精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年高一年级期末考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. （ ） A. 3 B. C. 9 D. 81 【答案】B 【解析】 【详解】． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解． 【详解】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角． 故选：D． 3. 设M，N是非空集合，且（U为全集），则下列集合表示空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的包含关系结合集合的运算即可得解. 【详解】集合是非空集合，对集合中任一元素， ∵，∴，∴， 又若，则，∵，∴， ∴. 故选：A. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B. 平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行 C. ，，则 D. ，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面关系，逐一判断每个选项即可. 【详解】解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误； 对于B选项，如图，，，，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，，到平面的距离相等，但所在平面与相交，故错误； 对于选项C，可能在平面内，故错误； 对于选项D，正确. 故选：D. 5. 计算 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系:,观察题目所给的角的互余关系，利用诱导公式求解得值. 【详解】∵， ， ……， 设，则 ， 所以 所以 所以， 故选. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系和诱导公式，关键在于找出 与的关系，本题在最后求值时，用了倒序相加法，这是对此类问题求和时所用的比较好的方法，本题属于中档题. 6. 若实数x，y满足，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案. 【详解】解：设， 则，解得， 故， 又因， 所以， 所以. 故选：A. 7. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题实际上是求四面体外接球的面积问题. 设出球心，根据已知条件求出外接球半径即可. 【详解】由已知得△，△均为等边三角形.如图所示， 设球心为，△的中心为， 取的中点，连接，，，，，， 则，，得平面， 且可求得， 而，所以. 在平面中过点作的垂线，与的延长线交于点， 由平面，得， 故平面，过点作于点， 则四边形是矩形. 则，， ，. 设球的半径为，， 则由，， 得，， 解得，. 故三棱锥外接球的表面积. 故选：B 【点睛】思路点睛： 解决与外接球有关的问题时，要认真分析图形，明确球心的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图求解. 8. 设，，则三个数（ ） A. 都小于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都大于4 D. 至少有一个不小于4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案． 【详解】假设三个数且且，相加得： ，由基本不等式得： ；；； 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立， 三个数、、至少有一个不小于4． 故选． 【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则它们的斜率相等 B. 若与的斜率相等，则 C. 若，则它们的倾斜角相等 D. 若与的倾斜角相等，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确. 【详解】对于A，当和倾斜角均为时，，但两直线斜率不存在，A错误； 对于B，若和斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知，B正确； 对于C，若，可知两直线倾斜角相等，C正确； 对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知，D正确. 故选：BCD. 10. 以下四个命题表述错误的是（ ） A. 恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则实数 C. 已知直线与平行，则或 D. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误. 【详解】选项A：直线，即， 所以恒过定点，故A正确； 选项B：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在， 此时，与互相垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为两直线互相垂直，所以，解得， 所以或，故B错误； 选项C：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在， 此时，与互相垂直，舍去， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为两直线互相平行，所以，解得， 当时，两直线重合，故舍去， 所以，故C错误； 选项D：根据题意，直线的斜率， 因为，所以，所以， 倾斜角的取值范围是，故D错误； 故选：BCD. 11. 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】先求得点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系求得的取值范围，进而求得正确选项. 【详解】圆的圆心为，半径为. 为的中点，，所以， 设，则，所以点的轨迹方程为. 即在圆心为，半径为的圆上. ，都在直线上，且， 设线段的中点为，则， 以为圆心，半径为的圆与圆外离时，始终有为锐角， 所以， 即，，所以或， 即或. 所以AD选项正确. 故选：AD 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合中的元素满足：，且，．若集合中恰有三个元素，则______，集合中的元素是______． 【答案】 ①. 6 ②. 3，4，5 【解析】 【分析】根据集合元素特征和的范围可得，进而可得集合的元素. 【详解】因为，，，且集合P中恰有三个元素，所以， 此时集合P中的元素是3，4，5． 故答案为：6；3,4,5 13. 如图所示，在平行六面体中，，若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化， ,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，. 【详解】解：因为 ， 又， 所以，， 则. 故答案为：2. 【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解. 14. 已知点是的内心，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用表示出，判断出的位置关系，利用三角形内心的特点结合角平分线定理即可计算出的值. 【详解】因为，即， 取中点，连接，则，故，故点共线， 又，故，且，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何图形中的应用，难度较难.此题可以推广为一般性结论：已知点是的内心，若，则. 四、解答题：本题共77分.应明确写出计算过程. 15. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为, 则由题意得，故该圆的方程为. 小问2详解】 圆心到直线的距离为， 由垂径定理得：，解得. 16. 已知为第二象限角. （1）若，求的值； （2）若，求值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 17. 已知函数的定义域为，且对任意的，都有．当时，，． （1）求并证明奇偶性； （2）判断的单调性并证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）0，证明见解析 （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先赋值法求,再根据判奇偶即可. （2）在上是增函数，根据定义证明得到结果； （3）由转化为恒成立．利用函数的单调性，构造函数，转化求解即可． 【小问1详解】 ，所以， 又的定义域为，关于原点对称，， 所以，所以为奇函数． 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下． ，有， 因为，所以， 所以，所以在上单调递增． 【小问3详解】 因为，， 所以， 所以． 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以恒成立，故． 故实数的取值范围为． 18. 已知函数(R). （1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值; （2）若为锐角，且，求的值. 【答案】(1) Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为．(2) . 【解析】 【分析】（1）由倍角公式，辅助角公式，化简f（x），利用三角函数的图像和性质即可得解. （2）把代入f（x）的解析式得f（）的解析式，可求得，进而求得. 【详解】（1）f（x）＝2sinxcosx+cos2x＝sin2x+cos2x， ， ． ∴当，即Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为． （2）∵，∴． ∴． ∵θ为锐角， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系等知识，考查运算求解能力，属于中档题． 19. 某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点（不与端点重合），且，线段为表演队列所在位置（分别在线段上），内的点为领队．位置，且点到、的距离分别为、，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好． （1）当为何值时，为队列的中点？ （2）求观赏效果最好时的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，易得:；：，可设，，，利用点线距离公式可求得点的坐标，再利用中点坐标公式即可求得，最后用两点距离公式可求得，即. （2）由 三点共线，推出，再利用基本不等式以及三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， ∴直线的方程为，直线的方程为， 设，，． 由题意得,或（舍去）, ∴．为的中点，,解得, ，∴， ∴当时，P为队列的中点． 【小问2详解】 由三点共线，得，即，即， ∴， 又∵， 当且仅当，即时，等号成立， ∴观赏效果最好时的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石嘴山市第一中学2024-2025学年高一年级期末考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. （ ） A. 3 B. C. 9 D. 81 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 设M，N是非空集合，且（U为全集），则下列集合表示空集的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确是（ ） A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内任意一条直线平行 B. 平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行 C. ，，则 D. ，，，则 5. 计算 A. B. C. D. 6. 若实数x，y满足，则的取值范围（ ） A B. C. D. 7. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，则三个数（ ） A 都小于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都大于4 D. 至少有一个不小于4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则它们的斜率相等 B. 若与的斜率相等，则 C. 若，则它们的倾斜角相等 D. 若与的倾斜角相等，则 10. 以下四个命题表述错误的是（ ） A. 恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则实数 C. 已知直线与平行，则或 D. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是 11. 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合中的元素满足：，且，．若集合中恰有三个元素，则______，集合中的元素是______． 13. 如图所示，在平行六面体中，，若，则___________. 14. 已知点是内心，若，则______. 四、解答题：本题共77分.应明确写出计算过程. 15. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 16. 已知为第二象限角. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数的定义域为，且对任意的，都有．当时，，． （1）求并证明的奇偶性； （2）判断的单调性并证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数(R). （1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值; （2）若为锐角，且，求的值. 19. 某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点（不与端点重合），且，线段为表演队列所在位置（分别在线段上），内的点为领队．位置，且点到、的距离分别为、，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好． （1）当为何值时，为队列的中点？ （2）求观赏效果最好时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$