11.3 空间中的垂直关系(三)-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 B C C 1 B 1 F E G A A 1 ∴EF∥ 平面 BCC 1 B 1 . （ 3 ） 连接 EB ， 则四边形 EFGB 为平行四边形 ， ∵EB⊥AC 1 ， ∴FG⊥AC 1 . ∵BC⊥ 平面 ABC 1 ， ∴B 1 C 1 ⊥ 平面 ABC 1 ， ∴B 1 C 1 ⊥BE. 又 ∵BE∥FG ， ∴FG⊥B 1 C 1 . 又 ∵B 1 C 1 ∩AC 1 ＝C 1 ， ∴GF⊥ 平面 AB 1 C 1 . 11.3 空间中的垂直关系 （ 三 ） 1. 略 2. 略 3. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 A 1 B ， A 1 C ， ∵E ， F 分别是侧面 AA 1 B 1 B 和侧面 AA 1 C 1 C 的对角 线的交点 ， ∴E ， F 分别是 A 1 B ， A 1 C 的中点 ， ∴EF∥BC. ∵BC奂 平面 ABC ， EF埭 平面 ABC ， ∴EF∥ 平面 ABC. （ 2 ） ∵ 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 为正三棱柱 ， ∴AA 1 ⊥ 平面 ABC. ∵BC奂 平面 ABC ， ∴AA 1 ⊥BC. 又 ∵EF∥BC ， ∴AA 1 ⊥EF. ∵D 是棱 BC 的中点 ， △ABC 为正三角形 ， ∴BC⊥AD. 由 EF∥BC 得 EF⊥AD ， 而 AA 1 ∩AD=A ， AA 1 ， AD奂 平面 A 1 AD ， ∴EF⊥ 平面 A 1 AD. 又 ∵EF奂 平面 AEF ， ∴ 平面 AEF⊥ 平面 A 1 AD. 4. ②③ 综合测试 （ 二 ） 1. B 2. C 3. D 4. D 5. D 6. C 7. B 8. B 9. 解 ： （ 1 ） △ABC 中 ， 由 sin 2 A+sin 2 C-sinAsinC=sin 2 B ， 得 a 2 +c 2 -ac=b 2 ， 即 a 2 +c 2 -b 2 =ac ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = ac 2ac = 1 2 . 又 ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 3 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 B= π 3 ， 且外接圆的半径为 5 3 姨 3 ， 由正弦定理得 b sin π 3 =2R ， b=2× 5 3 姨 3 × 3 姨 2 =5. 由正弦定理 得 a sinA = c sinC =2R= 10 3 姨 3 ， ∴a+c= 10 3 姨 3 （ sinA+sinC ）， A+C= 2π 3 ， ∴a+c= 10 3 姨 3 sinA+sin 2π 3 - - * A A , = 10 3 姨 3 × 3 2 sinA+ 3 姨 2 cos s . A =10sin A+ π 6 s * . 又 ∵△ABC 为锐角三角形 ， ∴0<A< π 2 ， 且 0<C< π 2 . 又 ∵C= 2π 3 -A ， ∴ π 6 <A< π 2 ， ∴ π 3 <A+ π 6 < 2π 3 ， ∴ 3 姨 2 <sin A+ π 6 s * ≤1 ， ∴5 3 姨 <a+c≤10 ， 即 △ABC 周长的取值范围是 （ 5+5 3 姨 ， 15 ］ . 10. （ 1 ） 证明 ： ∵ 矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 C s D 所在平面垂直 ， ∴AD⊥ 半圆弧 C s D 所在 平面 ， CM奂 半圆弧 C s D 所在平面 ， ∴CM⊥AD. ∵M 是 C s D 上异于 C ， D 的点 ， ∴CM⊥DM. 又 ∵DM∩AD=D ， ∴CM⊥ 平面 AMD. ∵CM奂 平面 CMB ， ∴ 平面 AMD⊥ 平面 BMC. （ 2 ） 解 ： 存在 ， P 是 AM 的中点 . 理由 ： 如图 ， 连接 BD 交 AC 于点 O ， 取 AM 的中点 P ， 连接 OP ， 可得 MC∥OP ， MC埭 平 面 BDP ， OP奂 平面 BDP ， ∴MC∥ 平面 PBD. A 1 B 1 C 1 D F A B C E 第 3 题答图 第 10 题答图 第 7 题答图 A M C P D O B 76 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 如图所示 ， 已知正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E ， F ， G ， H ， L ， M ， N 分别为 A 1 D 1 ， A 1 B 1 ， BC ， CD ， DA ， DE ， CL 的中点 ， 求证 ： EF⊥GF. 2. 如图 ， 直三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， AC＝BC＝1 ， ∠ACB＝90° ， AA 1 ＝ 2 姨 ， D 是 A 1 B 1 的中点 . （ 1 ） 求证 ： C 1 D⊥ 平面 A 1 B. （ 2 ） 当点 F 在 BB 1 上什么位置时 ， 会使得 AB 1 ⊥ 平面 C 1 DF ？ 并证明你的结论 . 3. 如图 ， 在正三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， E 是侧面 AA 1 B 1 B 的对角线的交点 ， F 是侧面 AA 1 C 1 C 的对角线的交点 ， D 是棱 BC 的中点 . 求证 ： （ 1 ） EF∥ 平面 ABC ； （ 2 ） 平面 AEF⊥ 平面 A 1 AD. 11.3 空间中的垂直关系 （ 三 ） 能力 · 提升 A 1 B 1 C 1 F E M A L D H C G B N D 1 第 1 题图 A 1 B 1 A C B C 1 D E F 第 2 题图 第 3 题图 夯实 · 基础 A 1 B 1 C 1 D F A B C E 62 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 4. 如图 1 所示 ， E ， F 分别为正方体的面 ADD 1 A 1 、 面 BCC 1 B 1 的中心 ， 则四边形 BFD 1 E 在该正方体的面上的射影可能是图 2 中的 . （ 把可能的图的序号都填上 ） 拓展 · 探究 图 1 ① ② ③ ④ 图 2 第 4 题图 A B C C 1 A 1 D 1 B 1 FE D 63