，找到它的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在正方体中，平面， 又平面，． 为的中点，． 又，平面，平面， 平面．又平面，． 又，为二面角的平面角． 设正方体的棱长为2， 则，，， 二面角的正弦值为． 18. 已知是奇函数． （1）求的值及的定义域； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，从而可得，即可求其定义域； （2）根据对数型复合函数求其单调性在上单调递增，，然后利用单调性即可求解. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以恒成立， 所以，即， 所以，即，因为，所以， ，，解得， 所以函数的定义域为． 【小问2详解】 函数， 因在上单调递增，为增函数， 由复合函数定义可得在上单调递增， 因为， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 19. 设锐角内部的一点满足，且． （1）证明：； （2）求角； （3）若，，，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意知点为三角形外心，根据圆周角和圆心角的关系，以及数量积的定义，证明等式； （2）根据向量的减法以及对向量等式进行数量积运算，化简可得，结合三角形形状可求出角； （3）先根据几何知识求出，再根据余弦定理求出，然后根据三角不等式即可求出线段长的最大值. 【小问1详解】 如图所示，锐角内部的一点满足，则为的外接圆的圆心， ， 又， ． 【小问2详解】 设的外接圆的半径为， 因为， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即， 所以，因为，所以或，所以或． 【小问3详解】 ，由（2）可得，， 由正弦定理可得，， 易知， 所以， ，当且仅当、、三点共线时取得最大值， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪市2024～2025学年春季学期期末高一年级教学质量检测数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2 6. 在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. 定义域为 B. 是奇函数 C. 在单调递增 D. 在单调递减 10. 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，三棱台中，平面平面，，，则（ ） A. 平面 B. C. D. 与平面所成角的正弦值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为______． 13. 已知，，则______． 14. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本数据的第50百分位数； （2）估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 16. 已知函数． （1）求； （2）证明：函数的图象关于点对称； （3）当时，求函数的所有零点的和． 17. 如图，在正方体中，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知是奇函数． （1）求的值及的定义域； （2）求不等式的解集． 19. 设锐角内部的一点满足，且． （1）证明：； （2）求角； （3）若，，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $