精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高三（复读班）下学期期末考试数学试题（日新班）

丰城九中2024—2025学年下学期日新初三期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin 600°＋tan 240°的值等于（ ） A. － B. C. －＋ D. ＋ 2. 已知，，则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 或2 3. 已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 4. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为三角形的两个内角，，则=（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 6. 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角的对边分别是，满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则______． 14. 在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值. （1）， （2）. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 17. 已知函数的一个对称中心为．函数． （1）当时，求的值域； （2）若，使恒成立，求实数a的取值范围． 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 19. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米． （1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？ （2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2024—2025学年下学期日新初三期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin 600°＋tan 240°的值等于（ ） A. － B. C. －＋ D. ＋ 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值，从而求得结果. 【详解】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝， 则 sin 600°＋tan 240°＝. 故选：B. 【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题. 2. 已知，，则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律即可求解模长. 【详解】因为，所以， 故选：C. 3. 已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可. 【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 故选:C. 4. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出向量在向量上的投影，再乘以向量方向的单位向量． 【详解】，，，，则向量在向量上的投影向量为， 故选：B 【点睛】本题考查向量的投影，共线向量，掌握向量投影的定义是解题关键． 5. 已知为三角形的两个内角，，则=（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到、，再用凑角求解. 【详解】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴． 故选：B 6. 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可得出答案. 【详解】因为，所以 由正弦定理可得：， 所以， 即，即， 则，所以. 故选：D. 7. 我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为． 故选:C 8. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可计算出AB的长，由此建立平面直角坐标系，设点P的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果. 【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，， 在中， ,； 如图以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则有，，由于，故可设P点坐标为,且， 所以，， 所以， 因为，当时，取得最小值 ，当 时，取得最大值为0， 所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先证明和差化积公式，然后验证各选项． 【详解】因为， ， 从而有，， 对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D．． 故选：ABC． 10. 在中，内角的对边分别是，满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理边角化可得，即可求解A，根据余弦定理，结合即可求解BCD. 【详解】由可得, 对于A, 若，则,A正确， 对于B，若，则，故，故B错误， 对于C，若，，故,则，由于，故，则，C正确， 对于D，若，，则,则，故D错误， 故选：AC 11. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据判断A，由数量积的坐标表示及辅助角公式判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：， 所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C：因为， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，所以， 所以， 又，所以，此时，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式直接代入求值. 【详解】， 故答案为：. 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，若为中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可利用向量的模长求解. 【详解】由余弦定理，，将，代入解得， 因为，所以，所以． 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值. （1）， （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的诱导公式，进行化简，即可求解； （2）由两角和的正切公式，求得，将其代入运算，即可求解. 【小问1详解】 解：由三角函数的诱导公式，可得： 【小问2详解】 解：由，可得， 所以 . 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 【答案】（1），对称中心为 （2）、 【解析】 【分析】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可求出的取值范围，然后利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，由此可求得函数在上的单调减区间. 【小问1详解】 由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此，， 由得， 因此，函数的对称中心的坐标为. 【小问2详解】 将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象， 则， 当时，， 由得，由得， 因此，函数在上的单调减区间为、. 17. 已知函数的一个对称中心为．函数． （1）当时，求的值域； （2）若，使恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义域结合三角函数性质求出函数值域； （2）先应用换元法得出复合函数的最值，恒成立问题转化得出参数. 【小问1详解】 ∵的对称中心为，, ∴，即， ∵，∴，此时． 【小问2详解】 ， ∵，∴，设，， 则有，函数图象开口向下，对称轴为， 当时，在区间上单调递增，∴， ∴，解得，∴； 当时，在区间上单调递减， ∴，∴， 解得，故； 当时，， 故，解得，∴， 综上所述，实数a的取值范围为． 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用辅助角公式可得； （2）利用正弦定理可得，再由并利用三角函数单调性可求得的取值范围． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，因为， 所以，即， 可得． 【小问2详解】 由正弦定理得， 即，且， 所以． 因为为锐角三角形，，所以， 所以，即． 可得， 即的取值范围为． 19. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米． （1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？ （2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间； （2）由已知代入，解方程，解方程即可. 【小问1详解】 设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转， 则游客距地面的高度， 又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为， 则，，则， 所以， 又当时，， 解得， 则， 又时，， 解得或，， 又运行一周的时间不低于分钟， 即，解得， 即， 所以运行一周所需时间分； 【小问2详解】 由（1）得， 由已知，令， 则或，， 又，则或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $