8.2.2-8.2.3 两角和与差的正弦、正切 倍角公式-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 （ 2 ） 由于 cos （ α+β ） = 5 13 ， ∴sin （ α+β ） =± 12 13 . 当 sin （ α+β ） = 12 13 时 ， cosβ=cos ［（ α+β ） -α ］ =cos （ α+β ） cosα+sin （ α+β ） sinα= 5 13 × - 3 5 ! " + 12 13 × 4 5 = 33 65 . 当 sin （ α+β ） =- 12 13 时 ， cosβ=cos ［（ α+β ） -α ］ =cos （ α+β ） cosα+sin （ α+β ） sinα= 5 13 × - 3 5 ! " + - 12 13 ! " × 4 5 =- 63 65 . 23. （ 1 ） 证明 ： ∵a= （ cosα ， sinα ）， b= （ cosβ ， sinβ ）， ∴｜a｜= cos 2 α+sin 2 α 姨 =1 ， 同理 ｜b｜=1. ∵ （ a+b ）·（ a-b ） =a 2 -b 2 =｜a｜ 2 -｜b｜ 2 =1-1=0 ， 因此 ， 向量 a+b 与 a-b 垂直 . （ 2 ） 解 ： a · b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos （ β-α ）， ∵｜ka+b｜=｜a-kb｜ ， ∴｜ka+b｜ 2 =｜a-kb｜ 2 ， 则 k 2 a 2 +2ka · b+b 2 =a 2 -2ka · b+k 2 b 2 ， 即 k 2 +2ka · b+1=1-2ka · b+k 2 ， 整理得 a · b=cos （ β-α ） =0. ∵0<β<α<π ， ∴-π<β-α<0 ， ∴ β-α=- π 2 . 24. 解 ： （ 1 ） f （ x ） =sin2x- 3 姨 cos2x=2sin 2x- π 3 ! " . ∵f （ α ） = 1 2 ， ∴sin 2α- π 3 ! " = 1 4 . ∵α∈ 5π 12 ， 2π 3 3 & ， ∴2α- π 3 ∈ π 2 ， 3 & π ， ∴cos 2α- π 3 ! " =- 1- 1 4 ! " 2 姨 =- 15 姨 4 ， ∴cos2α=cos 2α- π 3 + π 3 ! " = 1 2 cos 2α- π 3 ! " - 3 姨 2 sin 2α- π 3 ! " = 1 2 × - 15 姨 4 ! " - 3 姨 2 × 1 4 =- 3 姨 + 15 姨 8 . （ 2 ） 当 x∈ π 4 ， π 2 3 & 时 ， 2x- π 3 ∈ π 6 ， 2π 3 3 & ， sin 2x- π 3 ! " ∈ 1 2 ， 1 3 & ， ∴f （ x ）∈ ［ 1 ， 2 ］， ∴b=2. 由 - π 2 +2kπ≤2x- π 3 ≤ π 2 +2kπ ， k∈Z ， 得 - π 12 +kπ≤x≤ 5π 12 +kπ ， k∈Z. 又 ∵ 函数 f （ x ） 在 ［ aπ ， 2π ］ （ a<2 ） 上单调递增 ， ∴ ［ aπ ， 2π ］ 哿 - π 12 +kπ ， 5π 12 +k 3 & π ， ∴- π 12 +2π≤aπ<2π ， ∴ 23 12 ≤a<2 ， ∴ 实数 a 的最小值是 23 12 . 8.2.2 两角和与差的正弦 、 正切 1. A 2. C 3. C 4. C 5. π 4 6. 12 3 姨 -5 26 7. 1 8. 解 ： （ 1 ） ∵m⊥n ， ∴m · n=0. 又 ∵m= （ -2 ， -1 ）， n= cos A+ π 6 ! " ， sin A- π 3 ! "! " ， ∴-2cos A+ π 6 ! " -sin A- π 3 ! " =0 ， 即 -2 3 姨 2 cosA- 1 2 sin ! " A - 1 2 sinA- 3 姨 2 cos ! " A =0 ， ∴sinA- 3 姨 cosA=0 ， ∴tanA= 3 姨 ， ∴A= π 3 . （ 2 ） ∵ sin 2 C-cos 2 C 1-2sinCcosC = （ sinC+cosC ）（ sinC-cosC ） （ sinC-cosC ） 2 = sinC+cosC sinC-cosC = tanC+1 tanC-1 =-2 ， ∴2-2tanC=tanC+1 ， ∴tanC= 1 3 . 由 A+B+C=π 得 tanB=-tan （ A+C ） =- tanA+tanC 1-tanAtanC =- 3 姨 + 1 3 1- 3 姨 3 =- 6+5 3 姨 3 . 8.2.3 倍 角 公 式 1. A 2. B 3. B 4. A 5. B 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B 11. A 12. B 13. D 14. C 15. - 1 2 16. -3 - 3 5 17. －1 18. 解 ： （ 1 ） 函数 f （ x ） =2sin 2 x- π 4 ! " + 3 姨 cos2x=1-cos 2x- π 2 ! " + 3 姨 cos2x= 3 姨 cos2x-sin2x+1=2cos 2x+ π 6 ! " +1. ∴ 函数的最小正周期为 T= 2π 2 =π. 令 2kπ≤2x+ π 6 ≤2kπ+π （ k∈Z ）， 整理得 kπ- π 12 ≤x≤kπ+ 5π 12 （ k∈Z ）， ∴ 函数的单调递减区间为 kπ- π 12 ， kπ+ 5π 12 3 & （ k∈Z ） . 71 暑 假 作 业 新课程 （ 2 ） 将函数 f （ x ） 的图象向右平移 π 6 个单位长度 ， 得到函数 g （ x ） ＝2cos 2x- π 3 + π 6 6 " +1=2cos 2x- π 6 6 " +1 的图象 ， ∵x∈ - π 4 ， π 4 4 % ， ∴- 2π 3 ≤2x- π 6 ≤ π 3 ， 故 - 1 2 ≤cos 2x- π 6 6 " ≤1 ， ∴0≤g （ x ） ≤3 ， 故函数的值域为 ［ 0 ， 3 ］ . 19. 解 ： （ 1 ） ∵f （ x ） = 3 姨 sin2x-cos2x=2sin 2x- π 6 6 " ， ∴T= 2π 2 =π. 当 f （ x ） =0 时 ， 得 2x- π 6 =kπ ， 即 x= kπ 2 + π 12 ， k∈Z ， ∴ 函数的对称中心为 kπ 2 + π 12 ， 6 " 0 ， k∈Z. （ 2 ） 当 x∈ ［ 0 ， π ］ 时 ， - π 6 ≤2x- π 6 ≤ 11π 6 ， ∴-2≤2sin 2x- π 6 6 " ≤2. 当 2x- π 6 = 3π 2 ， 即 x= 5π 6 时 ， 函数取得最小值 -2. （ 3 ） ∵f α 2 6 " = 1 2 ， ∴f α 2 6 " =2sin α- π 6 6 " = 1 2 ， ∴sin α- π 6 6 " = 1 4 . ∵α∈ （ 0 ， π ）， ∴α- π 6 ∈ - π 6 ， 5 6 6 " π . 又 ∵sin α- π 6 6 " = 1 4 < 1 2 ， ∴0<α- π 6 < π 6 ， ∴cos α- π 6 6 " = 15 姨 4 . ∴cosα=cos α- π 6 + π 6 6 " =cos α- π 6 6 " cos π 6 -sin α- π 6 6 " sin π 6 = 15 姨 4 × 3 姨 2 - 1 4 × 1 2 = 3 5 姨 -1 8 . 第九章 解 三 角 形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正 弦 定 理 1. D 2. A 3. D 4. B 5. C 6. D 7. A 8. π 4 - 1 2 9. 3π 4 10. 2 （ 2 姨 ， 3 姨 ） 11. 解 ： （ 1 ） 由 b sinB = 3 姨 a cosA 及正弦定理得 sinB sinB = 3 姨 sinA cosA ， ∴tanA= 3 姨 3 . 又 ∵A∈ 0 ， π 2 6 " ， ∴A= π 6 . （ 2 ） ∵2R= a sinA =8 ， ∴ 3 姨 b-c=2R （ 3 姨 sinB-sinC ） =8 3 姨 sinB-sin 5π 6 - 6 " B 4 % =8 3 姨 2 sinB- 1 2 cos 6 " B = 8sin B- π 6 6 " . 又 ∵△ABC 为锐角三角形 ， ∴B∈ π 3 ， π 2 6 " ， 即 B- π 6 ∈ π 6 ， π 3 6 " ， ∴ 3 姨 b-c∈ （ 4 ， 4 3 姨 ） . 12. 解 ： （ 1 ） ∵sin A+ π 6 6 " =2cosA ， 得 3 姨 2 sinA+ 1 2 cosA=2cosA ， 即 sinA= 3 姨 cosA ， ∵A∈ （ 0 ， π ）， 且 cosA≠0 ， ∴tanA= 3 姨 ， ∴A= π 3 . （ 2 ） ∵B∈ 0 ， π 3 6 " ， cos （ A-B ） = 4 5 ， ∴A-B= π 3 -B∈ 0 ， π 3 6 " . ∵sin 2 （ A-B ） +cos 2 （ A-B ） =1 ， ∴sin （ A-B ） = 3 5 ， ∴sinB=sin ［ A- （ A-B ）］ =sinAcos （ A-B ） -cosAsin （ A-B ） = 4 3 姨 -3 10 . 9.1.2 余 弦 定 理 1. A 2. B 3. D 4. C 5. C 6. D 7. C 8. 等腰三角形 9. - 5 16 10. π 4 11. 解 ： （ 1 ） ∵ 3 姨 c-2bsinC=0 ， ∴ 3 姨 sinC-2sinBsinC=0. ∵0<C<π ， ∴sinC≠0 ， ∴sinB= 3 姨 2 . ∵0<B<π ， 且 a>b>c ， ∴B= π 3 . 72 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 设 A ， B ， C 为三角形的三个内角 ， sinA=2sinBcosC ， 该三角形一定是 （ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 2. 已知 sinα= 5 姨 5 ， sin （ α-β ） =- 10 姨 10 ， α ， β 是锐角 ， 则 β= （ ） A. 5π 12 B. π 3 C. π 4 D. 3 5 3. 已知 α ， β 均为锐角 ， 且 sinα=2sinβ ， cosα= 1 2 cosβ ， 则 sin （ α-β ） = （ ） A. 1 4 B. 2 2 姨 3 C. 3 5 D. 4 5 4. 已知 tan （ α+β ） =3 ， tan （ α-β ） =5 ， 则 tan2β= （ ） A. 4 7 B. 1 8 C. - 1 8 D. - 4 7 5. 已知锐角 α ， β 满足 sinα= 5 姨 5 ， cosβ= 3 10 姨 10 ， 则 α+β= . 6. 已知 sin π 3 + " # α = 12 13 ， α∈ π 6 ， 2π 3 3 & ， 则 cosα 的值为 . 7. tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°= . 8. 已知 A ， B ， C 是 △ABC 的三个内角 ， 向量 m= （ -2 ， -1 ）， n= cos A+ π 6 3 & ， sin A- π 3 3 &3 & ， 且 m⊥n. （ 1 ） 求角 A 的值 ； （ 2 ） 若 sin 2 C-cos 2 C 1-2sinCcosC =-2 ， 求 tanB 的值 . 8.2.2 两角和与差的正弦 、 正切 夯实 · 基础 能力 · 提升 拓展 · 探究 32 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 1. sin 2 25°+cos 2 25°-6sin75°cos75°= （ ） A. - 1 2 B. 0 C. 1 2 D. 5 2 2. 若 sin x+ π 6 6 " =m ， 则 cos 2x- 2π 3 6 " = （ ） A. 1-2m 2 B. 2m 2 -1 C. m D. 2m-1 3. 函数 f （ x ） =cos2x+sin π 2 + 6 " x 的最小值是 （ ） A. -2 B. - 9 8 C. - 7 8 D. 0 4. 已知函数 f （ x ） =2cos 2 2x+ 3 姨 sin4x ， 则下列判断错误的是 （ ） A. 函数 y=f x- π 6 6 " 的最小正周期为 π B. f （ x ） 的图象关于直线 x= π 3 对称 C. f （ x ） 的值域为 ［ -１ ， ３ ］ D. f （ x ） 的图象关于点 - π 24 ， 6 " １ 对称 5. 函数 f （ x ） =sinxcosx 的最大值是 （ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 3 姨 2 D. 1 6. 已知 sinα+cosα= 1 2 ， 则 cos 2α+ π 2 6 " = （ ） A. 3 4 B. - 3 4 C. 3 8 D. - 3 8 7. 1-2sin 2 15°= （ ） A. 1 2 B. - 1 2 C. 3 姨 2 D. - 3 姨 2 8. sin 2 π 12 -cos 2 π 12 的值为 （ ） A. - 1 2 B. 1 2 C. - 3 姨 2 D. 3 姨 2 8.2.3 倍 角 公 式 夯实 · 基础 33 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 9. 已知函数 f （ x ） =2cos 2 x-sin 2 x+2 ， 则 （ ） A. f （ x ） 的最小正周期为 π ， 最大值为 3 B. f （ x ） 的最小正周期为 π ， 最大值为 4 C. f （ x ） 的最小正周期为 2π ， 最大值为 3 D. f （ x ） 的最小正周期为 2π ， 最大值为 4 10. 若 sinα+cosα sinα-cosα = 1 2 ， 则 tan2α= （ ） A. - 3 4 B. 3 4 C. - 4 3 D. 4 3 11. 已知 α 为第三象限角 ， sin α- π 4 4 " = 2 姨 10 ， 则 sin2α= （ ） A. 24 25 B. - 3 7 C. 3 7 D. - 24 25 12. 若 sinα= 5 13 ， α∈ π 2 ， 4 " π ， 则 tan2α= （ ） A. 120 119 B. - 120 119 C. 119 120 D. - 119 120 13. 若 tanα ， tanβ 是方程 x 2 -6x+7=0 的两个根 ， 则 α+β= （ ） A. 3 4 π B. π 4 C. 2kπ+ 3 4 π （ k∈Z ） D. kπ- π 4 （ k∈Z ） 14. 定义运算 ： a 1 a 2 a 3 a 4 =a 1 a 4 -a 2 a 3 ， 将函数 f （ x ） = 3 姨 cos x 2 1 sin x 2 的图象向左平移 m （ m>0 ） 个 单位长度 ， 所得图象对应的函数为偶函数 ， 则 m 的最小值是 （ ） A. π 3 B. 2π 3 C. 4π 3 D. 7π 3 15. 已知 1 2 sinα+ 3 姨 2 cosα=1 ， 则 cos 2α+ π 3 4 " = . 16. 已知 tanα=2 ， 则 cosα+sinα cosα-sinα = ， cos2α= . 17. 化简 ： sin40° （ tan10°- 3 姨 ） = . 能力 · 提升 34 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 18. 已知函数 f （ x ） =2sin 2 x- π 4 ! " + 3 姨 cos2x. （ 1 ） 求 f （ x ） 的最小正周期和单调递减区间 ； （ 2 ） 将函数 f （ x ） 的图象向右平移 π 6 个单位长度 ， 得到函数 g （ x ） 的图象 ， 求 g （ x ） 在区间 - π 4 ， π 4 4 % 上的值域 . 19. 已知函数 f （ x ） =2 3 姨 sinx · cosx+sin 2 x-cos 2 x. （ 1 ） 求函数的最小正周期及对称中心 ； （ 2 ） 若 x∈ ［ 0 ， π ］， 求函数 f （ x ） 的最小值以及取最小值时 x 的值 ； （ 3 ） 若 f α 2 ! " = 1 2 ， α∈ （ 0 ， π ）， 求 cosα. 拓展 · 探究 35