第2章 小专题培优27 与切线的判定有关的辅助线的作法-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 27 与切线的判定有关的辅助线的作法 方 法 技 巧 类型一　已知公共点，连半径，证垂直 【方法总结】当待证切线与圆有明确公共点时,连接圆 心和该公共点,即为半径,证明该半径与待证直线垂 直. 常用的证明垂直的方法有:角度转换、勾股定理的 逆定理、全等. 方法 1　 利用角度转换证垂直 1.如图,AB 是☉O 的直径,点 D 在直径 AB 上(点 D 与点 A,B 不重合),CD⊥AB,连接 CB,与☉O 交于点 F,在 CD 上取一点 E,使 EF =EC. 求证: EF 是☉O 的切线. 证明:如解图,连接 OF, ∵CD⊥AB, ∴∠DBC+∠C=90°. ∵OB=OF, ∴∠DBC=∠OFB. ∵EF=EC, ∴∠C=∠EFC, ∴∠OFB+∠EFC=90°, ∴∠OFE=180°-90°=90°, ∴OF⊥EF, ∵OF 为☉O 的半径, ∴EF 是☉O 的切线. 2.如图,已知☉O 是△ABC 的外接圆,AB 是☉O 的 直径,D 是 AB 延长线上的一点,AE⊥CD 交 DC 的延长线于点 E,CF⊥AB 于点 F,且 CE=CF. 求证:DE 是☉O 的切线. 证明:如解图,连接 OC, ∵AE⊥CD,CF⊥AB,CE=CF, ∴∠1=∠2. ∵OA=OC,∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3,∴OC∥AE, ∴OC⊥CD. 又∵OC 是☉O 的半径, ∴DE 是☉O 的切线. 方法 2　 利用勾股定理的逆定理证垂直 3. (2024 东营改编)如图,C 是☉O 上一点,点 P 在 直径 AB 的延长线上,☉O 的半径为 3,PB = 2, PC= 4.求证:PC 是☉O 的切线. 证明:如解图,连接 OC, ∵☉O 的半径为 3,PB=2, ∴OC=OB=3,OP=OB+PB=5. ∵PC=4,∴OC2+PC2 =OP2, ∴△OCP 是直角三角形,且 OC⊥PC. ∵OC 是☉O 的半径, ∴PC 是☉O 的切线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 071 九下·第 2 章 方法 3　 利用全等证垂直 4.如图,四边形 OABC 是平行四边形,以 O 为圆 心,OA 长为半径的圆交 AB 于点 D,延长 AO 交 ☉O 于点 E,连接 CD,CE,若 CE 是☉O 的切线, 求证:CD 是☉O 的切线. 证明:∵CE 是☉O 的切线, ∴∠OEC=90°, 连接 OD,　 ∵四边形 OABC 是平行四边形, ∴OC∥AB, ∴∠EOC=∠A,∠DOC=∠ODA. ∵OD=OA, ∴∠A=∠ODA, ∴∠EOC=∠DOC. 在△EOC 和△DOC 中, OE=OD, ∠EOC=∠DOC, OC=OC, ì î í ï ï ï ï ∴△EOC≌△DOC(SAS), ∴∠ODC=∠OEC=90°, ∴OD⊥CD. ∵OD 是☉O 的半径, ∴CD 是☉O 的切线. 类型二　未知公共点，作垂线，证半径 【方法总结】当待证切线与圆没有明确公共点时,过圆 心向待证切线作垂线,证明垂线段的长等于半径. 常 用的证明半径的方法有:角平分线的性质、全等. 方法 1　 直接求线段长证半径 5.如图,在△OAB 中,OA = 2 5 ,OB = 4 5 ,OA⊥ OB,以点 O 为圆心,4 为半径作☉O,求证:AB 是 ☉O 的切线. 证明:如解图,过点 O 作 OC⊥AB 于点 C. ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°, 在 Rt△OAB 中, AB= OA2+OB2 = (2 5) 2+(4 5) 2 =10. ∵ 1 2 OC·AB= 1 2 OB·OA, ∴OC=2 5 ×4 5 10 =4. ∵☉O 的半径为 4, ∴OC 为☉O 的半径. 又∵OC⊥AB, ∴AB 是☉O 的切线. 方法 2　 利用角平分线的性质证半径 6. 如图,O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点,以 O 为圆心,OA 长为半径的☉O 与 BC 相切于点 M, 与 AB,AD 分别相交于点 E,F. 求证:CD 与☉O 相切. 证明:如解图,连接 OM,过点 O 作 ON⊥CD,垂足 为 N. ∵☉O 与 BC 相切于点 M,∴OM⊥BC, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CA 平分∠BCD. 又∵ON⊥CD,OM⊥BC, ∴OM=ON,即 ON 是☉O 的半径, ∴CD 与☉O 相切. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 171 (引设回#的率径为C=2.4C=-D=r-2 :Le22C.∠成与∠成」 25直线与国的位置关系 AG△(5As),∠球4=∠C4="、.k4L :跑⊥A信于点C.W=8.0漏直平分弦AN,AG ”5是⊙的外是.去直线B是⊙0的国线： :∠mT∠C.∴U0= 251直线与圆的位置关系 《2)解：由1)期△A≌A官，：AE=C=1::A楼=AB+ ,A情=4,3.E=2,Db5 2=在路AC中'-c4m甲/-4 1D1B3.A1麦武1B4B 5解：过点U作N1M于点A,如率因 E=3.在h△中，C▣B-,▣2正∠B= 在H△配站中，∠E器0P, 2)2,解样=5.故回非的率径为5 2 E■√2-E·1.在h△B0 2.4过不共线三点作圆 L,L:2m△e-A瓷-是 中，∠=0， 1.D1D 25 w2 NC OEI 0m0g-1正.都得0B-子即回0的单径绿号 表解：作因如解8 .当-25时，回与时线1月有一个公共瓦： Lw证证号 与0<<25时.0则与时线4及有公共点： 象《1)①AB⊥EF2∠C=∠EC(答案维一】 《解：任务1：则解国1，设圆C心月内D.则发行在刀的延长 当25g≤5计.⊙U与时状04有丙个公其直： 《)证明：如解西1，作直径A心.连接口取A也为合？的直 线上，连接A队 乌户5时，回划与时线4只有一个公共点 径.；C4D=0,∠u+=TB■. 幢共的率径为川a.沙=(0-山a 6解：由室得01C侧宁0宁V度4a2 人C江B,,∠C=D.÷GAE+GCA山=国r,即 LME=T,AD⊥F:M为@的色径.EF为@0 菜3理解由 器4解 印点：列直线优的爬离为反，与⊙后的中径相等 的初规： 0p+Ar■，《10-沙中+8=商，初事4m 4朝：如解田，点山甲为国心 直线优与O想相视 (①=16不合形靠.已金)， 5B6D7.2 FEFA想.∠AC=r,BE1EF 快丽离水面的肥离香时长为4m R解：好解图.击接师，过点0作D G于点P 文：一批1W2.直线E球与⊙&相之 05 m.c12m 7.D&C9相切 解围1 鲜国2 10.解：“关于x的方程2-2石，+w一1■0有实数根 《5解：球正是@0的同线理由知下：知解四1，作直径 在盒△D中，格。√08D· :5=0-4r=0.即8-4×2×（射-1）0，解将n62 4D,连接配∠A0=0.∠C4E■∠AC,∠DE+ 13m》,.A必的外接图的单经为13m 解周 解周1 又：回0的￥径为2， ∠DC=∠AB+∠DC,而∠AC。∠DBC,∠Bg 任券2：烧银不花希过置形供桥，至少要增加10纯的背 BG.4皮52- ,直线1与⊙0相傅成相交 LB0x0,A0⊥EF.,04为@0的￥是，4EF为⊙0 物才能通试.理由加下， 1解：1)班醉压过点P作直线，■2的线，属足为A 的切线 1表解：11如解图，@0即为所求作 当EH是⊙？的统时，设E出与0心物交成为r,连接E 当点P在直线32的右侧时： 小专题培优7与切後的判定有关 板： 0州.如解图2 1P■发-2=3.解得1年5.P(5。 (2)44=1.1口，r-L6m 的辅财线的作法 ,包边形H力理毛，.H运 L出=时 气)：当成P在直线2的左侧 L坚明导 0W上E--6a =√2+2=√0.41,6 2定期：口解但，连接C,EL0 时，P1=1-3=3,解得a-1,∴月 2,,所需要正方形板的赖小要相 CF1AB.CE▣F,上1=42 :W■0Er■可-=8n 《-1立1嫁上斯述，当0少场直 0=m,22=÷∠1▣∠3 是2=4制量 六，岁想，C1又是 .D=0G-210-4=6m,=4-6=2c3 14(1)证期：∠AAm∠团F,.∠A带+ ·虎佰不美看过厘氧韦拼样， ∠PN90,∠AW+∠G,LB∠WG在 线…相切时，有P的标为3兰宝-，宁 ⊙0的半径，：班是@？的月线 琴得图在水上那分图腰下降的燕度，中3-2=1性 1证明：年器圆，岸整风，寸⊙) (2)当-1x《5时，⊙P与直线x=2相交： y=10=0=1负蛋已. △A和△风中 ∠APLD.."△D 的平径为5，=2.G=唯 当x心-1减o5时.⊙P与直线2相离 3.序言0指+节■5”气■4， 252圆的切线 :至少婴增包0克货物才能通过 (As,54P=的.：点P是△A?的准外必： 4C+=WP,△是 第1果时切的判定 直角三舞形，且C上 小专题培优25与册的基本性质 (11解：：∠C=r.=10.A根=6.AG■√o-6= LC 2D 基⊙0的半径.化是回0铃切( 有关的辅助线的作法 当东在烟上M赠时则P-当店r在 1正明奶 4证明：，任是⊙0的与线，一，上是C=0“,连接3司边 1222nw☒mAD410图&3624°7.26 4正明写 形0C是平行国边形。C及AB。.∠■∠A 小专题培优站与圆的性质有关的常见考法 C上.Mc时则子当点》雀6上，m- 5使用：如解图.过点D作DF 1非2C表41o名m流1o海 C时，如解思设P▣，期日 LC干原. 11=D, 女么小■家，的平分 ∠G在△和△中 ∠K票∠rC. kB7G度CgG睡万 C=PW=-4在出△AP中 LANCA0IM. 1G=6. 11.正明座 N是⊙B的率径，W⊥ △≌△X(sAS)-∠=∠BC=9Y.D1 2解：()：01AB下点C,∴D6直平分花AB.40三 ,G是O0的写线. Cn”0最⊙0的中径，：U是⊙P的线 应又∠40w-o,40-2m0-子4m- 时护子上，r的 6非7，乙TG=((纤案不一1 东延明：加解图，式点0作LAm于点C ∠ABD.号上00.5 为》我4版了 (1小正用：连接成C1CD,之∠4=F.r川 0M⊥格，∠4M带=0 ∠0H=∠E.∠0H=∠n0D=0E.∠0第= 在n40w中，世=√m4F=y(23)(43-n ∠D,A∠04=∠04，义t=0E.1=0A, 参考答案 2.54三角形的内切圆 灯c为⊙0平径.是回0的灯线 1.C2B10 545 4.Ao2n,D=3(eu）.c=4a 2任用：…子上心1LB-如由1)舞 所以大响形E的面税为 300 5.106.∠E=225.,7.D LAn0,C=6灯，i乙■之C-之2鄂 4 …@0的本径为4.5为00 小专题培优2锅与切线有美的证明与计算集训 ∠E4=∠PC=AP 小角形馆的墨心角晶初 的半径 .《1)证阴：爱文An于点E (3)解：设A0=上在鱼AW中，印4山.=n.由框易 120=M0. 又L语，A情暴回0的切线 CD AD 年径是1-4■[). 6过明：如解图.连牌0州，式点0作八 “鼻Q0给中径，为作的中成， ,垂直平分低A雀 则小响老CE的玉积.三 1知，象足为X ·DAW,·∠D=∠W8=0 ∠P-∠P,2C-∠B,六APC△Cs.4 PPC %). PC PB “@0与C相切于点.出1C gC鼻@0的率是，且CD1,.CD是⊙0的好找： 六代=A+P管=4(64-41▣40+4)，在由△中 个在地上可江限为学吕晋 国边用山是正方彩，C4平分 2解：：C=想月=3.=27■w+=J+2x5 G0✉C.即(4+3)F+4(0+n》,解得1，=2,4 小专题培优9与国有关的阴影 ∠m又W上D,N⊥C ”40=00=√，▣√3-=4 12(图会)，放A0=2 部分的面积计算 -M=N.即0N是⊙0的年径.C山 2.6弧长与扇形面积 与@0桥间 第1课时长 162号3D4字-2g&-2g69-88 毛2课时切线的性园 21)证阴：速班 L B ZC 3 B 42 535 E=,上C=∠0E 1心2n用46份侣1行号 元B8贺 (正阴路 球=E,∠m=∠E 象解：)画△4师，路，点A的坐际为(-2,3)： 复丽影解分的至积 7.(》证明：AB-ACLB=∠C ∠FE∠CD0,∠CD0+∠0D=0,.LFED+ 格=0，.上=∠0 (2)由闪管定速，海成。√3下。/币， 1a01Ll.2e-23 12阴形有分的度相为2：4， .∠C=∠00AG n∠0温900E⊥FE (2)解：如解匠过点0作N4AC于型 :想是⊙伊的率径，F为⊙以的切线： 画帐为 10 2.7正多边形与国 2)解：径⊙0的卡径0=0r.则即=5=广1。 10C11.h2.2行1330m 1.C2CA444有 F,,E是⊙p的线.球1n ,=20=2-2N=含-2+1=2-4 14（11证可略： 线解：(》虹相图，正方形A印甲为所常 ·AC球1AG 在△中，/笔呢=W足， (2解：姓解因.走报0，山，从AW= 西边无D星矩形，球= .《2-2)°2=(-11.解博r=3成r=1台去1 C.0为此的中点，六乙从的■∠信■ 在山△AOF中，∠A=45”,4 ,⊙？的中径为玉 3.(I》E精：A指=AC,山⊥8C 、于C由名心L球=3∠球= D=组又0=话.地暴 3 六的长为 w-号a号4ie-2正 △CE的中像线，，ODE 2 (24E L法W=L=90.Y他悬 6 C 7.A 8D 8A只25110L105- ⊙0的华径，是©0的切线： (1)解：连授6U.知解图 108 收应正六边形前内细属的半径长为3 21)证明：4写⊙伊幅同于原A,且1是回0的半径， 1aC11112g1345 1A号平分乙D.w⊥.人.用 ,==6,.BF=0-g=4L0=E,∠06■w 第2时扇形积 14解：11)10 H.去点B在⊙0上 :某=配■4：常为0的直径.品∠工=T,片少 (2)△4W是等边三角形，理由如下： ”想是⊙》的中径，且PB⊥B √g●4，.E✉4 走矮N,F,如解因，由意可博 增是⊙0的切L 4专1)证明：连接0，测D=t.去∠0=∠0（⊙0 的图C0雀边AC上，H与途C相同干点D.,.C上O. 1维解都分的相约为从2 F=N=F。△N等边三角 3)解：对=N=4,■5.C■因+0C=4+9= 毛，∠3F4■0，.24=60，同 ,∠Ng=0,:R4=D.∠H0=∠DA.&∠4e= 11.D1232+48e13.2 程可得，乙AM=的，：乙4票09 :40C0,∴C=√00-00√3-4u玉，∠A ∠∠是D=400+4=∠w=÷A的14 14解：知解图.连接CD,过点G作NLA0 ”最0)的卡狂.：A是是O分的同线： 于点 2△AN暴得边三角毛 (3)连接0，妇解图.分∠AN=60,本4AA=r 2)：0=0，.∠▣∠.,AB是⊙0的直径 D是B的中点①= 4随的长县2 00=0°，.∠Cf▣∠CnC=∠C,.△E ,D=心4，△4CD为等边三角用， 14-1Fm24” “253切线长定理 ,.里404。.gD=4,E=2 a-与m1cwm 30424=15.。的物值是5 1B1G:是14.等边三角无 5, 152E 支的长为6 为 a1↓ 小专短培优30辅助圆傅题的常见模型 6C工.n9k25 5.1)任用：如解图，连藏C由 上朋影都分的面积为5，一5 3w了2. 1C22/可-1表843w多2/1而627.4写 头量明：连撞0,4香是⊙0的直径，∠AC=,丛C悬 哥章斜∠40香中0.∠0H 装正明：∠C=∠E=周 ⊙0的切线，∠嗜=0是@0的好线.候=解 :目血形W沿是⊙的内授四 L餐=Lh∠M▣乙 边移、 16解：如解因，大事用04E物黑心角是0，率径是5m 设O)交G千点，连探4W, ∠=LNP=T.:E1 EN,D.D,金解用 参考苦案