11.2 空间中的平行关系(三)-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 如图 ， 点 N 为正方形 ABCD 的中心 ， △ECD 为正三角形 ， 平面 ECD⊥ 平面 ABCD ， M 是线段 ED 的中点 ， 则 （ ） A. BM=EN ， 且直线 BM ， EN 是相交直线 B. BM≠EN ， 且直线 BM ， EN 是相交直线 C. BM=EN ， 且直线 BM ， EN 是异面直线 D. BM≠EN ， 且直线 BM ， EN 是异面直线 2. 直线 m ， n 均不在平面 琢 ， 茁 内 ， 给出下列命题 ： ① 若 m∥n ， n∥琢 ， 则 m∥琢 ； ② 若 m∥茁 ， 琢∥茁 ， 则 m∥琢 ； ③ 若 m⊥n ， n⊥琢 ， 则 m∥琢 ； ④ 若 m⊥茁 ， 琢⊥茁 ， 则 m∥琢. 其中正确命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图所示 ， 在四棱锥 P鄄ABCD 中 ， 底面 ABCD 是矩形 ， 侧棱 PA 垂直于底面 ， E ， F ， G 分别是 AB ， PC ， CD 的中点 . 求证 ： （ 1 ） CD⊥PD ； （ 2 ） 平面 EFG∥ 平面 PAD. 4. 如图所示的几何体 P鄄ABCD 中 ， 底面 ABCD 是梯形 ， 且 AD∥BC ， E 是边 AD 上的一 点 ， AE=BC=AB ， AD=3BC ， F 是 PD 的中点 ， PB⊥AC. 求证 ： （ 1 ） PA=PC ； （ 2 ） CF∥ 平面 PBE. 11.2 空间中的平行关系 （ 三 ） 能力 · 提升 A D M C N B E 第 1 题图 E A B C G D F P 第 3 题图 第 4 题图 夯实 · 基础 A B C D F P E 56 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 5. 如图所示 ， 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， S 是 B 1 D 1 的中点 ， E ， F ， G 分别是 BC ， CD 和 SC 的中点 . 求证 ： （ 1 ） 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 ； （ 2 ） 平面 EFG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 6. 如图 ， 在下列四个正方体中 ， A ， B 为正方体的两个顶点 ， M ， N ， Q 为所在棱的中 点 ， 则在这四个正方体中 ， 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 （ ） 拓展 · 探究 第 5 题图 N Q M B A Q B A M N A B C D A B E C C 1 D 1 A 1 D F G S B 1 N Q M B A N Q M B A 57 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 △ABD ， △BCD 的重心 ， 则有 BM MP = BN NF = BG GH =2. 连接 PF ， FH ， PH ， 有 MN∥PF ， 又 PF奂 平面 ACD ， MN埭 平面 ACD ， ∴MN∥ 平面 ACD. 同理 MG∥ 平面 ACD ， MG∩MN＝M ， ∴ 平面 MNG∥ 平面 ACD. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 MG PH = BG BH = 2 3 ， ∴MG= 2 3 PH. 又 ∵PH= 1 2 AD ， ∴MG= 1 3 AD. 同 理 NG= 1 3 AC ， MN= 1 3 CD ， ∴△MNG∽△DCA ， 其相似比为 1 ∶ 3. ∴S △MNG ∶ S △ACD ＝1 ∶ 9. 11.2 空间中的平行关系 （ 三 ） 1. B 2. D 3. 略 4. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 设 AC ， BE 的交点为 O ， 连接 PO. ∵AD∥BC ， AE=BC=AB ， ∴ 四边形 ABCE 是菱形 ， ∴AC⊥BE ， OA=OC. 又 ∵AC⊥PB ， BE ， PB奂 平面 PBE ， PB∩ BE=B ， ∴AC⊥ 平面 PBE. ∵PO奂 平面 PBE ， ∴AC⊥PO. 又 ∵OA=OC ， ∴△POA≌△POC ， ∴PA=PC. （ 2 ） 如图 ， 取 PE 的中点 M ， 连接 FM ， BM. ∵F ， M 分别是 PD ， PE 的中点 ， ∴MF ∥ 1 2 DE. ∵BC∥AD ， AD=3BC ， AE=BC ， ∴BC ∥ 1 2 DE ， ∴BC ∥ FM ， ∴ 四边形 BCFM 是平行四边形 ， ∴CF∥BM. 又 ∵BM奂 平面 PBE ， CF埭 平面 PBE ， ∴CF∥ 平面 PBE. 5. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 SB ， ∵E ， G 分别是 BC ， SC 的中点 ， ∴EG∥SB. 又 ∵SB奂 平面 BDD 1 B 1 ， EG埭 平面 BDD 1 B 1 ， ∴ 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 . （ 2 ） 如图 ， 连接 SD ， ∵F ， G 分别是 DC ， SC 的中点 ， ∴FG∥SD. 又 ∵SD奂 平面 BDD 1 B 1 ， FG埭 平面 BDD 1 B 1 ， ∴FG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 又 ∵ 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 ， 且直线 EG奂 平面 EFG ， 直线 FG奂 平面 EFG ， EG∩FG=G ， ∴ 平面 EFG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 6. A 11.3 空间中的垂直关系 （ 一 ） 1. B 2. B 3. D 4. D 5. 2 6. ①④⑤ 7. 证明 ： 如图 ， 作 AD∥BC ， BD∥AC 交于点 D ， 作 A 1 D 1 ∥B 1 C 1 ， B 1 D 1 ∥A 1 C 1 交于点 D 1 ， 连接 BD 1 ， DD 1 . ∵ 四边形 A 1 D 1 B 1 C 1 为菱形 ， ∴A 1 B 1 ⊥D 1 C 1 . 又 ∵AA 1 ⊥ 平面 A 1 D 1 B 1 C 1 ， ∴AA 1 ⊥D 1 C 1 ， 从而 D 1 C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， ∴D 1 C 1 ⊥AB 1 . 又 ∵AB 1 ⊥BC 1 ， ∴AB 1 ⊥ 平面 BC 1 D 1 ， ∴AB 1 ⊥BD 1 . ∵BD 1 ∥CA 1 ， ∴AB 1 ⊥A 1 C. 8. ①③④⑤ 11.3 空间中的垂直关系 （ 二 ） 1. D 2. D 3. C 4. ②③ 5. ③④ 6. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 取 EC 的中点 F ， 连接 DF ， ∵EC⊥ 平面 ABC ， ∴EC⊥BC ， 易知 DF∥BC ， ∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中 ， ∵EF＝ 1 2 EC＝BD ， FD＝BC＝AB ， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA ， ∴DE＝DA. （ 2 ） ∵MN 为 △ECA 的中位线 ， ∴MN ∥ 1 2 EC ， ∴MN∥BD ， ∴ 点 N 在平面 BDM 内 . ∵EC⊥ 平面 ABC ， ∴EC⊥BN. 又 ∵CA⊥BN ， EC∩CA＝C ， ∴BN⊥ 平面 ECA. ∵BN 在平面 MNBD 内 ， ∴ 平面 MNBD⊥ 平面 ECA. （ 3 ） ∵DM∥BN ， BN⊥ 平面 CAE ， ∴DM⊥ 平面 ECA. 又 ∵DM奂 平面 DEA ， ∴ 平面 DEA⊥ 平面 ECA. 7. 证明 ： （ 1 ） ∵BC⊥AB ， BC⊥BC 1 ， AB∩BC 1 ＝B ， ∴BC⊥ 平面 ABC 1 . 又 ∵BC奂 平面 ABC ， ∴ 平面 ABC⊥ 平面 ABC 1 . （ 2 ） ∵AE＝EC 1 ， A 1 F＝FC 1 ， ∴EF∥AA 1 . 又 ∵AA 1 ∥BB 1 ， ∴EF∥BB 1 . 又 ∵EF埭 平面 BCC 1 B 1 ， BB 1 奂 平面 BCC 1 B 1 ， 第 4 题答图 A B E C C 1 D 1 A 1 D F G S B 1 第 5 题答图 A B C D F P E M O 第 8 题答图 E F C M N A B D 第 6 题答图 A C B A 1 C 1 B 1 D 1 D 第 7 题答图 A D G N M F P H C B 75