第2章 小专题培优4 一元二次方程的解法及拓展-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

0 0 小专题培优 4 一元二次方程 类型一一元二次方程的常见解法 1.请用指定方法解下列一元二次方程： (1)4x2+x-3=0(公式法)： (2)x2-6x-16=0(配方法)： (3)(x+1)(x+2)=2x+4(因式分解法). 2.用适当的方法解下列方程： (1)(x-1)2=9: (2)x2+2x-4=0: 28广西数学(XU) 的解法及拓展 重点强化 (3)(x-4)2+x(x-4)=0: (4)2x2-3x+1=0. 3.解方程x2-2x-99=0,某同学的解法如下： 解：由x2-2x-99=0得x2-2x+1=99+1, .(x-1)2=100,x-1=±10， x1=11,x2=-9. (1)这位同学是用 法解方程的： (2)另一位同学说还有一种比较简单的方法可 以解该方程，请写出该过程 类型二一元二次方程的特殊解法（拓展）】 方法1“十字相乘法”解一元二次方程 4.【阅读材料】解方程x2+2x-35=0,我们可以按 下面的方法解答： 分解因式：x2+2x-35. ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35= (-5)×(+7). 米-5 ②交叉相乘，验中项：X→7x-5x=2x 龙+7 ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5) 根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0,则方 程x2+2x-35=0可以这样求解： 方程左边因式分解得(x+7)(x-5)=0,所以原 方程的解为x1=-7,x2=5., 试用上述方法和原理解下列问题： (1)分解因式：m2-10m+21: (2)解方程：x+5x+4=0: 【变式1】解方程：2x2+x-6=0. 【变式2】解方程：x2+(3+1)x+√3=0. 方法2“换元法”解一元二次方程 5.提出问题：为解方程x-3x2-4=0,我们可以令 x2=y,于是原方程可转化为y2-3y-4=0,解此 方程，得y,=4,y2=-1(不符合要求，舍去) 当y=4时，x2=4,x=±2 .原方程的解为x,=2,x2=-2. 以上方法就是利用换元法达到降次的目的，体 现了转化的思想 解决问题：运用上述换元法解方程：(x2-2)2- 13(x2-2)+42=0. 【变式1】整体思想已知方程x2+2x-3=0的 解是x1=1,x2=-3,则另一个方程(2x+3)2+ 2(2x+3)-3=0的解是 () A.-1或3 B.1或3 C.-1或-3 D.1或-3 【变式2】解方程：(x2+x)2-4(x2+x)-12=0. 九上·第2章29第2章一元二次方程 2 2.1一元二次方程 423,=2+1,与■21-2 L01A3-2414答案不建一) 3市4D名1或-j6-+50 &解：(1》5分--1=0：5，-4.-1： 7.t,=0+52.,=6-52 2》4-81=:4,9,-1: (3》4r48-25=04,8.-25, 深.解132-6+120 (43r2-7+1=03,-7,1 式再边同以3.得-1+4=0.配方.得（1-3 B非 公《-1)20，方型-6c+12=0便有完数想 解：(t2-12a+0=0: 线解f1)3 2-10=0 12)4-24-+244=-(2-2+10+9 线C1报C1L-22m+3 ■-r1》”+ 以解：11出《4-1》：+(+1)-2=0是一元一次方程，得 (-10，--1P0, -(4-1)+5G5.4-,山的最大值为互 代8 小专题培优3配方的应用 4原方程为2-20，解得L 当1时方登是一元一方程.方程的量为4： {2)1,=3,1- 42)由-124(+1)-2-0是一元二次方程.得-t 21发-3表D 0,解博1产1， 4.解：已知等式变形博，(2-2+1)+(2-6+9)=0， 当±1时.(-++120是一元二农方 5《-1)'+(-3)'■0.：r1=0,-=0. 二次项常数是（一1：一次现第数是4+1，数明是-2 14解：设AM的长为4尺，据4C为(，-4)尺，G为{x-21晨 50 根意算，（一4）+32)1 化为一根无式为-32+0■0 《:)…名号号-号 1前 6-4-s3-4 2.2一·元二次方程的解法 6(+3)+3 22.1配方法 3to9.知-0A(300.产方≥0以 第1津时利用平方根的意义解一元二灾方程 (2) 1C上A3DA3(每案不1一，235图可) 7.18 互1y-55,5-E 8.解：11)-1-5 (25=10高=-a 420--4-8▣-（红+4+44481=-3421°4. 《+20当-时，-7-4-8有都大值为-4 7《1}m,2-为=-1： 22.2公式话 3=11,与-a5 81现9号 1自2G1C4D86巴 1 性解：少方程4（一1+司-0-0的一个根是3 4@ 4 4 +3-1T10a0,醇4r-4.0.解得甜a1 由方程-9■0，解得：士J.古方程的月一个最为-1 第2时配方法一二买项系数为1 12u片am1a时 3 1 4C sD 321÷ 6《1%*1+2,%=-2:1)=1,3-1 D82(答案不唯一）象？1p2户1学 2 4解{)5=-1，多=0 1-1相=0，辖谓，得'-：=0。 2,2 2■ 4近 2 股方4，-0（= 13朝：(1)由①得，<4由2得，1， 不等式的解集为【白4： 解得子。-1，于一a.以1中的清正魂 (3)由{)知1心心4.可今n=2 第3课时配方法一二灾项系数不为1 渊方餐度为-2=0. LA -4=(-23-1x-2=12, 参为 422415 合-4=(-442(-1=2430 21 2 六，=+下山=1-.（容紫不W一} 化人*相公式特气2 解：(I:∠ACg=0,BCG=号4G=, 期，246 1€80或4 段(11=5,4=3 (2g9+T 4 (到用求根公式求每，中 14小花坛的边卡为(55，厚)m 2 1L解：因式什解法 4 54-10减-号■0.；￥，■14年5 正确性：AD的是为程的正限 配左法x3-+5a0.信顶博，-6-5. 遗浦之处：国解法不处表示方程的负照 2-6+9■-49.《434-12 2.2.3因式分解法 六，1与5（解迪不一 第1误时用因式分解法解一元二贸方生 12解：任务一：三材程的右边辑如9 任二43-12-1=0，得42-12b=1 1.A2x,-2-7103-0,-1 配方.得42-2+9=1+9.(2-3)=10， 5 -3=T而2山-3。√而成2山3=/o (204,=2,,量-1 51104,-3-1 2 任牙三：我不同重小图民学的统遗，再可的启示：我门要灵 活后用配方法亲解一元二款寿程 长B 小专题培传4一元一次方程的解法及拓展 73,=4,到=6 k4失C1m011.B2-2 1(1属-1了 1技=空之 (211B,=8.a妇室-2： (3=-2-=1 14鳞(1，=0-=2： 2(1)直将开平方法，，=43，-2 (2)根据糖意得-占6-2士4x-5 (2配方选-+5，-15 方型化为一粮毛式为-2tt=, ()国式分解法414工-21 (1=0-1s0,得1=1 1线解：(13=1：=： (41公式速41,6空 (2)背3是直角三角形的料边长时，第三动片长·友解：(》配方 √下=正， (11-1-9=0, 91和3基直角三角形的直角边我时，第三边的长= 国式分解，得(4-11)x49)=0 4了m师 上x-1l40武9.0， -第三的长为2下或瓜. 解得角=1，三-9 第2误时用话当的方法解一元二发方程 4解：(1分式：后-0e+21-(e-3(-7 (2110-1.4-4 1.2D 【式11=15.-2 、直横开干方法配方法公式法园式计解法 【立式21解左边母式分解博+，51+0， 4【1E,■6，正-： 2,。行 则x+-万=0减x41▣0，解得马■万两=- 4 5解：(x-1-13(2-2)+42=0 (3)x,=35,==1 设-2，测原访程可北为y-+4=0 8 (-6)47)=0-6=0家-7=0. 2 解得￥，=6，=7 《解：计析：2 9-2=0时，a=土25：当-2=7时.1=±5. 反地：用公式法 “方找摔为=22马=-2征，3=-1 原方程中，=1,6=-4.c三-1 [式 【变式2]相：今y=+标，测由原方夏.博24-2= (2引“4的厦为符合角件的频小整数，4>山，单1，厚方0.解：(1)流亮脑现为6m: 第2章整合复习与对接中考 整理，裤(-6)(y+2“0,辉得，=6为“-2 程为x-2w+2-140,1量该方程的最是0,2a,之+2a (2段每个车位的月细鱼上年。无时，辱车标们月围金收 一粉关联识整合 当y=6B时，x4=6,即(E43)(2}▣0.聊得1=-3，-2 ,424■n-【.所得n■2，n年3减■-2.时里-J A为10125元 二尤一次方程2分每 5e=0或6=030 当一2时，+4■-1，即'+2=0.恢方程无买数根 当-3时.原方程月了+6t+8=0,期得1-4,1■-2 缘上斯述，该方型的解为x,一-↓，品=2 不病足想意，敏省去m的值为玉 每襄E整.博3网n(奶号025， 114:(213 23一元二次方程根的判别式 1店解：(1}由C维.W△=[-2(m+1)P-4(+5}=8-16 框理.得0-50t625=0,解4，=a,=5 0,解得图2： 答：当每个车位的料根金素25元时，停车场封月指金牧 (眼为华组的布水 ”(4)果分式为程无解 LG2A玉B 4{1)方程有两个相尊的买数根 (山？1：3给好暑对角慢长为6的缸形的相丙边的 入为10125元 立长， 2解：(1)①a-1 ()方型有两个不相等的实数根 小专题培优5一元二次方程的应周 (3)此方督天实数用. E+=(s,41-2,=「2m+1)1-2+51=, 1A12 《21当m=2时.1该方星为2-4一5￥0 号G6仁1084-2式容案不用一） 重，得2+4n-21=0占角，=3，-7， 8解：(1引y想的面数美系式为与=-0+1200： 园式分解法 来证用：截巴度得A=(-)-4-11(-3》=到'-e+16+ 又m1,且4■2(n+120,n=3 (力每千克售价定为·元时.辱天精售该大未的利饼可达 方程左边园式分解得-手)+1■0， 1Dn-2-n2+4m4=《n+2.女(nt2}>0,方隆#有 解(， PE 到100无 ☐.-5=0减x+1=0,解得，5，为■-1 两个实数但 4 1G1爱式1G11,31爱式10t1-2 (2由一元二次方程制与系数的关系得x性？工山-小， 配方法： 5解(1引恢陆铜学的人数为0人： 配为博F-4+4-4-5=0,臂3-21=9 3解(1)日天T约一元二次方程2-4x+n=0有考个实 +=2+11,+-2,与=+1 …广2-士3，解调，“5，马-1.（解法不唯-》 数根.1.(4-41×0.韩得m所与 言-1=2+1.解调=3：5-1 (②线胆验数为子(a…2an每 (2)若该方程的两个实数根想等，则利■4 9p=3时，=，5-4=9-4=53h 635或5知 (制n号(4c5229像 放眼方壁为24+4-0，(2)2-0，解海无-2 5三-1时，，-4三-30，龙时原左程无实较银： 7当量小数与量大置的束积为5时，是小数基5 二赖广西中考怡先诗 4解：(1)根摆君意得3(-14-w)>0.解厚n>3: 1C2B3-44B (21,DJ,,30, 2.5一元二次方程的成月 8A-+2-0 41=247,-2-7, 01.32 1n.解(1)G2)墨 《2)-2,=4 32n+r3 第1时平均变化宰、傍售和：间题 (3)保边故为：的正方形和边最为2的 34=2,3-L 8(108 1.B223 正方形，外加两个长为2.宽为：的的 (2)任明：一元二次方程4-0(：0)为和缩方3流纯衡子台3,4两个月销售颜的丹平与增长本有10m, 方形.斜合在一起面积就是A+2+1 4,厘回 2 2 星了b=a样4=44〉■(4-)30 2.周+4n+4. 4第丁，B「竞式1(1》-22)-6象<1且*0 一相方程“县有实数根： 8朝：(11该生户阻在九月份霜生产1440离竹摆摆， 面由原方程A+4一5=0王形得·'+ (3)解：一元二化方程a:+心=0(a0》为”向道方 (2山解应保情2元 4t4=9.如铜团，其表录边长为(r+2引 卖解：1)由题意得A■4+秋>0-1： D 《2)由厘与第数的关系，评+6第一2,4■-4 的正方形图积为9， :6雪+.””和楼方程””++：=0（年01有有个相等 3,解：(1y与s老间的函数表达式为y=-0+0 :(+2◆，测演方程的一个正想为4■1 “1e-44w+4-221 的实数根 (21应将铺售单价宽为2元 11移 64=a+ej'-+r=g-w=l,4=e 解：()流网店得受罐的售价是元，军菌低柑”的 1t11D216 12解：41)新停车场的长为40.宽为20： 雪像是50尾 1解：(195 *2.4一元二次方程根与系数的关系 (最设新序车标的国相可以为1《0，设=ym.则 (21设饰带沃甘的物价降：了n元 (2)日销管量式件与衡管（足/件）的函数关系式为x K=与即.厘摆题意博5+为)[15+m1时 LC Z A X D -2+24070e<990 根据超京，到-n(1-611国+4是)+30x6条元 1 456” 新海-5一警（不济台5合去 (3)该产且铃价每件这宽本阳元 〔04宁-400整理博a-4+物-0，耳o》 ,35+3y■35+3m550348,不符5意.青去 第3章图形的相似 2)m,+=-331=-1 5指653宁夜式护 (南-35n,解得n,10,41=35.又“-海京0,5m≤ .腹设不成这， 3.1比例线段 20.n=10 即当E=3G时，新将本场约面积不需为用m 3.L.1比例的基本性质 客精：根稻题呢得与与2“之 著：每箱沃回的警阶弹低了旧元 13解(1)由聪，得AQ1,BP=2,.00以，P6- 102323A4C94 第2课时几网问遥 ”L40“i2-a1m0 41=-6: u*a(-20-2-7 1.D (21x￥9， 上围收因环的恢￥的华长度为20加来 5-11+60.解再1m1攻： 2551子21 飞A4C的长为5m5D ,0写≤3不行合题重，则 433 51时，△0的离积为64口： 1Bk8生11 (》不存在：使△0为限三角无 与 33 上名=2加16整理，将7-40，得吗-2 由面意可再=+-4，AP=-2,0=4 地都：时号 V=40+r=+6-3 失B10011.B ”A川0纯角三角形，且为等限三角形 柱解：)：美于。的方程-2u+-。=0有两个不相等 香，当=2：时6O0的武积为△城面现的 ,0=V(+41=+6-24',=+=0 31.2成比例线段 约实数相， 1,38216 6=(-41-4x1×5=10-E-4c0,“方程无解 13 d=(-2-42-n}4n2-4n+4n0.0: 象侧具长柄的夏为1红 不养在，使△W为等硬三角形 1解：2a3n.0=2m,则An=5m 参考答案