精品解析：广东珠海市2025-2026学年第二学期期末阶段性教学质量检测高二数学试题

2025-2026学年第二学期期末阶段性教学质量检测高二数学 试卷满分：150分 时限：120分钟 注意事项： 答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号等在答题卷上准确填写并用2B铅笔规范填涂准考证号． 选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数列的递推公式和首项，依次代入即可计算求解. 【详解】由题意得，. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数， 则. 3. 篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，50%，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（ ） A. 0.44 B. 0.46 C. 0.54 D. 0.70 【答案】B 【解析】 【详解】设两个部门分别为部门1、部门2， 由人数比为，可得抽到部门1的概率为，抽到部门2的概率为， 已知部门1员工喜欢篮球的概率为，部门2员工喜欢篮球的概率为， 根据全概率公式，从这两个部门中随机抽取一人， 其喜欢篮球的概率为：. 4. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，． 5. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：， 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：， 故总安排方法数为：． 6. 已知随机变量的概率分布如下表，则（ ） 1 2 3 0.3 0.3 A. 0.6 B. 2 C. 2.4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求出数学期望及方差，再应用方差性质计算求解. 【详解】根据概率分布得，解得， 计算得，， 根据方差性质得. 7. 小明研究温差（单位：℃）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论正确的是（ ） 3 4 5 6 7 14 19 25 28 34 A. 与负相关 B. 经验回归直线经过点 C. D. 当时，残差为 【答案】D 【解析】 【分析】观察数据或者求得，可知正相关，可判断A；利用样本中心点在回归直线上，可以判定B；将样本中心点坐标代入回归直线方程,可求出的估计值，可判断C；结合C，可求得预测值，进而计算残差，从而判断D. 【详解】对于A：观察数据，增大时也增大，说明与正相关，故A错误； 对于B： 易得，，样本中心点为，因为回归直线方程经过样本中心点， 所以不可能经过.故B错误； 对于C：将样本中心点坐标代入回归直线方程得，， 则，故C错误； 对于D：由C可知，计算预测值，实际值， 残差.故D正确. 8. 某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解. 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得部分分，有选错得0分．） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为1120 B. 第4项二项式系数最大 C. 所有项的二项式系数和为 D. 所有项的系数和为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，展开式的常数项为，A正确； 对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误； 对于C，所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得所有项的系数和为，D正确. 10. 已知等差数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为15 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，等差数列中，因为，，，， 所以，公差，数列是递减数列，故A错误； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确； 对于D，，，因此，当时，的最大值为，故D错误. 11. 设，且．若随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）（附：若随机变量，则） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布和二项分布的性质求解. 【详解】选项A，，则， ，则， ，A正确. 选项B，， 则， ，和选项中不符，B错误. 选项C，， ，C正确. 选项D，，， ， ， 因为，，所以， 因为， 所以， 所以，D正确． 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 数列满足，，则数列的前8项和______. 【答案】502 【解析】 【详解】因为，所以，易知，故， 又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为，则， 所以数列的前8项和 . 13. 已知函数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】求导得，再求得，然后可得并计算即可． 【详解】， ，解得，则， ． 14. 某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________．（结果保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】先计算样本均值，再根据相关系数公式分别计算分子、分母后代入求值即可. 【详解】由题意得，，，，， 故. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答过程中应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数.求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程； （2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值. 【小问1详解】 ，则， ，切点是， 故切线方程是，即； 【小问2详解】 令，解得：或， ，，在的变化如下： 0 2 3 0 0 单调递增 极大值1 单调递减 极小值 单调递增 1 在和上单调递增，在上单调递减， 最大值是，又，， 在的最大值是， 在在最小值是. 16. 已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． 【小问2详解】 由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 17. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）补全列联表如下： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 依据小概率值的独立性检验，可以推断阅读习惯与学业成绩水平有关. （2） 的分布列为： 1 2 3 期望. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论； （2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望. 【小问1详解】 由题可知，，，所以，得， 又，所以，得， 结合已知可得列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 零假设阅读习惯与学业成绩水平没有关系. 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立， 即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 有固定阅读习惯中成绩优良的有人，成绩一般的有人， 所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人， 则的可能取值为：， ，， ， 所以 的分布列为： 1 2 3 期望. 18. 设． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助赋值法，令代入计算即可得； （2）结合（1）中所得，再令代入计算即可得； （3）借助二项式的展开式的通项公式计算可得每项系数的正负，结合（2）中所得即可得解. 【小问1详解】 令，则有， 即； 【小问2详解】 令，则有， 即， 又， 则； 【小问3详解】 对，有，且， 则当为奇数时，为负数，当为偶数时，为正数， 故. 19. 已知函数（）． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用“函数在极值点处一阶导数为零”的必要条件，代入建立关于参数m的方程并直接求解. （2）对原函数求导后，以为分界点进行分类讨论，通过判定导函数的正负，从而确定原函数的单调递增与递减区间. （3）将“双变量恒成立”问题转化为“最值比较”问题，并通过构造以求得右侧最值，再结合左侧的最大值即可解出参数m的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，且，解得. 当时, 函数在左右导数符号异号，极值点成立. 综上. 【小问2详解】 由上知， ①当时， 对任意，都有，因此恒成立， 此时，在上单调递增， ②当时， 令，解得，因为，所以， 当时，，此时，单调递增， 当时，，此时，单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由题意得， 由上知若，单调递增至，无最大值，不符合题意，因此必须有， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 设，则，令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即恒成立， 即恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则有，其中， 所以有，整理得， 因为，所以有， 当且仅当时等号成立, 因为在上严格单调递增，且当时, 当时，且， 故必然存在唯一的使得,即等号可以取得， 即恒成立，即， 则，解得. 综上， 实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末阶段性教学质量检测高二数学 试卷满分：150分 时限：120分钟 注意事项： 答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号等在答题卷上准确填写并用2B铅笔规范填涂准考证号． 选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，50%，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（ ） A. 0.44 B. 0.46 C. 0.54 D. 0.70 4. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量的概率分布如下表，则（ ） 1 2 3 0.3 0.3 A. 0.6 B. 2 C. 2.4 D. 5 7. 小明研究温差（单位：℃）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论正确的是（ ） 3 4 5 6 7 14 19 25 28 34 A. 与负相关 B. 经验回归直线经过点 C. D. 当时，残差为 8. 某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得部分分，有选错得0分．） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为1120 B. 第4项二项式系数最大 C. 所有项的二项式系数和为 D. 所有项的系数和为 10. 已知等差数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时，最大 D. 当时，的最大值为15 11. 设，且．若随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）（附：若随机变量，则） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 数列满足，，则数列的前8项和______. 13. 已知函数，则______ 14. 某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________．（结果保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：） 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答过程中应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数.求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最值. 16. 已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 设． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 19. 已知函数（）． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $