第3章 图形的相似 整合复习与对接中考-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 第 3 章　整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 一、全等三角形与相似三角形 全等三角形 相似三角形 图形 　 　 　 　 定义 能完全①　 重合 　 的两个三角形叫作全等三 角形 三个角对应②　 相等 　 ,三条边③　 成比 例 　 的两个三角形叫作相似三角形 形成 过程 一个图形可以看作由另一个图形平移、旋转、轴 对称得到 一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 判定 方法 SSS:三边分别④　 相等　 的两个三角形全等. SAS:两边及其⑤　 夹角 　 分别相等的两个三 角形全等. ASA:两角及其⑥　 夹边　 分别相等的两个三 角形全等. AAS:两角分别相等且其中一组等角的⑦　 对 边　 相等的两个三角形全等. HL:斜边和一条直角边分别⑧　 相等　 的两个 直角三角形全等 (1)⑨　 平行　 于三角形一边的直线和其他两边 相交,所构成的三角形与原三角形⑩　 相似　 . (2)三边􀃊􀁉􀁓　 成比例　 的两个三角形相似. (3)两边􀃊􀁉􀁔　 成比例　 且􀃊􀁉􀁕　 夹　 角相等的两个 三角形相似. (4)􀃊􀁉􀁖　 两　 角分别相等的两个三角形相似 性质 整体:形状相同,大小􀃊􀁉􀁗　 相同　 ,完全重合 整体:形状􀃊􀁉􀁘 　 相同 　 ,大小􀃊􀁉􀁙 　 不同 　 ,不能 重合 角:对应角􀃊􀁉􀁚　 相等　 角:对应角􀃊􀁉􀁛　 相等　 线段:对应边􀃊􀁊􀁒　 相等　 ;对应边上的高线、中 线、对应角的平分线􀃊􀁊􀁓　 相等　 ; 周长􀃊􀁊􀁔　 相等　 ; 面积􀃊􀁊􀁕　 相等　 线段:对应边之比都等于􀃊􀁊􀁖　 相似比　 ;对应边上 的高线、中线、对应角的平分线之比都等于􀃊􀁊􀁗　 相 似比　 ; 周长之比等于􀃊􀁊􀁘　 相似比　 ; 面积之比等于􀃊􀁊􀁙　 相似比的平方　 1. 如图,已知∠1 = ∠2. (1)添加条件:　 ∠C=∠E(答案不唯一) 　 ,使△ABC∽△ADE; (2)若 AC=AE,添加下列条件后,仍无法判定△ABC≌△ADE 的是 ( D ) A. ∠B= ∠D　 　 　 　 　 B. AB=AD　 　 　 　 　 C. ∠C= ∠E　 　 　 　 　 D. BC=DE 27 九上·第 3 章 2. 如图,点 P 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上,连接 CP 并延长,交 AD 于点 E,交 BA 的延长线于点 F. (1)△APD 与哪个三角形全等? 请说明理由; (2)求证:PA2 =PE·PF. (1)解:△APD≌△CPD. 理由:∵四边形 ABCD 为菱形,∴∠ADP=∠CDP,AD=CD. 在△APD 和△CPD 中, AD=CD, ∠ADP=∠CDP, DP=DP, ì î í ï ï ïï ∴△APD≌△CPD(SAS); (2)证明:∵△APD≌△CPD,∴∠DCP=∠DAP,PC=PA. ∵DC∥AB,∴∠DCP=∠AFP,∴∠DAP=∠AFP. 又∵∠FPA=∠APE,∴△FPA∽△APE. ∴PA PE =PF PA ,即 PA2 =PE·PF. 二、坐标系中的图形变换[假设变换前的点坐标为(x,y)] 变换方式 平移 对称 左右平移 m 个单位 上下平移 n 个单位 关于 x 轴 对称 关于 y 轴 对称 关于坐标原 点中心对称 关于坐标 原点位似, 位似比为 k 变换后 所得点 的坐标 (x±m,y) 左减右加 􀃊􀁊􀁚(x,y±n) 上加下减 􀃊􀁊􀁛(x,-y) 􀃊􀁋􀁒(-x,y) 􀃊􀁋􀁓(-x,-y) 􀃊􀁋􀁔(kx,ky) 3. 关联知识练习 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(3,4),点 B(4,0) . (1)将△AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位后得△A1O1B1,则点 A1 的坐标为　 (2,4) 　 , △A1O1B1 的面积为　 8　 ; (2)将△AOB 沿 x 轴翻折得△A2OB,则点 A2 的坐标为　 (3,-4) 　 ;将△AOB 沿 y 轴 翻折得△A3OB3,则点 A3 的坐标为　 (-3,4) 　 ; (3)将△AOB 绕原点旋转 180°后得△A4OB4,则点 A4 的坐标为　 (-3,-4) 　 ; (4)以点 O 为位似中心,位似比为 1 2 ,将△AOB 放大后得△A5OB5,若点 B5 在 x 轴负半轴上,则 点 A5 的坐标为　 (-6,-8) 　 ,△A5OB5 的面积为　 32　 . 二阶　 广西中考抢先练 考点 1　平行线分线段成比例 1. (2024 柳州柳南区三模)如图,已知 AB∥CD∥ EF,AD ∶AF=3 ∶5,BE=10,则 BC 的长等于 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点 2　相似三角形的判定与性质 2. (2020 贵港)如图,在△ABC 中,点 D 在 AB 边 上,若 BC = 3,BD = 2, 且 ∠BCD = ∠A, 则线 段 AD 的长为 ( B ) A. 2 B. 5 2 C. 3 D. 9 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 37 广西数学(XJ) 3. (2022 贺州)如图,在△ABC 中,DE∥BC,DE = 2,BC= 5,则 S△ADE ∶ S△ABC 的值是 ( B ) A. 3 25 B. 4 25 C. 2 5 D. 3 5 第 3 题图 　 　 变式题图 【变式】如图,已知 DE∥FG∥BC,且将△ABC 分 成面积相等的三部分,若 BC= 15,则 FG 的长 度是 ( A ) A. 5 6 B. 10 C. 4 3 D. 7. 5 4. 多解法 (2024 广西)如图,边长为 5 的正方 形 ABCD,E,F,G,H 分别为各边中点. 连接 AG, BH,CE,DF,交点分别为 M,N,P,Q,那么四边 形 MNPQ 的面积为 ( C ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 5. ( 2024 广西节选) 如图,在 △ABC 中, ∠B = 90°,AB = 6. AC 的垂直平分线分别交 AC,AB 于点 M,O,CO 平分∠ACB. 求证:△ABC∽△CBO. 证明:∵OM 垂直平分 AC, ∴OA=OC,∠A=∠ACO. ∵CO 平分∠ACB, ∴∠ACO=∠BCO=∠A. ∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBO. 6. (2021 玉林)如图,在△ABC 中,点 D 在 AC 上, DE∥BC,DF∥AB. (1)求证:△DFC∽△AED; (2)若 CD= 1 3 AC,求 S△DFC S△AED 的值. (1)证明:∵DF∥AB,DE∥BC, ∴ ∠DFC = ∠ABF, ∠AED = ∠ABF,∴∠DFC=∠AED. 又∵DE∥BC,∴∠DCF=∠ADE, ∴△DFC∽△AED; (2)解:∵CD= 1 3 AC,∴CD DA = 1 2 . 由(1)知,△DFC∽△AED, ∴ S△DFC S△AED =(CD DA ) 2 =( 1 2 ) 2 = 1 4 . 考点 3　相似三角形的应用 7. (2024 贵港三模)如图,在△ABC 中,直尺的一 边与 BC 重合,另一边分别交 AB,AC 于点 D, E. 其中点 B,C,D,E 处的读数分别为 8,16, 10. 5,14. 5,已知直尺宽为 3,则△ABC 中 BC 边 上的高为 ( D ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. (2022 北部湾经济区)古希腊数学家泰勒斯曾 利用立杆测影的方法,在金字塔影子的顶部直 立一根木杆,借助太阳光测金字塔的高度. 如 图,木杆 EF 长 2 米,它的影长 FD 是4 米,同一 时刻测得 OA 是 268 米,则金字塔的高度 BO 是　 134　 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 九上·第 3 章 9. (2024 广西模拟)土圭之法是在平台中央竖立 一根八尺长的杆子,观察杆子的日影长度. 古 代的人们通过夏至时日影最短,冬至日影最长 得到夏至和冬至,确定了四季. 如图,利用土圭 之法观测两个时刻杆的影长,发现第一时刻光 线与杆的夹角∠BAC 等于第二时刻光线与地 面的夹角∠ADB,测得第一时刻的影长 BC 为 1. 6 尺,则第二时刻的影长 BD 为　 40　 尺. 10. 如图,小华和同伴在春游期间,发现在某地小 山坡的点 E 处有一棵盛开着桃花的小桃树, 他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树 到山脚下的距离,即 DE 的长度,小华站在点 B 的位置,让同伴移动平面镜至点 C 处,此时 小华在平面镜内可以看到点 E,且 BC = 2. 7 米,CD= 11. 5 米,∠CDE = 120°,已知小华的 身高为 1. 8 米,请你利用以上数据求出 DE 的 长. (结果保留根号) 解:如解图,过点 E 作 EF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F,∵∠CDE= 120°,∴∠EDF= 60°, 设 EF=x 米,则 DF= 3 3 x 米, ∵∠B=∠EFC= 90°,∠ACB=∠ECD, ∴△ABC∽△EFC, ∴BC AB =CF EF ,即2. 7 1. 8 = 11. 5+ 3 3 x x ,解得 x= 9+2 3, ∴DE= EF sin60 ° =2 3 3 ×(9+2 3)= 6 3+4(米). ∴DE 的长为(6 3 +4)米. 考点 4　位似 11. (2022 梧州)如图,以点 O 为位似中心,作四 边形 ABCD 的位似图形 A′B′C′D′,已知 OA OA′ = 1 3 ,若四边形 ABCD 的面积是 2,则四边形 A′B′C′D′的面积是 ( D ) A. 4 B. 6 C. 16 D. 18 12. (2022 河池) 如图,在平面直角坐标系中, △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( 4,1), B(2,3),C(1,2) . (1)画出与△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1; (2)以原点 O 为位似中心,在第三象限内画一 个△A2B2C2,使它与△ABC 的相似比为 2 ∶ 1, 并写出点 B2 的坐标. 解:(1)如解图,△A1B1C1 即为所求; (2)如解图,△A2B2C2 即为所求,点 B2 的坐标为 (-4,-6) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 小专通培优6机似三角形的常见校型 mmc-m-3,wnC+C✉5，ǒ2=*n 3解：基长F交D于点公 ,点4前坐标是2,4月，，格=2,48=4 ①42 ACR LB23 SOC COCD3B40 AF BC CE 5A C0。△△A城.-G7 六高广品rn0w66, 4 秦用略 △mEAA指C5。 又：B▣0米，F=3家，G=12深， 点G是0的中点，∴C(36) 1,G a6nc彩利日提 之一6：民，博以北例属数的表达大为一丹 装(1)旺明降 12)D=1.n 减=知米，如42=25.541=指. A8上年精，=，=自 5小话 暮客：娠处失有当棵牌 看P失号性明品.男CNL子 4A 5C 34.2相似三角形的性质 13(1)定铺国边形A功是E本聚， 6相角？为6国 242.41.r2,0.C(3.4).B6.31.4'(6.12). 第1课的相似三尾形的性因 :ABC=CD4,∠re∠C=0 7.136&3 失解：解阁，过点W作FLA唇，并延F r6.0154w-2445623-6 (高、角平分线、中找) ⊥X,.∠A94∠作+∠=0 在△AW中.∠导+∠AW=T,去∠x=∠ 交D于点尾确框意得，A0=5n,F= 142n △40馆的能队为号 6236 又：∠N=∠G,:△4I△N: 2耐，5⊥(An,去△根 人证明解 4453244 (》解：T△Af中△x,△4nW的项长与△WT的风 HF AN △A功的衡积为 *2- 2 1.CF-7 mn 长之比是4：3.4加.4.44 ac.E远小+k3 凸F▣34中，12EF=16n.属的宽理为 系C只4度251M24m.0m 25 14 1得 11.解：△4B0一A4',AD,能分倒是△AC的高有中 1 ：由直得==16，=f, 线A,含分彩是△的商到中线六T四” AD E 小专缓培优7相但三角思的常考类型集 0=体m,球=(4=0 第3章整合复习与对接中考 2FF=上4m.,G=EF-G=24=L,h=且积m 一阶关联知识显合练 46 0=4.4re,6m不邮聘r:子 ∠EG=∠H,.△CG△AW, 1由重个陆等号成境比钢用等客丸角 7.证明：：四边用B是师形， CC EG I Q 8 你表边⑦对边零相等夏平行)相日域比例 1h解C=4CC.六度 AC RC 产国相=44n B成比例)复构15和间相间不可 ∠10=∠A极=0AB-E.4A的：∠Aw=0 ÷n=A:别=44+L.6=1m1. 信稻等9时等秀相等相等松相等相零 又4G年∠，AUn△ ,学粒自杆A格的在度为6匹 非短过比茶用叙比相以比香用氨性的平方 :AG=6,B以=42，时=2，，F分同为4C,的中直 1a4AE-0,,△AEn△D, 1∠C=(答军不一小D ·瓷然名鳄兴 面西r-成：线机x,二A=城· AD DE 3.6位似 上(1M:△AaAa 第1课时位图形的概老、性质及酒速 国边AD为表惠.∠A=∠，A=C队 A期：(1用边形H是更惠.六，C 小专题培优8相银三角彩中的内接四边形问题 AD-C0. EH AM 1.解：设AD与环交于点K, LB玉A3G44博及号 在△P0和△W中，LAW"=∠P,△D≌△ 在同 DP=BP. E=0,04,44-室，4 别4- ~具边表为正方用，断配一0配 7.解：1)腾图略：(216210 设正方形E的立长为含n.州A林=(20-m,% 装G多1m名L192日0k(写 (2)E明：AAPa△CPW.∠P=∠BP,P℃=PL (4-1. 宁卖限B G8A银.∠GP∠FP,LP∠AP 14解11)作用路：(253 博正方港EFC酒的边长为2m 第2课时：平面直角坐标系中的位心 :上-匹aaE…0-你 Z H 3C 4D LB【宝式授间1(-4，)2AaC43.1月 =W·W, (2)形EF好为正方E即利，EFaW 感解：()=C理由如下：设每个正方无的 5商图略 易(，士w）9(,一y) 国(-1，y)海(-，-y）国( 边长为. 4西路 如解图则去作= 3112.4)812)(3.-4》(-3.4)(3)(-3,-4y ·当版用为正方时时，的长夏为号 ,F前.+△4△40 {41-6,-)2 AM K 1 第2课时相三角形的性质（南积，透长） “Gm7之=a 9解：(1)建立平雀直角生存屑 二阶广西中考抽先练 如解闲，点：的卡标为（一2， 1C 2B 3B A 4C 1G2A2 上40-3…0写 AM I -51 ￡证明停 《2)如解m,△An,CG:为 长(I证明：FAR.DC 本c特西积为号 EFG.,△AHFA64 求0： ∠FAF,AD∠AF名∠=A EF AM 1 名事617.2 之子3站仙- (3)如解西，点P为所求作 点1-2,1 素△C的同长为 橡制11)△AOB样△AB 失G1n11L56 备位饭三角形，且位山比是 上〔山期魔， 3.5相似三角形的应用 1。Am1 (2算：在△4r中，∠C=0,AC-3,=4,D=2, 由1)妇，△DFC△4ED, 1.C218 参考答案 2D814段40 Ia解：如解图.过点E作EF⊥C交C的A长线于点F, ∠C■周.a+62e2,dA+ 圆EFAC,△EF一△BC 生豆明：量在hA4B既中，上C=,∠A=a,∠A,上8，∠G的 女∠限1，∠EDF0r, ir春s1: 受略等器 对边分以为6，c,渊+■c2, 3312 则iama((.,. 设F:米，期m.马 30ie4- 解得求=1，F=2. 13 甘∠BEFE=0 第2课封45,0角的正兹镇及用 lm4m答2 ∠aI=∠CD. 计算器求锐免的正弦值成对控的能角 15解：解方得+2-3=0，释，=1，与三-3。 1.11)证明：在角△6中，录较角么A的甘也为#.器边为 BAG6℃. 2n角+w't-3(联+15)=2s'65+aw45 6,斜边为，调n 相程1=9+23， 人原式=L 13 um=经-3号 4A及15320 0了2-6香4米 i解如解相，在等层直角△ABC中。∠C=阳，磁装B到 点D,旋斜A作=即.连接AD.刚∠1D三∠四 ·延的长为634利米 t258 4 10 0期：l慢作1026复300且34柱031515190 ,✉2h.D(年-6=0.4=. 口解：1)如解围，△AN,6,印为而求： a.995 45 [发现】有最角∠4的皮数不带大，1的值线不南 2257 在h△度中，m~片-1（解法不一- 增先 ∠A=45=∠D+∠D=2∠D,cD=125 4.3解直角三角形 [应用引(》A42)∠尽C的正住值修大.梅子辅园 没AC=1,渊c=,4作=5C=5 LC上C 第3课时余弦 D=团+D=GB+W=I+2 3∠4=5“，An=2以8.=21.1 tm25m-,店区-1 4 小专题培宽9求锐角三角南数 互解y∠C0,C=12,u4■ G”手-C-6w 值的五种常用方法 1.11)0%(行0198)2T cCo号号 1.A 2)妇时图，△几，G甲为所求，意易的生布为(-4.-62 第4章锐角三角函数 前，位01n25 I.B 2解：ADLC.∠4m=∠AC=0在出△D中， 4C T.60 ∠悬h。的3 初子023税边乙及0-头C 发解：在△A面中，∠(：，4aN。 AC 4.1正弦和余弦 4.2正切 g,+∠4=用”-LB=r,法A=2C=M 第1津时正兹及功的正落值 1A工行【安式]相12化反仙 140=-0m5.+G=4Cr■U.C= .12 1A1nC112成w5 La 20 ac 21-=3-1-3-1@ G 以解：如解围，过点A作AD⊥G干 系解1式2× 玉解：在△4C中，∠ACB。知Ee=3:5, 1,(1)1.19(2)0$N(}T7《2)0 n2号 .则∠AB=∠ADC=0 在面△ADN中，∠B=3,AW三4 录u=就4=纵，六=可* 4[变式设同】C k(1解：解图，过点G作E⊥A成丁 点多.在△中.C■C4 店，D-0·nT6,习 0解：(t)在购△Ac中，G=√AW-G=√13-1=5 1∠Ae..5 inl w=25 A II B BE▣√CE▣3I-2 w了c- 2解：在△中，n匹 (21片LC=A,∠程+∠AN=T,∠A+∠n=”. :∠X=LN, 六w=,47为 在△四中，6-子-23D=+ 4i告 131313 (2解：m是An也上的中线A0-储了湖-空 3据：1)AD1C,4w■用，=6 0=√A而-D■I而=春=8 二，请=如-家= 5 n∠，C 1 %c;等14红号a24号 2 "2 taeL=1.LC=5”,0世40 =+C》:8+6■4： 15翻注点A作b⊥于点D.~A情=AC,=C=2由 14解：(11山女爱定型斜.A帽=√AC+03+3=3江. (2),证是c边士的叶线正-C-7 句吸淀理，得很-丽，5水地当 h题直得，n=2,C0=1. K解：∠8G=0r,且AD是△A的中线，AD=5, ∠40至上4前=T,∠A=乙A, a5=C若-CD=7-6=1 B=240=10,A0=C, 14解：11 Am-a0装学话 A01G,4AE=0+E=G+=3打 4 a In 5 m∠E.g.L罗 期得A52.,E4A-AE12: 4 情7行 (21图.过点E作EF⊥C1点F, 48活或43 参考答常