3.4 乘法公式 暑假分层练习2024-2025学年浙教版（2024）七年级数学下册

浙教版（2024）七年级下册 3.4 乘法公式 暑假分层练习 一、用平方差公式计算 1.下列各式中，可以用平方差公式计算的是(　　) A.(x＋y)(x＋y) B.(－x＋y)(x－y) C.(－x－y)(y－x) D.(x＋y)(－x－y) 2.下列运用平方差公式计算，错误的是(　　) A.(b+a)(a-b)=a2-b2   B.(m2+n2)(m2-n2)=m4-n4 C.(2x+1)(2x-1)=2x2-1 D.(2-3x)(-3x-2)=9x2-4 3.(1-a-b)(1+a-b)等于(　　) A.(1-a)2-b2=1-2a+a2-b2   B.1-(a+b)2=1-a2-2ab-b2 C.(1-b)2-a2=1-2b+b2-a2   D.1-(a-b)2=1-a2+2ab-b2 4.计算：(1-m)(-m-1)＝            . 5.(-3x2+2y2)(________________)=9x4-4y4． 6.利用平方差公式计算： (1)(a－2)(a＋2)(a2＋4)； (2)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4)． 7.计算：(m-2n)(m2+4n2)(m+2n) 二、用平方差公式进行简便计算 1.(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)的结果为(　　) A.232－1 B.232＋1 C.232 D.216 2.计算0.1253×83+202×198的结果为(　　) A.39996 B.39999 C.39997 D.40004 3.计算20092-2008×2010+(-1)2009的结果是(　　) A.0 B.1 C.-1 D.3 4.观察下列各式的规律： (a－b)(a＋b)＝a2－b2； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4； … 可得到(a－b)(a2 024＋a2 023b＋…＋ab2 023＋b2 024)＝________________. 5.若a，b互为相反数，则a2－b2＝________. 6.运用平方差公式计算： (1)199×201； (2)2 0232－2 024×2 022. 7.利用平方差公式或完全平方公式计算： (1)992-1； (2)1232-124×122． 三、用平方差公式确定某些整式的值 1.若a2﹣b2＝4，a﹣b＝﹣2，则a+b的值为（　　） A.2 B.0.5 C.﹣0.5 D.﹣2 2.若a﹣b＝6，a2﹣b2＝54，则a+b的值为（　　） A.9 B.﹣9 C.18 D.﹣18 3.已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（　　） A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.5 4.如果a+b=2007，a-b=1，那么a2-b2=            . 5.如果x+y=-1，x-y=-3，那么x2-y2=           ． 6.若m2﹣n2＝5，（m+n）2＝9，求m﹣n的值； 7.已知(a+b-3)(a+b+3)=280，求a+b的值． 四、用完全平方公式计算 1.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是(　　) A.12 B.-12 C.12或-12 D.36 2.下列计算正确的是(　　) A.(x＋y)2＝x2＋y2 B.(x－y)2＝x2－2xy－y2 C.(x＋2y)(x－2y)＝x2－2y2 D.(－x＋y)2＝x2－2xy＋y2 3.运用乘法公式计算(x+3)2的结果是(　　) A.x2+9 B.x2-6x+9 C.x2+6x+9 D.x2+3x+9 4.计算(-2y-x)2=            . 5.已知，那么ab=            ． 6.(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？ 7.运用完全平方公式计算： (1)(4m＋n)2； (2)(y-)2. 五、完全平方公式的几何意义 1.如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是(　　) A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.(a2-1)cm2 2.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是(　　) A.(a+b)(a-b)=a2-b2   B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a(a+b)=a2+ab D.a(a-b)=a2-ab 3.有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片(　　) A.4张 B.8张 C.9张 D.10张 4.用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案(如图)，则由图形能得出(a-b)2=____________(化为a、b两数和与积的形式). 5.图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形． (1)将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形(如图②)．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是____________； (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m-n=____________； (3)将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部(如图③)，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为_____________． 6.某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm的矩形板材(如图)，另一种是边长为ccm的正方形地砖(如图②) (1)用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形吗？如果能，写出新正方形的面积(写出一个符合条件的答案即可)； (2)用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形(即图中阴影部分)，请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积，试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大？ 7.如图，四边形ABCD是校园内一块边长为a+b的正方形土地(其中a＞b)示意图，现准备在这块正方形土地的正中修建一个边长为a-b的小正方形花坛，其余的部分为空地留作道路． (1)画出花坛的示意图，并写出图中各部分面积的表达式； (2)用等式表示大，小正方形及空地的面积关系. 六、用完全平方公式变形计算 1.如果x2＋(m－1)x＋9可以写成(a＋b)2的形式，那么m的值是(　　) A.7 B.－7 C.－5或7 D.－5或5 2.已知正数x满足x+=8，则x2+的值是(　　) A.31 B.16 C.62 D.4 3.已知(m－n)2＝46，(m＋n)2＝4 000，则m2＋n2的值为(　　) A.2 022 B.2 023 C.3 954 D.4 046 4.若a2-2a-1=0，则a2+=            ． 5.已知(x＋y)2＝17，(x－y)2＝1，则x2＋y2＝________，xy＝________. 6.计算(2a+)2 7.计算：(x－3)(3＋x)－(1－x)2＋2(5－x)． 浙教版（2024）七年级下册 3.4 乘法公式 暑假分层练习（参考答案） 一、用平方差公式计算 1.下列各式中，可以用平方差公式计算的是(　　) A.(x＋y)(x＋y) B.(－x＋y)(x－y) C.(－x－y)(y－x) D.(x＋y)(－x－y) 【答案】C 【解析】A中含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误； B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误； C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确； D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x，y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误． 故选C. 2.下列运用平方差公式计算，错误的是(　　) A.(b+a)(a-b)=a2-b2   B.(m2+n2)(m2-n2)=m4-n4 C.(2x+1)(2x-1)=2x2-1 D.(2-3x)(-3x-2)=9x2-4 【答案】C 【解析】A中，(b+a)(a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2，故A选项正确； B中，(m2+n2)(m2-n2)=(m2)2-(n2)2=m4-n4，故B选项正确； C中，(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1，故C选项错误； D中，(2-3x)(-3x-2)=(-3x)2-22=9x2-4，故D选项正确， 故选C. 3.(1-a-b)(1+a-b)等于(　　) A.(1-a)2-b2=1-2a+a2-b2   B.1-(a+b)2=1-a2-2ab-b2 C.(1-b)2-a2=1-2b+b2-a2   D.1-(a-b)2=1-a2+2ab-b2 【答案】C 【解析】原式[(1-b)-a][(1-b)+a]=(1-b)2-a2=1-2b+b2-a2，故选C． 4.计算：(1-m)(-m-1)＝            . 【答案】m2-1 【解析】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，题目中的-m和1分别相当于公式中的“a”和“b”. 5.(-3x2+2y2)(________________)=9x4-4y4． 【答案】-3x2-2y2 【解析】根据两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，结果是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)计算即可．因为相同的项是含x的项，相反项是含y的项，所以所填的式子是-3x2-2y2． 6.利用平方差公式计算： (1)(a－2)(a＋2)(a2＋4)； (2)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4)． 【答案】解 (1)原式＝(a2－4)(a2＋4)＝a4－16. 原式＝(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)＝(x4－y4)(x4＋y4)＝x8－y8. 7.计算：(m-2n)(m2+4n2)(m+2n) 【答案】解 (m-2n)(m2+4n2)(m+2n)= (m-2n)(m+2n)(m2+4n2) = (m2-4n2)(m2+4n2)= m4-16n4. 二、用平方差公式进行简便计算 1.(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)的结果为(　　) A.232－1 B.232＋1 C.232 D.216 【答案】A 【解析】前面乘以(2－1)，连续使用平方差公式，直到不能使用为止． 2.计算0.1253×83+202×198的结果为(　　) A.39996 B.39999 C.39997 D.40004 【答案】C 【解析】原式=(0.125×8)3+(200+2)(200-2)=13+(2002-22)=1+40000-4 =39997．故选C． 3.计算20092-2008×2010+(-1)2009的结果是(　　) A.0 B.1 C.-1 D.3 【答案】A 【解析】首先把2008×2010整理为(2009-1)(2009+1)的形式，运用平方差公式进行计算，然后再把所得结果合并即可． 4.观察下列各式的规律： (a－b)(a＋b)＝a2－b2； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4； … 可得到(a－b)(a2 024＋a2 023b＋…＋ab2 023＋b2 024)＝________________. 【答案】a2 025－b2 025 【解析】由(a－b)(a＋b)＝a2－b2； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4； … 可得到(a－b)(a2 024＋a2 023b＋…＋ab2 023＋b2 024)＝a2 025－b2 025. 5.若a，b互为相反数，则a2－b2＝________. 【答案】0 【解析】∵a，b互为相反数， ∴a＋b＝0，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0. 6.运用平方差公式计算： (1)199×201； (2)2 0232－2 024×2 022. 【答案】解 (1)原式＝(200－1)(200＋1) ＝2002－12 ＝40 000－1 ＝39 999. (2)原式＝2 0232－(2 023＋1)(2 023－1) ＝2 0232－2 0232＋1 ＝1. 7.利用平方差公式或完全平方公式计算： (1)992-1； (2)1232-124×122． 【答案】解 (1)992-1=(99+1)×(99-1)=100×98=9800； (2)1232-124×122=1232-(123+1)(123-1)=1232-(1232-12)=1． 三、用平方差公式确定某些整式的值 1.若a2﹣b2＝4，a﹣b＝﹣2，则a+b的值为（　　） A.2 B.0.5 C.﹣0.5 D.﹣2 【答案】D 【解析】利用平方差公式计算即可得到结果． ∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4，a﹣b＝﹣2， ∴a+b＝4÷（﹣2）＝﹣2． 故选：D． 2.若a﹣b＝6，a2﹣b2＝54，则a+b的值为（　　） A.9 B.﹣9 C.18 D.﹣18 【答案】A 【解析】根据平方差公式将等式的左边写成（a+b）（a﹣b），然后代入计算即可． ∵a2﹣b2＝54， ∴（a+b）（a﹣b）＝54， ∵a﹣b＝6， ∴a+b＝9， 故选：A． 3.已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（　　） A.﹣5 B.﹣1 C.1 D.5 【答案】C 【解析】根据平方差公式进行计算，从而可得：a＝3，b＝﹣2，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答． ∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴a+b＝3+（﹣2）＝1， 故选：C． 4.如果a+b=2007，a-b=1，那么a2-b2=            . 【答案】2007 【解析】∵a+b=2007，a-b=1， ∴a2-b2=(a+b)(a-b)=2007×1=2007． 故答案为2007． 5.如果x+y=-1，x-y=-3，那么x2-y2=           ． 【答案】3 【解析】根据平方差公式得，(x+y)(x-y)=x2-y2， 把x+y=-1，x-y=-3代入得， 原式=(-1)×(-3)=3， 故答案为3． 6.若m2﹣n2＝5，（m+n）2＝9，求m﹣n的值； 【答案】解：∵（m+n）2＝9， ∴m+n＝±3 ∵m2﹣n2＝5， ∴（m﹣n）（m+n）＝5， 当m+n＝3时，； 当m+n＝﹣3时，， 即m﹣n的值为； 7.已知(a+b-3)(a+b+3)=280，求a+b的值． 【答案】解 ∵(a+b-3)(a+b+3)=(a+b)2-9=280，即(a+b)2=289， ∴a+b=±17． 四、用完全平方公式计算 1.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是(　　) A.12 B.-12 C.12或-12 D.36 【答案】C 【解析】由(2a±3b)2=4a2±12ab+9b2，∴染黑的部分为±12．故选C． 2.下列计算正确的是(　　) A.(x＋y)2＝x2＋y2 B.(x－y)2＝x2－2xy－y2 C.(x＋2y)(x－2y)＝x2－2y2 D.(－x＋y)2＝x2－2xy＋y2 【答案】D 【解析】(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，故A不正确； (x－y)2＝x2－2xy＋y2，故B不正确； (x＋2y)(x－2y)＝x2－4y2，故C不正确； (－x＋y)2＝(x－y)2＝x2－2xy＋y2，故D正确． 3.运用乘法公式计算(x+3)2的结果是(　　) A.x2+9 B.x2-6x+9 C.x2+6x+9 D.x2+3x+9 【答案】C 【解析】(x+3)2=x2+6x+9，故选C． 4.计算(-2y-x)2=            . 【答案】x2+4xy+4y2 【解析】(-2y-x)2=x2+4xy+4y2． 5.已知，那么ab=            ． 【答案】4 【解析】由第一个方程两边开平方得a+b=±5， 由第二个方程两边开平方得a-b=±3，所以ab=4. 6.(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？ 【答案】解 (－a－b)2＝(－a)2－2·(－a)·b＋b2 ＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2； (b－a)2＝b2－2ba＋a2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2； (a－b)2与a2－b2不一定相等． 只有当b＝0或a＝b时，(a－b)2＝a2－b2. 7.运用完全平方公式计算： (1)(4m＋n)2； (2)(y-)2. 【答案】解 (1)原式＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2. (2)原式＝y2－2·y·＋2 ＝y2－y＋. 五、完全平方公式的几何意义 1.如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是(　　) A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.(a2-1)cm2 【答案】C 【解析】矩形的面积是(a+1)2-(a-1)2=4a(cm2)．故选C． 2.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是(　　) A.(a+b)(a-b)=a2-b2   B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a(a+b)=a2+ab D.a(a-b)=a2-ab 【答案】B 【解析】大正方形的面积=(a-b)2，还可以表示为a2-2ab+b2，∴(a-b)2=a2-2ab+b2． 故选：B． 3.有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片(　　) A.4张 B.8张 C.9张 D.10张 【答案】C 【解析】∵要拼成正方形，∴b2+6ab+ka2是完全平方式，∵(b+3a)(b+3a)=b2+6ab+9a2， ∴还需面积为a2的正方形纸片9张. 故选C． 4.用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案(如图)，则由图形能得出(a-b)2=____________(化为a、b两数和与积的形式). 【答案】(a+b)2-4ab 【解析】∵小正方形的边长为(a-b)， ∴面积为(a-b)2， 又∵小正方形的面积=大正方形的面积-4×长方形的面积， ∴小正方形面积为(a-b)2=(a+b)2-4ab， 故答案为(a+b)2-4ab． 5.图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形． (1)将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形(如图②)．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是____________； (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m-n=____________； (3)将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部(如图③)，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为_____________． 【答案】(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab (2)±6 (3)3 【解析】(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab．故答案为(a-b)2=(a+b)2-4ab． (2)∵m+n=8，mn=7， ∴(m-n)2=(m+n)2-4mn=64-28=36， ∴m-n=±6 故答案为±6． (3)设长方形BC为m，CD为n， 右上角部分的阴影周长为2(n-a+m-a)，左下角部分的阴影周长为2(m-2b+n-2b) ， ∵左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4， ∴-8b+4a=4， 又∵2(a+b)=8， ∴解得a=3，b=1， ∴每一个小长方形的面积为ab=3×1=3． 故答案为3． 6.某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm的矩形板材(如图)，另一种是边长为ccm的正方形地砖(如图②) (1)用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形吗？如果能，写出新正方形的面积(写出一个符合条件的答案即可)； (2)用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形(即图中阴影部分)，请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积，试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大？ 【答案】解 (1)能，四块即可拼成一个边长的2c的正方形，则面积是4c2cm2． (2)图③阴影部分的面积是(a-b)2cm2 图④阴影部分的面积是a(a-2b)cm2， (a-b)2-a(a-2b)=a2-2ab+b2-a2+2ab=b2＞0， 则(a-b)2＞a(a-2b)． 故图③阴影部分的面积较大． 7.如图，四边形ABCD是校园内一块边长为a+b的正方形土地(其中a＞b)示意图，现准备在这块正方形土地的正中修建一个边长为a-b的小正方形花坛，其余的部分为空地留作道路． (1)画出花坛的示意图，并写出图中各部分面积的表达式； (2)用等式表示大，小正方形及空地的面积关系. 【答案】解 (1)如图： 正中小正方形的面积是(a-b)2，留作道路的空地的面积是4ab， 原正方形土地的面积是(a+b)2； （2）(a-b)2=(a+b)2-4ab． 六、用完全平方公式变形计算 1.如果x2＋(m－1)x＋9可以写成(a＋b)2的形式，那么m的值是(　　) A.7 B.－7 C.－5或7 D.－5或5 【答案】C 【解析】∵x2＋(m－1)x＋9可以写成(a＋b)2的形式， ∴(m－1)x＝±2·x·3， ∴m－1＝±6， ∴m＝－5或m＝7. 2.已知正数x满足x+=8，则x2+的值是(　　) A.31 B.16 C.62 D.4 【答案】C 【解析】根据(a+b)2=a2+b2+2ab，可得到(x+)2 = x2++2=64所以x2+=62. 故选C． 3.已知(m－n)2＝46，(m＋n)2＝4 000，则m2＋n2的值为(　　) A.2 022 B.2 023 C.3 954 D.4 046 【答案】B 【解析】∵(m－n)2＝46，(m＋n)2＝4 000， ∴m2－2mn＋n2＝46，① m2＋2mn＋n2＝4 000，② 由①＋②，得2m2＋2n2＝4 046， ∴m2＋n2＝2 023. 4.若a2-2a-1=0，则a2+=            ． 【答案】6 【解析】∵a2-2a-1=0 ∴a-=2， ∴(a-)2=4， ∴a2+-2=4， ∴a2+=6． 故答案为6． 5.已知(x＋y)2＝17，(x－y)2＝1，则x2＋y2＝________，xy＝________. 【答案】9；4 【解析】∵(x＋y)2＝17，(x－y)2＝1， ∴x2＋y2＋2xy＝17，x2＋y2－2xy＝1， ∴x2＋y2＝9，xy＝4. 6.计算(2a+)2 【答案】解 原式=. 7.计算：(x－3)(3＋x)－(1－x)2＋2(5－x)． 【答案】解 原式＝x2－9－(1－2x＋x2)＋10－2x ＝x2－9－1＋2x－x2＋10－2x ＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$