暑期复习练习3.4 乘法公式 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 以乘法公式为核心，通过几何直观验证公式，梯度设计从基础应用到综合建模，培养推理能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |例题|1题|数形结合验证完全平方公式变形|从图形面积推导公式，建立代数与几何联系| |基础练习|9题|公式结构识别与直接计算|巩固平方差、完全平方公式基本应用| |提高练习|10题|图形与公式互推、公式变形应用|通过图形面积验证公式，提升公式灵活运用能力| |培优练习|4题|多公式综合、实际问题建模|结合方程与几何，培养综合解题与模型意识|

浙教版七年级下册暑期复习6 --乘法公式 一．例题 1．如图1是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图2的形式拼成一个正方形． （1）观察图2，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，由此得到的等量关系为　 　 ； A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 B．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 C．（m﹣n）2＝2（m2+n2）﹣（m+n）2 D．（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①若a﹣b＝12，ab＝﹣11，求（a+b）2． ②如图3，在线段AE上取一点B，分别以AB，BE为边作正方形ABCD和正方形BEFG，连结AG，DF．设AB＝x，BE＝y（x＞y），若AE长为5，三角形ABG的面积为2，求GC的长． 知识点： 解题思路： 二．基础练习 2．下列各式中能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y） C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a） 3．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（4x﹣3y）（3y﹣4x） B．（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y） C． D．（3y+2x）（2x﹣3y） 4．若等式（2a+3b）•（　　）＝4a2﹣9b2成立，则括号内所填的代数式可以是（　　） A．2a+3b B．﹣2a+3b C．2a﹣3b D．﹣2a﹣3b 5．若多项式x2+（k﹣2）x+9是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣4或8 C．﹣8 D．4或﹣8 6．已知（m+n）2＝36，（m﹣n）2＝16，则m2n2的值为（　　） A．5 B．13 C．20 D．25 7．下列式子正确的是（　　） A．（﹣a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣a2﹣b2 C．（3a﹣2）2＝9a2﹣6a+4 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 8．（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝　 　 ． 9．已知多项式（x﹣2）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　 　 ． 10．若（2x﹣3）2＝4x2﹣mx+9，则m＝　 　 ． 三．提高练习 11．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 12．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 13．如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　） A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6 14．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为12，a+b＝6，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b（a＞b），再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（　　） A．4a+4b＝4（a+b） B．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 C．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 16．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形A，B的边长之和为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 17．试说明M＝（2025.5﹣1.5）×（2025.5+1.5）与N＝2025×2026的大小关系，正确的是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 18．运用平方差公式计算（x+y﹣z）（x+y+z），下列变形正确的是（　　） A．（x﹣y）2﹣z2 B．x2﹣（y﹣z）2 C．[（x+y）﹣z]2 D．（x+y）2﹣z2 19．已知x2+y2＝25，x﹣y＝7． （1）求xy的值； （2）求x+y的值． 20．已知x+y＝5，xy＝2． （1）求x2+y2的值； （2）求（x﹣y）2的值． 四．培优练习 21．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）观察图①，请写出a2+b2，a+b，ab之间的等量关系是　 　 ； （2）若x+y＝7，xy＝9，求x2+y2的值； （3）如图②，点C为线段AB上的一点，分别以AC，BC为边在AB异侧作正方形ACDE和正方形BCFG，连接AF．若正方形ACDE和正方形BCFG的面积之和为21，△ACF的面积为7，求AB的长度． 22．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式　 　 ； （2）根据图2所得的公式，若a+b＝8，ab＝5，求a2+b2的值； （3）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在三角形AED和三角形BEC区域内种花，在三角形CDE和三角形ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC＝18米，求种草区域的面积和． 23．我们曾利用几何图形中的面积关系来得到恒等式．例如：图1中的大正方形从整体看，面积可表示为（a+b）2；从部分看，面积可表示为两个小正方形与两小长方形面积之和，即a2+2ab+b2，由此可得恒等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 请参考上例，回答下列问题： （1）根据图2，可得等式（　 　 ）2＝a2+b2+c2+2ab+　 　 +　 　 ． （2）利用（1）中所得结论，解决下列问题： ①若a+b+c＝8，ab+ac+bc＝7，求a2+b2+c2的值． ②若实数x，y，z满足2x•4y•8z＝32，x2+4y2+9z2＝41，求2xy+3xz+6yz的值． 24．【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：　 　 ； 图2表示：　 　 ； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是　 　 ． 【拓展提升】 （3）①若x满足（9﹣x）（x﹣5）＝6；求（9﹣x）2+（x﹣5）2＝　 　 ． ②若x满足（x+2）2+（x﹣6）2＝25；则（x+2）（x﹣6）＝　 　 ． 参考答案 一．例题 1． 【解答】解：（1）大正方形的边长为m+n，小长方形的长为m，宽为n， 方法一：阴影部分是小正方形，边长为m﹣n，面积为（m﹣n）2； 方法二：大正方形面积减去四个小长方形面积，即（m+n）2﹣4mn； 因此，等量关系为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， 对应选项D． 故答案为：D． （2）①因为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 因为a﹣b＝12，ab＝﹣11，代入得： （a+b）2 ＝122+4×（﹣11） ＝144﹣44 ＝100； ②因为三角形ABG的面积为2， ABG的面积为：2， 所以， 因此xy＝4， 由AE＝AB+BE＝x+y＝5， 根据（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， 代入得：（x﹣y）2 ＝52﹣4×4 ＝25﹣16 ＝9， 因此x﹣y＝3（因x＞y）， 观察图形可知，GC＝x﹣y＝3． 答：GC的长为3． 二．基础练习 2． 【解答】解：A、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算； B、﹣5y是相同的项，互为相反项是3x与﹣3x，符合平方差公式的要求； C、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算； D、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算； 故选：B． 3． 【解答】解：A、（4x﹣3y）（3y﹣4x）＝﹣（4x﹣3y）2，用的是完全平方公式，故选项A符合题意； B、（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）＝（﹣4x）2﹣（3y）2，用的是平方差公式，故选项B不符合题意； C、（x+2y）（x﹣2y）＝（x）2﹣（2y）2，用的是平方差公式，故选项C不符合题意； D、（3y+2x）（3y﹣2x）＝（3y）2﹣（2x）2，用的是平方差公式，故选项D不符合题意； 故选：A． 4． 【解答】解：（2a+3b）•（2a﹣3b）＝4a2﹣9b2， 故选：C． 5． 【解答】解：由条件可得x2+（k﹣2）x+9＝（x±3）2＝x2±6x+9， ∴k﹣2＝6时，解得k＝8． k﹣2＝﹣6时，解得k＝﹣4． 则k的值为﹣4或8， 故选：B． 6． 【解答】解：因为（m+n）2＝36， 所以m2+2mn+n2＝36①， 因为（m﹣n）2＝16， 所以m2﹣2mn+n2＝16②， ①﹣②得：4mn＝20， ∴mn＝5， ∴m2n2＝（mn）2＝52＝25． 故选：D． 7． 【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，原变形错误错误，不符合题意； B、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，原变形错误错误，不符合题意； C、（3a﹣2）2＝9a2﹣12a+4，原变形错误错误，不符合题意； D、∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，正确，符合题意； 故选：D． 8． 【解答】解：原式＝x2﹣4y2． 故答案为：x2﹣4y2． 9． 【解答】解：∵（x﹣2）2＝ax2+bx+c， ∴x2﹣4x+4＝ax2+bx+c， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝4， ∴a+b+c＝1﹣4+4＝1， 故答案为：1． 10． 【解答】解：（2x﹣3）2 ＝4x2﹣12x+9 ＝4x2﹣mx+9， 故答案为：12． 三．提高练习 11． 【解答】解：分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系可得： 第一个图阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）， 第二个图阴影部分的面积为：a2﹣b2， 根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 故选：B． 12． 【解答】解：S图1＝a2﹣b2，S图2＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故A正确． 故选：A． 13． 【解答】解：设另一边长为x， 根据题意得，3x＝（a+3）2﹣a2， 解得x＝2a+3． 故选：A． 14． 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b， ∴正方形ABCD的面积是a2，正方形GECF的面积是b2， ∵BE＝DF＝a﹣b， ∴ ， ∴a2﹣b2＝24， ∴（a+b）（a﹣b）＝24， ∵a+b＝6， ∴a﹣b＝24÷6＝4， 答：a﹣b的值为4． 故选：D． 15． 【解答】解：∵图1阴影的面积为：2a×2b＝4ab， 图2阴影的面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2， ∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2， 故选：B． 16． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 图甲中阴影部分是边长为（a﹣b）的小正方形，面积为5， 因此：（a﹣b）2＝5， 图乙中，新正方形的边长为（a+b），其面积为（a+b）2， 阴影部分面积等于新正方形面积减去正方形A和B的面积， 即：（a+b）2﹣a2﹣b2＝22， a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝22， 2ab＝22， 得：ab＝11， 因为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ＝5+4×11 ＝5+44 ＝49， 因为边长为正数， 所以：． 答：正方形A，B的边长之和为7． 故选：C． 17． 【解答】解：M＝（2025.5﹣1.5）×（2025.5+1.5） ＝2025.52﹣1.52， N＝2025×2026 ＝（2025.5﹣0.5）×（2025.5+0.5） ＝2025.52﹣0.52， ∴M＜N， 故选：C． 18． 【解答】解：（x+y﹣z）（x+y+z） ＝[（x+y）﹣z][（x+y）+z] ＝（x+y）2﹣z2， 故选：D． 19． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝7， ∴（x﹣y）2＝49， ∴x2﹣2xy+y2＝49， ∵x2+y2＝25， ∴25﹣2xy＝49， ∴xy＝﹣12； （2）∵x2+y2＝25，xy＝12， ∴（x+y）2 ＝x2+2xy+y2 ＝25﹣24 ＝1， ∴x+y＝±1． 20． 【解答】解：（1）∵x+y＝5．xy＝2， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝52， ∴x2+y2+2×2＝25， ∴x2+y2＝25﹣4＝21； （2）由（1）得x2+y2＝21， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝21﹣2×2＝17． 四．培优练习 21． 【解答】解：（1）大正方形边长为a+b，面积为（a+b）2； 大正方形由两个小正方形（面积a2、b2）和两个矩形（面积均为ab）组成，总面积为a2+2ab+b2； 因此（a+b）2＝a2+2ab+b2， 移项得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）因为x2+y2＝（x+y）2﹣2xy； 代入x+y＝7、xy＝9， 得72﹣2×9＝49﹣18＝31； （3）设AC＝a，BC＝b， 因为若正方形ACDE和正方形BCFG的面积之和为21， 所以a2+b2＝21； △ACF面积为， 故ab＝14； AB＝a+b＞0， 因为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝21+2×14＝49， 因此a+b＝7， 即AB＝7． 22． 【解答】解：（1）∵图②中大正方形的边长为（a+b），阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为（a+b）2，阴影部分两个正方形的面积分别为a2，b2，长方形的面积为ab， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和＝大正方形的面积﹣两个长方形的面积， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）因为a+b＝8，ab＝5， 所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣10＝54； （3）设AE＝m米，EC＝n米， 由题意得，，m+n＝AE+EC＝AC＝18米， 即m+n＝18，m2+n2＝204， 因为（m+n）2＝m2+n2+2mn， 所以324＝204+2mn，解得mn＝60， 所以种草区域的面积和为（平方米）． 23． 【解答】解：（1）图2为边长为（a+b+c）的大正方形，从整体看面积为（a+b+c）2； 从部分看，面积为三个小正方形（面积分别为a2、b2、c2）与三个两两组合的长方形（面积分别为2ab、2ac、2bc）之和， 因此可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：2bc，2ac； （2）①∵a+b+c＝8，ab+ac+bc＝7， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc） ＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc） ＝82﹣2×7 ＝64﹣14 ＝50； ②∵2x•4y•8z＝2x•（22）y•（23）z＝2x+2y+3z，而2x•4y•8z＝32＝25， ∴x+2y+3z＝5， ∴（x+2y+3z）2＝25， 即x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz＝25， ∵x2+4y2+9z2＝41， ∴41+4xy+6xz+12yz＝25， ∴4xy+6xz+12yz＝25﹣41＝﹣16， ∴2xy+3xz+6yz＝﹣8． 24． 【解答】解：（1）由图1可知，（a+b）2＝a2+2ab+b2， 由图2可知，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）设BC＝a，AC＝b， ∵AB＝AC+CB＝12， ∴a+b＝12， ∴，， ∴b2+a2＝80， ∵， ∴． 故答案为：32； （3）①∵（9﹣x）（x﹣5）＝6，（9﹣x）+（x﹣5）＝4， ∴（9﹣x）2+（x﹣5）2＝[（9﹣x）+（x﹣5）]2﹣2（9﹣x）（x﹣5）＝42﹣2×6＝4． 故答案为：4； ②∵（x+2）2+（x﹣6）2＝25，（x+2）﹣（x﹣6）＝8， ∴2（x+2）（x﹣6）＝[（x+2）2+（x﹣6）2]﹣[（x+2）﹣（x﹣6）]2， ∴2（x+2）（x﹣6）＝25﹣82＝﹣39， ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $