11.3 空间中的垂直关系(一)-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 将直线与平面垂直的判定定理 “ 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 ， 那么这条直线垂直于这个平面 ” 用集合符号语言表示为 （ ） A. m奂α ， m∩n＝B ， l⊥n ， l⊥m圯l⊥α B. m奂α ， n奂α ， m∩n＝B ， l⊥m ， l⊥n圯l⊥α C. m奂α ， n奂α ， m∩n＝B圯l⊥n ， l⊥m ， l⊥α D. m奂α ， n奂α ， l⊥m ， l⊥n圯l⊥α 2. 过平面 α 外一点 P ， 有如下命题 ： ① 存在无数条直线与平面 α 平行 ； ② 存在无数条直线与平面 α 垂直 ； ③ 有且只有一条直线与平面 α 平行 ； ④ 有且只有一条直线与平面 α 垂直 . 其中正确命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 给定下列四个命题 ： ① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 ， 那么这两个平面相互平行 ； ② 直线 a 不垂直于平面 α ， 则 α 内与 a 垂直的直线有无数条 ； ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行 ； ④ 在空间中 ， 过一点与已知直线垂直的直线有无数条 . 其中真命题是 （ ） A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 4. 与空间四边形 ABCD 的四个顶点距离相等的平面共有 （ ） A. 1 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 5. 如图 ， 已知矩形 ABCD 中 ， AB＝1 ， BC＝a ， PA⊥ 平面 ABCD ， 若 在 BC 边上只有一点 Q ， 满足 PQ⊥QD ， 则 a 的值为 . 6. 如图所示 ， 下列五个正方体图形中 ， l 是正方体的一条体对角线 ， 点 M ， N ， P 分别为 其所在棱的中点 ， 能得出 l⊥ 平面 MNP 的图形的序号是 . （ 写出所有符合要求的图形 的序号 ） 11.3 空间中的垂直关系 （ 一 ） 能力 · 提升 A B C D Q P 第 5 题图 夯实 · 基础 58 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 7. 如图 1 ， 矩形纸片 AA′A′ 1 A 1 ， B ， C ， B 1 ， C 1 分别为 AA′ ， A 1 A′ 1 的三等分点 ， 将矩形纸 片沿 BB 1 ， CC 1 折成图 2 所示的三棱柱 ， 若面对角线 AB 1 ⊥BC 1 ， 求证 ： A 1 C⊥AB 1 . 8. 如图所示的多面体上 ， 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 顶点 . 正方体的一个顶点 A 在平面 α 内 ， 其余顶点在 α 的同侧 . 正 方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 α 的距离分别为 1 ， 2 ， 4. P 是 正方体中不与 A 相邻的四个顶点中的一个 ， 则点 P 到平面 α 的距 离可能是 ： ①3 ； ②4 ； ③5 ； ④6 ； ⑤7. 以上结果正确的为 . （ 写出所有正确结果的序号 ） 拓展 · 探究 A B C A 1 B 1 C 1 A′ A′ 1 A C B A 1 C 1 B 1 图 2 图 1 第 7 题图 A α 1 2 4 第 8 题图 M P N l l M N P M N l P M N P l M N l P ① ② ③ ④ ⑤ 第 6 题图 59 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 △ABD ， △BCD 的重心 ， 则有 BM MP = BN NF = BG GH =2. 连接 PF ， FH ， PH ， 有 MN∥PF ， 又 PF奂 平面 ACD ， MN埭 平面 ACD ， ∴MN∥ 平面 ACD. 同理 MG∥ 平面 ACD ， MG∩MN＝M ， ∴ 平面 MNG∥ 平面 ACD. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 MG PH = BG BH = 2 3 ， ∴MG= 2 3 PH. 又 ∵PH= 1 2 AD ， ∴MG= 1 3 AD. 同 理 NG= 1 3 AC ， MN= 1 3 CD ， ∴△MNG∽△DCA ， 其相似比为 1 ∶ 3. ∴S △MNG ∶ S △ACD ＝1 ∶ 9. 11.2 空间中的平行关系 （ 三 ） 1. B 2. D 3. 略 4. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 设 AC ， BE 的交点为 O ， 连接 PO. ∵AD∥BC ， AE=BC=AB ， ∴ 四边形 ABCE 是菱形 ， ∴AC⊥BE ， OA=OC. 又 ∵AC⊥PB ， BE ， PB奂 平面 PBE ， PB∩ BE=B ， ∴AC⊥ 平面 PBE. ∵PO奂 平面 PBE ， ∴AC⊥PO. 又 ∵OA=OC ， ∴△POA≌△POC ， ∴PA=PC. （ 2 ） 如图 ， 取 PE 的中点 M ， 连接 FM ， BM. ∵F ， M 分别是 PD ， PE 的中点 ， ∴MF ∥ 1 2 DE. ∵BC∥AD ， AD=3BC ， AE=BC ， ∴BC ∥ 1 2 DE ， ∴BC ∥ FM ， ∴ 四边形 BCFM 是平行四边形 ， ∴CF∥BM. 又 ∵BM奂 平面 PBE ， CF埭 平面 PBE ， ∴CF∥ 平面 PBE. 5. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 SB ， ∵E ， G 分别是 BC ， SC 的中点 ， ∴EG∥SB. 又 ∵SB奂 平面 BDD 1 B 1 ， EG埭 平面 BDD 1 B 1 ， ∴ 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 . （ 2 ） 如图 ， 连接 SD ， ∵F ， G 分别是 DC ， SC 的中点 ， ∴FG∥SD. 又 ∵SD奂 平面 BDD 1 B 1 ， FG埭 平面 BDD 1 B 1 ， ∴FG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 又 ∵ 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 ， 且直线 EG奂 平面 EFG ， 直线 FG奂 平面 EFG ， EG∩FG=G ， ∴ 平面 EFG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 6. A 11.3 空间中的垂直关系 （ 一 ） 1. B 2. B 3. D 4. D 5. 2 6. ①④⑤ 7. 证明 ： 如图 ， 作 AD∥BC ， BD∥AC 交于点 D ， 作 A 1 D 1 ∥B 1 C 1 ， B 1 D 1 ∥A 1 C 1 交于点 D 1 ， 连接 BD 1 ， DD 1 . ∵ 四边形 A 1 D 1 B 1 C 1 为菱形 ， ∴A 1 B 1 ⊥D 1 C 1 . 又 ∵AA 1 ⊥ 平面 A 1 D 1 B 1 C 1 ， ∴AA 1 ⊥D 1 C 1 ， 从而 D 1 C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， ∴D 1 C 1 ⊥AB 1 . 又 ∵AB 1 ⊥BC 1 ， ∴AB 1 ⊥ 平面 BC 1 D 1 ， ∴AB 1 ⊥BD 1 . ∵BD 1 ∥CA 1 ， ∴AB 1 ⊥A 1 C. 8. ①③④⑤ 11.3 空间中的垂直关系 （ 二 ） 1. D 2. D 3. C 4. ②③ 5. ③④ 6. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 取 EC 的中点 F ， 连接 DF ， ∵EC⊥ 平面 ABC ， ∴EC⊥BC ， 易知 DF∥BC ， ∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中 ， ∵EF＝ 1 2 EC＝BD ， FD＝BC＝AB ， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA ， ∴DE＝DA. （ 2 ） ∵MN 为 △ECA 的中位线 ， ∴MN ∥ 1 2 EC ， ∴MN∥BD ， ∴ 点 N 在平面 BDM 内 . ∵EC⊥ 平面 ABC ， ∴EC⊥BN. 又 ∵CA⊥BN ， EC∩CA＝C ， ∴BN⊥ 平面 ECA. ∵BN 在平面 MNBD 内 ， ∴ 平面 MNBD⊥ 平面 ECA. （ 3 ） ∵DM∥BN ， BN⊥ 平面 CAE ， ∴DM⊥ 平面 ECA. 又 ∵DM奂 平面 DEA ， ∴ 平面 DEA⊥ 平面 ECA. 7. 证明 ： （ 1 ） ∵BC⊥AB ， BC⊥BC 1 ， AB∩BC 1 ＝B ， ∴BC⊥ 平面 ABC 1 . 又 ∵BC奂 平面 ABC ， ∴ 平面 ABC⊥ 平面 ABC 1 . （ 2 ） ∵AE＝EC 1 ， A 1 F＝FC 1 ， ∴EF∥AA 1 . 又 ∵AA 1 ∥BB 1 ， ∴EF∥BB 1 . 又 ∵EF埭 平面 BCC 1 B 1 ， BB 1 奂 平面 BCC 1 B 1 ， 第 4 题答图 A B E C C 1 D 1 A 1 D F G S B 1 第 5 题答图 A B C D F P E M O 第 8 题答图 E F C M N A B D 第 6 题答图 A C B A 1 C 1 B 1 D 1 D 第 7 题答图 A D G N M F P H C B 75