陕西省榆林市2024-2025学年高二下学期过程性评价质量检测数学试卷

榆林市普通高中过程性评价质量检测 高二年级数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收， 第I卷（选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.设全集U={1,2,3,4,5,集合M满足CM={1,4},则 A.2∈M B.3使M C.4EM D.5gM 2已知复数：=品则 A.-1 B.1 C.2 D.2 3.已知向量a=(1,1),b=(-1,1),则a·(2a-b)= A.-4 B.-3 C.3 D.4 4.记S。为等差数列{a.}的前n项和.若a+a6=11,则S,= A.43 B.44 C.87 D.88 5.若正四棱锥的高为6，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为 A.4 B.8 C.12 D.24 6.已知随机变量x服从正态分布N(4,o2),若P(X<1+2a)=P(X>1-a),则a= A.-1 B.0 C.2 D.6 7.已知ana=里，且a,Be(0,受)，则下列选项正确的是 cos B 人a8=受 B2a-8=7 C2a8=号 D.2a+B= 榆林市高二年级数学-1-（共4页） C因扫描全能王 3亿人都在用的归猫A的 8.已知函数f(x)=e-e-2simx,若f八ae)+f1-x)>0恒成立，则a的取值范围是 A(-,) C.(,+∞) D.(,t∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每 个选项3分，有选错的得0分 9.函数x)=2sin(2x-号)，则下列选项正确的是 A函数x)的图象关于点(-于，0)中心对称 B.函数代x)图象的对称轴是直线x=开+km(kEZ) 12 C.函数x)在[0，]上的最大值为万 D.函数八)的图象向右平移智个单位长度后为奇函数的图象 10.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时八x)=x-3x+1,则 A.f八0)=0 B.当x<0时(x)=x2+3x-1 C.x=-1是f八x)的极大值点 D.f八x)有5个零点 11.已知A(-4,0),B(4,0),动点C满足|CA=3|CB|,记C的轨迹为2，若过点A的直线与n交于 P,Q两点，直线BP与2的另外一个交点为M,则 A.△PAB的面积的最大值为12 B.Q,M关于x轴对称 C.当LPMQ=时，PQ=25 D,直线AG的斜率的取值范围为-冬，] 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知正实数a,b满足a+2b=2,则ab的最大值是 13.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，其中来源于甲、乙、丙三厂生产的分别有5盒、3 盒，2盒且甲，乙.丙三厂生产该种X光片的次品率依次为品，名动，现从这10盒中任取一盒， 再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为 4设R是双曲线C后卡=1(a>b0)的右焦点，0为坐标原点，过月的直线交双曲线的右支于 点P,N,直线PO交双曲线C于另一点M,若M,=3PR,,且LM,N=号，则双曲线C的离 心率为 榆林市高二年级数学-2-（共4页） CS扫描全能王 子亿人都在用的归猫Ap中 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin B=√3 bcos A. (1)求角A的大小： (2)若a=6,b=2,求△ABC的面积 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形， AB=2AD,E,F分别为AB,PC的中点 (1)求证：直线EF∥平面PAD: (2)若AD=2,求侧面PBC与底面ABCD所成角的余弦值 (第16题图) 17.（本小题满分15分) 已知f(x)=lnx. (1)证明：(x)≥x-1; (2)若)≤ax-号在(0，+o)上恒成立，求实数a的最小值 榆林市高二年级数学-3-（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的月猫AP的 18.(本小题满分17分) 甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A,B两点处进行套圈，已知甲在A,B两点的命中 率均为行，乙在A点的命中率为1-p(0<p≤)，在B点的命中率为1-2印，且他们每次套圈互 不影响 (1)若甲在A处套圈3次，求甲至多命中1次的概率； (2)若甲和乙每人在A,B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则 计0分，设甲的得分为X,乙的得分为Y,写出X和Y的分布列和期望； (3)在(2)的条件下，若E(xX)>E(Y),求p的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知精圆E:号卡=1(a60)的离心率e 2 (1)若椭圆E过点(2,2)，求椭圆E的标准方程； (2)若直线l,2均过点P(p.,0)(0<p,<a,n∈N~)且互相垂直，直线l交椭圆E于A,B两点， 直线l,交椭圆E于C,D两点，M,N分别为弦AB和CD的中点，直线MN与x轴交于点Q(,O), 设n时， ①求，： ②记a,=PQl,求数列1】1的前n项和 榆林市高二年级数学-4-（共4页） C因扫描全能王 3亿人都在用的归猫A时榆林市普通高中过程性评价质量检测 高二年级数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.【命题意图】重点考查集合的概念，从核心素养的角度来看，本题可以考查学生的数学抽象和逻辑推理的核心 素养。 【参考答案】A 【试题解析】因为CM={1,4},所以M={2,3,5},故2∈M,故选A 2.【命题意图】重点考查复数除法运算及模的概念，从核心素养的角度来看，本题可以考查学生的数学运算和逻辑 推理的核心素养 【参考答案】B 【试题解析】 条法1品-得得骨=，所以1：1放选卫 解法2：z= =1.故选B, 3.【命题意图】重点考查向量的基本运算（减法和数量积），从核心素养的角度来看，本题可以考查学生的数学运 算、数学抽象和逻辑推理的核心素养」 【参考答案】D 【试题解析】 解法1：由题意得：2a-b=(2,2)-(-1,1)=(3,1),所以a·(2a-b)=(1,1)·(3,1)=3+1=4. 解法2：因为a·b=(1,1)·(-1,1)=0,a2=2,故a·(2a-b)=2a2-a·b=4. 故选D. 4.【命题意图】重点考查了等差数列的性质及其前项和公式，从核心素养的角度来看，考查学生的数学运算和 逻辑推理的核心素养， 【参考答案】B 【试题解析】 解法1：设等差数列{an}的公差为d,由a3+a6=(a1+2d)+(a,+5d)=2a,+7d=11, 8=8a,87=4(2a,+7团=4，故选B 解法2：由等差数列前n项和公式得，S-凸×8=马x8=4,故选B 2 2 5.【命题意图】重点考查棱锥表面积计算，从核心素养的角度来看，本题可以考查学生的直观想象和数学运算的核 心素养 【参考答案】D 榆林市高二年级数学-答案-1（共8页） 【试题解析】如图，P0是正四棱锥的高，所以P0=√6，PE是斜高， 由SW=2S可得4×)BC·PE=2BC2,所以BC=PE, 在R△P0B中，P0=6,0B=号BC=PE,所以6+（学）=PE,所以PE=2反， S度=BC2=PE2=8,Sg=2Sg=16,S卷=Sm+Sg=8+16=24. 故选D. 6.【命题意图】本题以正态分布为背景，重点考查学生对正态分布对称性的理解，通过正态分布的对称性求解概率， 检验学生数据分析与逻辑推理的核心素养， 【参考答案】D 【试题解析】因为P(X<1+2a)=P(X>1-a),随机变量X服从正态分布N(4,σ2)， 所以1+2a+1-a=2×4,解得a=6. 故选D. 7.【命题意图】本题重点考查了三角恒等变换，考生可以通过将正弦、余弦转化为正切，得出角之间的关系，从核心 素养的角度来看，本题可以很好地考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养， 【参考答案】C 【试题解析】 解法1：由ana=lsin2得si血ac0sB=cosa-cosiB,sin(a+p)=cosa,又图为aBe(0,2）, cos B 所以0<aB<m,则a+a=受成(a)-a=受，整理得2aB=受成B=受（舍去），故选C 解法2，用8e（0.石，所以na=1-i2=专互o5s咖 2 2 2 1-tan B cos B =an(开-)，又因 +sin B 1+tan- 42 2 2 2 为a,Be0,受)，所以0c号号号则a=号号，整理得28=受，截选C 解法3：因方ae0学》，◆a=B若满足amal治是整散2a8=号成立，或选C 8.【命题意图】重点考查函数的奇偶性与单调性，借助导数解决不等式恒成立背景下的参数范围求解问题，重点考 查转化与化归、数形结合的数学思想，从核心素养层面分析，本题可有效考查学生的直观想象、逻辑推理等关健 素养。 【参考答案】C 【试题解析】因为f代-x)=e-e*-2sin(-x)=-f(x), 所以(x)为R上的奇函数， 又因为f'(x)=e+e*-2cosx≥2√ee*-2cosx=2-2cosx≥0， 所以f(x)在R上单调递增. 又fae)+f(1-x)>0恒成立， 所以f(ae)>x-1),ae>x-1, 因此恒成立.设8()则g()2◆g()=0,解得=2 e 榆林市高二年级数学-答案-2（共8页） 当x<2时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当>2时，g()<0,g()单调递减，因此a>g()m=g2)=子 故选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分 9.【命题意图】本题重点考查正弦函数的图象和性质，考生可以结合函数图象求解，也可根据正弦函数的性质进行 判断，从核心素养的角度来看，本题可以很好地考查学生的数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养， 【参考答案】AC 【试题解析】令2x-号=km(keZ),解得x=石+受(keZ),所以西数f)图象的对称中心为（石+受，0）(ke 62 Z),取k=-L,函数x)的图象关于点(-牙，0)中心对称，故选项A正确： 同理可得，函数代x)图象的对称轴方程为x=π+红(kEZ),故选项B错误： 122 设1=2号，图为xe[0,号1，所以1e[-号，号1，因为y=2n4在[-号，牙]上单调递增，当x=写时x)在 [0,]上的最大值为5，故选项C正确； 函数八x)=2sin(2x-于)向右平移2个单位后得到函数g(x)=2sin2(x7)-写]=2sin(2x-2)=-2cos2x,所 以函数g(x)为偶函数，故选项D错误 故选AC 10.【命题意图】本题以函数的奇偶性解析式求解为切入点，结合导数探究函数的极值与零点问题，重点考查转化与 化归、数形结合等数学思想方法.从核心素养角度看，本题能有效评估学生的直观想象与逻辑推理能力. 【参考答案】ACD 【试题解析】A选项：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,A选项正确； B选项：当x<0时，-x>0f八x)=f八-x)=x3-3x-1,B选项错误； C选项：解法1：当x<0时，f'(x)=3(x+1)(x-1), 在xe(-∞，-1)上f'(x)>0,fx)单调递增；在xe(-1,0)上f'(x)<0f(x)单调递减. 因此x=-1是f代x)的极大值点，C选项正确； 解法2：当x>0时，f'(x)=3(x+1)(x-1), 在x∈(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减； 在x∈(1，+∞)上，∫'(x)>0,f代x)单调递增，因此x=1是f(x)的极小值点f(x)图 象如图所示 又f(x)是定义在R上的奇函数，故x=-1是f(x)的极大值点，C选项正确； D选项：f(1)=-1<0,由图可知，f代x)有5个零点，D选项正确. 故选ACD 11.【参考答案】ABD 【命题意图】本题重点考查动点轨迹方程、直线与圆的位置关系等知识，从核心素养角度来看，本题主要考查学 生的数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养， 榆林市高二年级数学-答案-3（共8页） 【试题解析】设C(x,y),由|CA=3|CB|可得， √/(x+4)2+y2=3W/(x-4)2+y2,即(x-5)2+y2=9, 所以C的轨迹2是以(5,0)为圆心，3为半径的圆，记圆2的圆心为S,半径为下 A选项，(S6m)=分1AB1r=x8x3=12,选项A正确； B选项，圆2关于x轴对称，A(-4,0),B(4,0)在x轴上，直线AP与圆2交于P,Q两点，直线BP与圆2交于 P,M两点，由题可知|PA=3|PB|,|MA=3|MB|,即∠PAB=∠MAB,又根据圆的对称性可知，Q,M关于x轴 对称，选项B正确； C选项，当LPW0=号时，∠PS0=,则△PS0为等展三角形，PO1=57=35,选项C错误 D选项，当直线AC与圆n相切时，AC1SC,此时|AS=9,CS=3,此时直线AC的斜率为 ,根据圆的对称性 可如，直线AC斜率的取值范国为[-巨，]，选项D正确。 4”4 故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【命题意图】本题重点考查了基本不等式，考生可以通过基本不等式得出最小值，从核心素养的角度来看，本题 可以很好地考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养. 【参考答案1片 【试题解析】因为a>0,b>0,由基本不等式得，a+2b≥2√a·2b=2√2ab, 因为a+2b=2,所以22a6≤2，b≤分， 当且仅当a=26=1时，攻“=”，所以ab的最大值是分 13.【命题意图】重点考查全概率公式的理解与运用，从核心素养的角度，主要涉及数学建模、逻辑推理与数学运算， 【参考答案1号 【试题解析】设B=“任取一个X光片为次品”，A=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应i=1,2,3),则2= A1UA2UA,且A1,A2,A3两两互斥. 由意可得：P(4,)=高P(4)=品P氏4，)=品， P(B)=10P(B)=15P(B)=20 P=PeM,)P)PB-P4)PB%=高品X站品动-号 4【参考答案吗 【命题意图】重点考查双曲线的定义及余弦定理等知识，从核心素养角度来看，本题主要考查学生的数学抽象、 数学运算和逻辑推理的核心素养， 【试题解析】设双曲线的左焦点为F:,由双曲线的对称性可知四边形MFPF,为平行四边形，所以|MF|= |PF2,MF,∥PN. 榆林市高二年级数学-答案-4（共8页） 设|PF2=m,则|MF2|=3m,所以2a=|MF2-MF,=2m,即a=m, 所以|ME,=a,M,=3a,又LME,N=写，所以LR,M,=牙， 又|FF2|=2c, 在△MfF2中，由余弦定理可得，4c2=a2+9a2-2·a·3acos 即4忙=7正，所以2=子，所以双面线C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【命题意图】重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式.从核心素养的角度来看，考查学生的数学运算 和逻辑推理等核心素养，同时体现了数学中的转化与化归的数学思想 【参考答案】见解析 【试题解析】 (1)在△ABC中，sinB≠0，由正弦定理及asin B=√3 bcos A得，sin Asin B=√3 sin Bcos A.…2分 所以8inA=3c08A,anA=W3,…4分 在△ABC中，A∈(0，T,所以A=T …6分 （2)由正住定里品A品B每血B=受，Be(0,学，所以B=子 …8分 sin A sin B' 所以C=5π 。。。。。。。 121 10分 simc=×6x2m语}x6x2x642.35 S△ABc= …44…*t… 13分 2 122 4 2 16.【命题意图】重点考查线面平行的证明及空间角的计算，从核心素养的角度来看，本题考查学生的直观想象、逻 辑推理和数学运算的核心素养 【参考答案】见解析 【试题解析】(1)解法1：取PD的中点G,连接AG,FG, 因为F为PC的中点，所以FG∥CD且FG=CD,… 2 1分 因为底面ABCD为矩形，E为AB的中点， 所以AE∥CD且AE=CD,…2分 2 故AE∥FG且AE=FG, 所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG,…3分 因为EF￠平面PAD,AGC平面PAD,…5分 所以EF∥平面PAD;… 6分 解法2：取CD的中点H,连接EH,FH,因为F为PC的中点， 所以FH∥PD,又E为AB的中点，所以EH∥AD,因为FH￠平面PAD,PDC平 面PAD, 所以FH∥平面PAD,同理EH∥平面PAD, 因为FHC平面EFH,EHC平面EFH,直线FH∩直线EH=H,所以平面EFH∥平 榆林市高二年级数学-答案-5（共8页） 面PAD 又EFC平面EFH,所以EF∥平面PAD.…6分 (2)解法1：取AD的中点M,BC的中点N,连接PM,MN, 因为△PAD为正三角形，所以PM⊥AD, 因为侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,PMC平面PAD, 所以PML底面ABCD,…7分 又MN⊥AD,以M为坐标原点，MA,MN,MP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间 直角坐标系，又AD=2,故AM=1,PM=√3，AB=4, 故P(0,0,5),B(1,4,0),C(-1,4,0),PB=(1,4,-√3)，BC=(-2,0,0), …8分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), m·PB=0,nx+4y-5z=0, 则{ 即 10分 m.B成=0，(-2x=0. 解得x=0,令z=4,则y=√5，所以m=(0,5,4), 11分 又底面ABCD的法向量为n=(0,0,1), 12分 设侧面PBC与底面ABCD所成角大小为O, 所以lcwm墙4g。 14分 所以侧面PBC与底面ABCD所成角余弦值为4y1四 15分 19 解法2：取AD的中点M,BC的中点N,连接PM,MN,PN, 由题意易得，PB=PC, …7分 因为N是BC的中点，所以PN⊥BC, 又MN⊥BC,所以∠PNWM是二面角P-BC-D的平面角，…9分 因为△PAD为正三角形，所以PM⊥AD,…10分 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,PMC平面PAD, 所以PM⊥底面ABCD,PM⊥MN,…12分 又AD=2,所以PM=5,MN=4,PN=V,cos∠PNM=4=4 1919,… 14分 所以侧面PBC与底面ABCD所成角余弦值为4四 …15分 19 17.【命题意图】重点考查利用导数证明不等式、求解不等式恒成立求参问题，从核心素养的角度来看，本题考查学 生的逻辑推理、数学运算等核心素养。 【参考答案】见解析 【试题解析】 (1)证法1：设g(x)=xnx-x+1,则g'(x)=nx… ……2分 令g(x)=0,解得x=1.当0<<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 5分 榆林市高二年级数学-答案-6（共8页） 因此g(x)≥g(1)=0,故原不等式成立.… …6分 证法2：要证≥-1，即证八x)-1+≥0.… ……1分 设x)=h1+子，则g()=号，令g()=0,解得x=1 …3分 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增. ................. 5分 因此g(x)≥g(1)=0,故原不等式成立。…6分 (2)解法1：因为x)≤ar?在(0，+m)上恒成立，所以2+1≤a在(0，+0)上恒成立 2x …8分 设到-2出eo0).则g=1器兰令g=0,舞得=6 10分 2x 当0<x<E时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>E时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 13分 图此a≥g()m=g(o)=号a的最小值为号 15分 解法2：设g)=lh-ar+,则g()≤0在(0，+m)上恒成立，g(x)=a …8分 若a≤0,8(1)=-a+分>0与已知矛盾，含去 …10分 若>0，令g(x)=0,解得x=当0<x<时，g(x)>0,g(x)单调递增；… 12分 当n时，8()<0,8()单得递减8(m8(日）=-ha≤0，解得a≥8 14分 所以a的最小值为但 …15分 18.【命题意图】重点考查学生概率统计、二项分布的这一重要基础知识的理解与运用能力，从核心素养角度，考查 学生数学建模能力，要求从套圈比赛情境抽象概率模型，通过逻辑推理分析推导概率分布，借助数学运算进行 概率及期望计算，利用数据分析解读统计结果 【参考答案】见解析 【试题解折11)设“甲至多合中1次”为事件C,则P(C)=C心（子）P+G·号·（号）P=分 27 故甲至多命中1次的概率为 27 …2分 (2)由题意知，X=0,2,3,5:Y=0,2,3,5. …3分 P(X=0)=(号P-号PX=2)=X=3)兮×号-号P(X=5)=(兮P-g 6分 P(Y=0)=[1-(1-p)][1-(1-2p)]=2p2,… …7分 P(Y=2)=(1-p)[1-(1-2p）]=2p-2p2,… 8分 P(Y=3)=[1-(1-p)](1-2p)=p-2p2,… 9分 P(Y=5)=(1-p)(1-2p)=2p2-3p+1,… .4...0.......... 10分 所以X的分布列为 榆林市高二年级数学-答案-7（共8页） X 0 2 3 5 9 号 Y的分布列为 0 2 3 5 P 2p2 2p-2p2 p-2p2 2p2-3p+1 所以E(x0=0x号+2x号+3号+5xg亭 atT.. 13分 E(Y)=0×2p2+2×(2p-2p2)+3×(p-2p2)+5×(2p2-3p+1)=5-8p. 14分 (3)因为E(X)>E(Y), 所以号>5-8即，即p> 5 15分 所以p的取值克围是(？，2…17分 17分 19.【参考答案】见解析 【命题意图】重点考查直线与椭圆的位置关系，以及将几何中的线段长度问题转化为数列问题的思维，从核心素 养的角度来看，本题主要考查学生的数学运算、数学抽象和数学建模等核心素养和关键能力： 【试题解折()）因为e2名-号，所以d2=26,…………2 、此时，椭国E的方程为式+1，因为椭国E过点2,2)，所以+是1，解得8=4，…4分 所以箱图E的方程为后片1 …5分 (2)①当直线(，山中一条直线的斜率不存在，另外一条直线的斜率为0时，直线MN与x轴重合，不符合题意， 故直线l1,山2的斜率均存在且不为0.…7分 设直线的方程为y=k(x-Pn)(k≠0)，A(x1,y),B(2,y2),M(xuyw),N(xwyw),…8分 y=k(x-P.), 联立 乐话1可得：2+0-42p2沙=0周0…9分 4K Pn 2kp2-262 2k2p. 且场21西6 -kpn 2P+1,则w2R42P1 *t*+tt+4**9tt, 11分 同理品小品 12分 因为M,N,Q三点共线，Q∥M示，即y(xw-xw)=(ywy)(xw-),则 …13分 .=-2 =号，因为A,所以= 3 4…44…44…小0……04+0…40小0404440404…04044 15分 YN-YM ②由①可知，a=P0=,1写则=3，所以5=(3-1). …17分 榆林市高二年级数学-答案-8（共8页）