2.2.3 因式分解法(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

吃透教材 广西数学(XJ) 2. 2. 3　因式分解法 第 1 课时　 用因式分解法解一元二次方程 一阶 教材知识梳理 1.因式分解法:利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 利用因式分解法解一元二 次方程的实质是将一个一元二次方程①“　 降次　 ”,转化为两个②　 一元一次　 方程. 2.因式分解法的依据:若 ab= 0,则 a= 0 或 b= 0. 二阶 教材母题变式 教材母题 1　提公因式法解一元二次方程 例 1　 (教材 P39 练习 T1 改编)方程 x2 -5x= 0 的根是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x= 5 B. x= 0 C. x1 = 0,x2 = 5 D. x1 = -5,x2 = 0 【变式】(教材 P38 例 7(2)改编)解方程:(x-1) 2 -4(x-1)= 0. 解:(x-1) 2-4(x-1)= 0,方程左边因式分解,得(x-1)(x-1-4)= 0,即(x-1)(x-5)= 0, ∴ x-1= 0 或 x-5= 0,解得 x1 = 1,x2 = 5. 例 2　 易错 一元二次方程 3x(x-2)= 2(x-2)的解为　 　 　 　 　 　 　 . 【注意】当等号两边含有公因式时,切记不可在等号两边同时约去含有未知数的项,否则容易漏解, 一定要将等号右边的式子移至左边,再利用因式分解法解方程. 教材母题 2　利用乘法公式解一元二次方程 例 3　 (教材 P38 例 7 改编)解下列方程: (1)(3x-4) 2 -(4x+1) 2 = 0;　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2)x2 -8(x-2)= 0. 解:(1)(3x-4) 2-(4x+1) 2 = 0, 由平方差公式,得(-x-5)(7x-3)= 0, 解得 x1 = 3 7 ,x2 =-5; 　 　 　 　 (2)原方程整理,得 x2-8x+16= 0, 方程左边因式分解,得(x-4) 2 = 0, 解得 x1 =x2 = 4. 【方法总结】因式分解法解一元二次方程的一般步骤: ①移项:将方程右边的项全部移至左边,使右边为 0;②化积:将左边的式子因式分解为两个一次因 式的积;③转化:分别令每个因式等于 0,将方程转化为两个一元一次方程;④求解:分别解这两个 一元一次方程,得到的解就是原一元二次方程的解. 例 4　 (教材 P39 例 8 改编)用因式分解法解方程:x2 +10x+21 = 0. 解:方程左边配方,得　 (x+5) 2-4= 0　 ,即(x+5) 2 -22 = 0. 把方程左边因式分解,得　 (x+3)(x+7)= 0　 , ∴ x1 = 　 -3　 ,x2 = 　 -7　 . 【方法总结】所有的一元二次方程都可以用因式分解法,但部分不能直接用提公因式或者乘法公式 求解的,可先配方,再结合平方差公式,进而利用因式分解法求解(如例 4) . 【链接】与因式分解法相关的拓展解法———“十字相乘法”“换元法”见《分层作业本》P29 小专题 培优 4 类型二. 71 吃透教材 广西数学(XJ) 第 2 课时　 用适当的方法解一元二次方程 一阶 教材知识梳理 【方法归纳】解一元二次方程的方法的选择技巧: (1)一般地,当一元二次方程的一次项系数为 0(ax2 +c= 0,- c a >0)或是(mx+n) 2 = p(p≥0)的形式时, 应选用①　 直接开平方法　 ; (2)若一元二次方程的二次项系数为 1,一次项系数为偶数,则宜选用②　 配方法　 ; (3)若一元二次方程整理后右边为 0,且左边能进行因式分解,则宜选用③　 因式分解法　 ; (4)若一次项、常数项都不为 0,先化为一般形式,看是否可用因式分解法,否则宜选用④　 公式法　 . 【温馨提示】公式法、因式分解法和配方法均适用于所有的一元二次方程,但有时因式分解法需先 配方,为了更方便且减少运算失误,则需根据方程结构选择更恰当的解法. 二阶 教材母题变式 教材母题　用适当的方法解一元二次方程 例 1　 解下列方程:(1)(x-2)2 = 5;(2)x2-3x-2= 0;(3)x2-4x-896= 0,更适当的方法分别为 ( A ) A. (1)直接开平方法,(2)公式法,(3)配方法 B. (1)因式分解法,(2)公式法,(3)公式法 C. (1)直接开平方法,(2)因式分解法,(3)配方法 D. (1)直接开平方法,(2)公式法,(3)因式分解法 例 2　 用适当的方法解下列方程: (1)(2x+3) 2 -25 = 0; (2)2x2 -7x-2 = 0; 解:(1)(2x+3) 2-25= 0, 移项,得(2x+3) 2 = 25, ∴2x+3= 5 或 2x+3=-5, 解得 x1 = 1,x2 =-4; (2)2x2-7x-2= 0, ∵ a= 2,b=-7,c=-2, 即 b2-4ac= 49+16= 65, ∴ x= 7± 65 2×2 = 7± 65 4 , ∴ x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 ; (3)(x+2) 2 = 3(x+2); (4)x2 -2x-3 = 0. (3)(x+2) 2 = 3(x+2), 移项,得(x+2) 2-3(x+2)= 0, 等号左边因式分解,得(x+2)(x+2-3)= 0, ∴ x+2= 0 或 x+2-3= 0, 解得 x1 =-2,x2 = 1; (4)x2-2x-3= 0, 移项,得 x2-2x= 3, 方程两边同时加 1,得 x2-2x+1= 3+1, 即(x-1) 2 = 4, ∴ x-1= 2 或 x-1=-2, 解得 x1 = 3,x2 =-1. 【方法总结】(1)一元二次方程的四种解法中,优先选择的顺序为直接开平方法→因式分解法→配 方法→公式法; (2)对于形式较复杂的一元二次方程,先观察其形式是否可利用整体思想,结合因式分解法或者直 接开平方法求解,若不方便使用其他解法时,再利用公式法. 81 37　 　 (3)当 y≤3 000 = 0. 3 万元时,即60 x ≤0. 3,解得 x≥200. 答:若计划平均每月偿还贷款不超过 3 000 元,则至少需要 200 个月还清. 例 2　 解:(1)v 与 t 的函数表达式为 v= 24 t ; (2)当 v=120 时,t= 24 120 =0. 2,当 v=80 时,t= 24 80 =0. 3, ∴ 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间 AB 段的时间范 围为 0. 2≤t≤0. 3. 例 3　 解:(1)p= 4. 8 V (V>0); (2)当 p= 150 时,V = 4. 8 150 = 0. 032,∴ 4 3 × 3r3 = 0. 032,解得 r= 0. 2, ∵ k= 4. 8> 0,∴ p 随 V 的增大而减小,∴ 要使气球不会爆 炸,则 V≥0. 032,此时 r≥0. 2, ∴ 估计气球的半径至少为 0. 2 m 时,气球不会爆炸; (3)由于车辆超载,轮胎体积变小,胎内气压增大则容易导 致爆胎. 例 4　 l1 <l2 　 第 2 章　一元二次方程 2. 1　 一元二次方程 ①0　 ②一个　 ③二　 ④a,b,c　 ⑤二次项系数　 例 1　 D　 【变式 1】 　 解:x2 -mx(2x-m+ 1) = x,x2 - 2mx2 +m2x-mx = x, (1-2m)x2 +(m2 -m-1)x= 0, 当 1-2m≠0,即 m≠ 1 2 时,关于 x 的方程 x2 -mx( 2x-m+ 1)= x 是一元二次方程. 当 m= 1 2 时,1-2m= 0,此时原方程不是一元二次方程. 【变式 2】 　 3x2 -3x-5 = 0　 3　 -3　 -5　 例 2　 (32-2x)　 (20-x)　 (32-2x)(20-x)= 570 【变式应用】(1)x2 -7x+6 = 0　 (2)x2 +2x-48 = 0　 例 3　 1　 2. 2　 一元二次方程的解法 2. 2. 1　配方法 第 1 课时　 利用平方根的意义解一元二次方程 ① p 　 ②降次　 例 1　 C　 【变式】 　 4　 例 2　 x1 = 7 ,x2 = - 7 　 【变式】 　 (1)x1 = 5,x2 = -5;(2)x1 = 5 9 ,x2 = - 5 9 . 例 3　 (1)x1 = 1,x2 = -4;(2)x1 = 3,x2 = -1. 例 4　 x1 = -7,x2 = - 1 3 . 第 2 课时　 配方法———二次项系数为 1 ①一次项系数的一半　 ②一元一次　 例 1　 (1)2　 1　 (2)-　 (-5)　 (3) 3 2 　 (- 7 4 )　 【变式】 　 C　 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -9;(2)x1 = 4,x2 = 2. 例 3　 -3 例 4　 解:(1)配方法　 (2)②　 等号右边没有加 9 (3)正确的解答过程为: x2 +6x-4 = 0, 移项,得 x2 +6x= 4, 配方,得 x2 +6x+9 = 4+9,即(x+3) 2 = 13, ∴ x+3 = ± 13 ,∴ x+3 = 13或 x+3 = - 13 , ∴ x1 = 13 -3,x2 = - 13 -3. 【变式】 　 B　 第 3 课时　 配方法———二次项系数不为 1 ①1　 ②配方　 例 1　 (1)x1 = -2+ 6 2 ,x2 = -2- 6 2 ; (2)x1 = 10 +3 2 ,x2 = - 10 +3 2 . 例 2　 C　 2. 2. 2　公式法 ①x= -b± b2 -4ac 2a 　 例 1　 (1)x1 = 4+ 21 ,x2 = 4- 21 ; (2)x1 = x2 = 2 2 ; (3)此方程无实数根. 【变式】 　 A　 例 2　 解:(1)一　 (2)原方程化为 x2 -5x- 1 = 0,∵ a = 1,b = - 5,c = - 1,∴ b2 - 4ac= ( - 5) 2 - 4 × 1 × ( - 1) = 29 > 0. ∴ x = 5± 29 2 , ∴ x1 = 5- 29 2 ,x2 = 5+ 29 2 . 2. 2. 3　因式分解法 第 1 课时　 用因式分解法解一元二次方程 ①降次　 ②一元一次　 例 1　 C　 【变式】 　 x1 = 1,x2 = 5. 例 2　 x1 = 2,x2 = 2 3 　 例 3　 (1)x1 = 3 7 ,x2 = -5;　 (2)x1 = x2 = 4. 例 4　 (x+5) 2 -4 = 0　 (x+3)(x+7)= 0　 -3　 -7　 第 2 课时　 用适当的方法解一元二次方程 ①直接开平方法　 ②配方法 　 ③因式分解法 　 ④公式法 　 例 1　 A　 例 2　 (1)x1 = 1,x2 = -4;(2)x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 ; (3)x1 = -2,x2 = 1;(4)x1 = 3,x2 = -1. 2. 3　 一元二次方程根的判别式 ①Δ　 ②Δ= b2 -4ac　 ③两个相等　 ④没有　 例 1　 A　 例 2　 (1)此方程有两个不相等的实数根; (2)此方程有两个相等的实数根; (3)此方程没有实数根. 例 3　 k≥- 1 8 且 k≠0　 【变式 1】 　 B　 【变式 2】 　 -4<k<4　 例 4　 k>3 且 k≠5　 例 5　 k 的取值范围为 k≥- 1 8 . ※2. 4　 一元二次方程根与系数的关系 ①- b a 　 ② c a 　 例 1　 解:(1)Δ= 32 -4×1×1 = 5>0. ∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = 1; (2)原式整理得:3x2 +x- 3 = 0. Δ = 12 - 4× 3×( - 3) = 37> 0. ∴ x1 +x2 = - 1 3 ,x1x2 = -3 3 = -1. 例 2　 2　 例 3　 20　 例 4　 7　 例 5　 2　 2. 5　 一元二次方程的应用 第 1 课时　 平均变化率、销售利润问题 ①a(1+x) 2 = b　 ②a(1-x) 2 = b　 ③销售量　 例 1　 解:(1)该公司投递快递总件数的月增长率为 30% ; (2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变,那 么 5 月份投递快递总件数不能达到 45 万件. 【变式】 　 20% 　 例 2　 每件应降价 4 元. 例 3　 解:(1)y 与 x 之间的函数关系式为 y = 10x+100(0<x< 20); (2)这种排球每个的实际售价是 48 元. 例 4　 10　 第 2 课时　 几何问题 ①(a-2x)(b-2x)　 ②(a-x)(b-x)　 ③(a-x)(b-x)　 例 1　 B　 例 2　 8 或 12　 例 3　 2x　 (180+2×2x) 　 (90+2x) 　 上下边衬的宽度是 4. 5 cm. 例 4　 48 例 5　 解:(1)(6-t)　 2t　 (2)出发 2 秒后,四边形 APQC 的面积为 16 cm2 . 例 6　 15　 第 3 章　图形的相似 3. 1　 比例线段 3. 1. 1　比例的基本性质 ①内项　 ②外项　 ③bc　 例 1　 C　 【变式】 　 A　 【思考】1,9,16　 例 2　 4 ∶3　 【变式】 　 D 例 3　 -4　 3. 1. 2　成比例线段 ① m n 　 ②短　 ③长　 ④长　 例 1　 C　 例 2　 D　 例 3　 解:∵ a,b,c,d 是比例线段,∴ a ∶b= c ∶d,∴ ad= bc. (1)∵ a= 4,b= 1,c= 12, ∴ 4d= 1×12,∴ d= 3; (2)∵ a= 1. 5,b= 2. 5,d= 2,∴ 1. 5×2 = 2. 5c,∴ c= 1. 2. 【变式】 　 B　 例 4　 C　 【变式】 　 C　 例 5　 解:不正确,正确的解答如下: 设所加的线段长为 x, 则根据成比例线段得, 3 4 = 6 x 或 3 4 = x 6 或 3 x = 4 6 或 x 3 = 4 6 ,解得 x= 8 或 x= 9 2 或 x= 2. 即所加的线段长为 8 或 9 2 或 2. 3. 2　 平行线分线段成比例 ①也相等　 ②成比例　 ③平行　 ④成比例　 例 1　 2　 【变式】③④　 例 2　 4　 【变式】 　 10 3 　 例 3　 3 或 6　 3. 3　 相似图形 ①相似的　 ②相等　 ③成比例　 ④ 1 k 　 ⑤相等　 ⑥成比例 例 1　 C　 例 2　 5 ∶3　 2. 5　 例 3　 B　 例 4　 10　 3. 4　 相似三角形的判定与性质 3. 4. 1　相似三角形的判定 第 1 课时　 利用平行线判定三角形相似 ①相似　 例 1　 3　 例 2　 AF CF = 2 5 . 第 2 课时　 相似三角形的判定定理 1 ①相等　 例 1　 证明略. 例 2　 解:(1)证明略; (2)∵ AB= 5,BC= 3,∠C= 90°,∴ AC= AB2 -BC2 = 4, ∵ △ADE∽△ABC,∴ AD AB =AE AC ,即 3 5 =AE 4 ,∴ AE= 12 5 . 第 3 课时　 相似三角形的判定定理 2 ①成比例　 ②相等　 例 1　 A　 【变式】 　 解:∵ AE= 1. 5,AC= 4. 5,且 AB= 3AD, ∴ AE AC = 1 3 ,AD AB = 1 3 ,∴ AE AC =AD AB , ∵ ∠A= ∠A,∴ △ADE∽△ABC, ∴ DE BC = 1 3 ,∴ BC= 3DE= 3×2 = 6. 例 2　 2　 第 4 课时　 相似三角形的判定定理 3 ①成比例　 例 1　 解:(1)△ABC 和△DEF 不相似. 理由:∵ AB DE = 1 2 ,BC EF = 1 2 ,AC DF = 2 3 ,∴ AB DE =BC EF ≠AC DF , ∴ △ABC 和△DEF 不相似; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案