齐次化构造三次方程 讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、这道齐次化构造三次方程模考题 1、多交点齐次化 2、参考解析 二、多交点齐次化与传统齐次化对比 三、此题本质还是双曲线内接三角形外接圆结论 1、双曲线 2、椭圆 3、抛物线 四、教材中的高次韦达定理（代数基本定理） 一、这道齐次化构造三次方程模考题 【河北“五个一”名校联盟25届高三一轮收官考T19】已知双曲线 （ ， ）的焦点到渐近线的距离为 ，右顶点到点 的距离是 . 动圆 （点 为圆心）与 交于四个不同的点 ，，，，且直线 ， 的斜率分别为 ， . （1） 求 的方程. （2） 设直线 . （i） 判断点 是否在双曲线 上，并说明理由. （ii） 若 ，求直线 的一般式方程. （iii） 试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 图 1 解析： （iii） 1、多交点齐次化 2、参考解析 （1） （2） （i） （ii） （iii） 注： 最后可以直接利用三次韦达定理直接得出 二、多交点齐次化与传统齐次化对比 同学们平时在遇到直线与圆锥曲线有两个交点的情形，如图 2，当还存在第三个点（最简单的情况是原点）与这两个点连线的斜率存在等式关系（一般是能转化成关于斜率和、积的等式），这时便可构造关于斜率的二次方程来解题，这便是一般形式的齐次化！ 当上述情形不是直线，而是其他曲线（比如圆、椭圆、双曲线等二次曲线），如图 3，此时该曲线与圆锥曲线可能存在多个交点（大于2个），若还存在另外一个不同点与这多个交点连线的斜率存在等式关系，这时构造的就不在是二次方程了，而是高次方程（有几个交点便是几次方程），利用高次韦达定理来解决。这就是齐次化的拓展形式 图 2 图 3 三、此题本质还是双曲线内接三角形外接圆结论 此题本质还是拿双曲线内接三角形外接圆结论截取一部分来考的 1、双曲线 【结论1】点 在双曲线 （ ， ） 上，设 的外接圆的圆心为点 ，若 三边斜率存在，则 证法1，中点弦点差法： 图 4 图 5 证法2，齐次化拓展形式： 2、椭圆 【结论2】点 在椭圆 （ ） 上，设 的外接圆的圆心为点 ，若 三边斜率存在，则 证法1，中点弦点差法： 证法2，齐次化拓展形式： 图 6 图 7 3、抛物线 【结论3】点 在抛物线 上，设 的外接圆的圆心为点 ，则 证明： （感兴趣的同学可以仿照上面的中点弦和点差法，齐次化拓展法尝试一下） 四、教材中的高次韦达定理（代数基本定理） 该题涉及的高次韦达定理（代数基本定理）在人教 版数学必修第二册 ，如下图。 【高次韦达定理】设一元 次方程 的根为 ，则 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、这道齐次化构造三次方程模考题 1、多交点齐次化 2、参考解析 二、多交点齐次化与传统齐次化对比 三、此题本质还是双曲线内接三角形外接圆结论 1、双曲线 2、椭圆 3、抛物线 四、教材中的高次韦达定理 (代数基本定理) 一、这道齐次化构造三次方程模考题 【河北“五个一”名校联盟 25 届高三一轮收官考 T19】已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 1 ,右顶点到点 的距离是 . 动圆 (点 为圆心)与 交于四个不同的点 , ,且直线 的斜率分别为 . (1) 求 的方程. (2)设直线 . (i) 判断点(2k, m)是否在双曲线 上,并说明理由. (ii) 若 ,求直线 的一般式方程. (iii) 试问 是否为定值? 若是,求出该定值; 若不是,请说明理由. 图 1 解析: (iii) 1、多交点齐次化 如图 1,设点 半径为 采用假平移齐次化,拆出来 以便于构造斜率 先对双曲线 方程做代数变形 对圆 的方程做代数变形 下面需要构造齐次式,因此将上面两式相乘,则等号两边就都变成了关于 , 的三次齐次式(注意:交叉相乘,即第一个等式左侧乘以第二个等式右侧, 第一个等式右侧乘以第二个等式左侧), 得 将上式右侧移项至左侧,再同时除以 ,得到关于 的三次方程 其中 此方程的三个解便是 由三次方程的韦达定理 所以 所以 为定值,且该定值为 2、参考解析 (1)设 的一个焦点为 的渐近线方程为 ,即 ,点 (c,0)到渐近线的距离 右顶点(a,0)到点 的距离为 解得 (舍去) 或 ,所以 的方程为 (2) (i) 点(2k, m)不在双曲线 上. 理由如下: 设 . 由 得 则 即 所以点(2k, m)不在双曲线 上. (ii) 由韦达定理得 则 则 的中点 的坐标为 依题意可得 ,则 整理得 当 时, 解得 此时 满足 所以当 时,直线 的一般式方程为 (iii) 因为 ,代入式 (1) 得 因为直线 和 也过点 ,所以同理可得 即 都是关于 的三次方程 的三个不同的实根. 又方程可化为 对比常数项可得 即 所以 为定值,且该定值为 . 注: 最后可以直接利用三次韦达定理直接得出 二、多交点齐次化与传统齐次化对比 同学们平时在遇到直线与圆锥曲线有两个交点的情形, 如图 2, 当还存在第三个点 (最简单的情况是原点)与这两个点连线的斜率存在等式关系(一般是能转化成关于斜率和、积的等式),这时便可构造关于斜率的二次方程来解题,这便是一般形式的齐次化! 当上述情形不是直线, 而是其他曲线 (比如圆、椭圆、双曲线等二次曲线), 如图 3 , 此时该曲线与圆锥曲线可能存在多个交点 (大于 2 个), 若还存在另外一个不同点与这多个交点连线的斜率存在等式关系, 这时构造的就不在是二次方程了, 而是高次方程(有几个交点便是几次方程),利用高次韦达定理来解决。 图 2 图 3 三、此题本质还是双曲线内接三角形外接圆结论 此题本质还是拿双曲线内接三角形外接圆结论截取一部分来考的 1、双曲线 【结论 1】点 在双曲线 上,设 的外接圆的圆心为点 ,若 三边斜率存在,则 证法 1,中点弦点差法: 如图 4,设 的中点分别为点 , ,外接圆圆心为点 由点差法知 由外接圆垂径定理知 式 (1)/(2) 可得 整理得 同理有 式 得 又 图 4 图 5 所以 所以 证法 2,齐次化拓展形式: 如图 5,设点 半径为 设 的外接圆与双曲线 的第四个交点为 ,由四点共圆可知 因此只需证 采用假平移齐次化,拆出来 以便于构造斜率 先对双曲线 方程做代数变形 对圆 的方程做代数变形 下面需要构造齐次式,因此将上面两式相乘,则等号两边就都变成了关于 , 的三次齐次式(注意:交叉相乘,即第一个等式左侧乘以第二个等式右侧, 第一个等式右侧乘以第二个等式左侧), 得 将上式右侧移项至左侧,再同时除以 ,得到关于 的三次方程 其中 此方程的三个解便是 由三次方程的韦达定理 所以 所以 2、椭圆 【结论 2】点 在椭圆 上,设 的外接圆的圆心为点 ,若 三边斜率存在,则 证法 1,中点弦点差法: 如图 6,设 的中点分别为点 , ,外接圆圆心为点 由点差法知 由外接圆垂径定理知 式 (1)/(2) 可得 整理得 同理有 式 得 又 所以 所以 图 6 图 7 证法 2,齐次化拓展形式: 如图 7,设点 半径为 设 的外接圆与椭圆 的第四个交点为 ,由四点共圆可知 因此只需证 采用假平移齐次化,拆出来 以便于构造斜率 先对椭圆 方程做代数变形 对圆 的方程做代数变形 下面需要构造齐次式, 因此将上面两式相乘, 则等号两边就都变成了关于 的三次齐次式(注意:交叉相乘,即第一个等式左侧乘以第二 个等式右侧, 第一个等式右侧乘以第二个等式左侧), 得 将上式右侧移项至左侧,再同时除以 ,得到关于 的三次方程 其中 此方程的三个解便是 由三次方程的韦达定理 所以 所以 3、抛物线 【结论 3】点 在抛物线 上,设 的外接圆的圆心为点 ,则 证明: (感兴趣的同学可以仿照上面的中点弦和点差法, 齐次化拓展法尝试一下) 四、教材中的高次韦达定理(代数基本定理) 该题涉及的高次韦达定理 (代数基本定理) 在人教 版数学必修第二册 ,如下图。 【高次韦达定理】设一元 次方程 的根为 ,则 阅读与思考 代数基本定理 在代数发展史上的很长一段时期内, 解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题. 早在古巴比伦时期, 人们就会解一元二次方程. 16 世纪上半叶, 数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法 (包括求根公式). 此后, 数学家们转向求解一元五次及五次以上的方程. 他们想弄清楚以下问题:一般的一元多项式方程有没有根? 如果有根, 根的个数是多少? 是否存在求根公式? 我们可以发现这样一个现象:随机生成的一元多项式, 在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积, 且一次因式的个数 (包括重复因式) 就是被分解的多项式的次数. 事实上, 数学中有如下定理: 代数基本定理 (fundamental theorem of algebra) 任何一元 次复系数多项式方程 至少有一个复数根. 代数基本定理是数学中最重要的定理之一, 它在代数学中起着基础作用. 代数基本定理的证明方法有很多种, 但每种证法都涉及高等数学知识, 此处不作介绍. 有兴趣的同学可以查阅相关资料. 由代数基本定理可以得到: 任何一元 次复系数多项式 在复数集中可以分解为 个一次因式的乘积. 进而,一元 次多项式方程有 个复数根 (重根按重数计). 你能给出证明吗? 尽管一元 次多项式方程有 个复数根 (重根按重数计),但是一元五次及五次以上的方程不存在一般的求根公式. 下面我们从代数基本定理出发,看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集 内的根为 ,容易得到 设实系数一元三次方程 ① 在复数集 内的根为 ,可以得到,方程①可变形为 展开得 ② 比较①②可以得到 如果实系数一元四次方程 在复数集 内的根为 ,那么它们与方程的系数之间有什么关系呢? 对于上述方程, 如果系数是复数, 那么根与系数的这些关系仍然成立吗? 学科网（北京）股份有限公司 $$