河南省南阳市2024-2025学年高一下学期期终质量评估数学试题

2025年春期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. A B. C. D. 2．若角α的终边经过点(-3,-1)，则sin2α= A. B. C. D. 3．函数f(x)=sinx+cosx-1在[0,2π]上的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 4．（教材P227改编）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是 A.将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B.将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C.将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D.将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 5．（教材 A. B. C. D. 6．（教材P237改编）如图，,α∥β,A,C∈α,B,D∈β,AC与BD为异面直线，AC=6,BD=8,AB=CD=10,AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是 A.60° B.90° C．45°或60° D．60°或90° 高一数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．（教材P111改编）已知向量a=(2,1),b=(1,2)，则|a+λb|的最小值为 A. B. C. D. 8．已知锐角x满足sin3x-sinx＞0，则x的取值范围为 A.、 B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9．（教材P265）在下列正方体中，点O为底面的中心，点P为所在棱的中点，点M，N为正方体的顶点，下列满足MN⊥OP的图形有 A B C D 10．已知，则下列式子正确的是 A. B. D. 11．若四面体的各棱长为2或4，且该四面体不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为 A.18π B.20π C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个边长为4cm的正方形，则原平面图形的面积为 c㎡. D 13．（教材P131）圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4，则四边形ABCD的面积为 14．设f(x)=cosx(sinx-2cosx)，已知，则 高一数学 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分） （教材P180）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围. （1）在虚轴上； （2）在第三象限． 16．（本小题满分15分） 已知函数的最小正周期为π，且 （1）求f(x)的单调递减区间； （2）求f(x)在上的值域. 17．（本小题满分15分） 如图，直线PA垂直于ΘO所在的平面，ΔABC内接于ΘO，且AB为ΘO的直径，点M 为线段PB的中点. （1）求证：BC⊥PC; （2）若AC=AO=OM=1，求二面角M-AC-B的平面角的正切值. 高一数学 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18．（本小题满分17分） 已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,sin(A-B)tanC=sinAsinB. （1）求的值； （2）若，求sinA. 19．（本小题满分17分） 如图，在正三棱柱中，M为棱AC的中点. （1）求证：C//平面 （2）若满足 ①求证：平面平面A1BM; ②是否存在实数λ，使得三棱锥BM的体积为？若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由. 高一数学 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期高中一年级期终质量评估数学试题 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D A B C B 1．【解析】，故选B. 2．【解析】由，得sin，故选A. 3．【解析】由，解得.故选C. 4．【解析】因为两条相交直线可以确定一个平面，故选D． 5. 解析] .故选A. 6．【解析】过点A作CD的平行线交平面β于E点，连接DE，BE. ∵α∥β,,AE//CD，平面ACDE∩α=AC，平面ACDE∩β=DE ∴AC//DE,∴：.四边形ACDE为平行四边形， ∴CD=AE=10,DE=AC=6，又AB与CD成60°的角， 故或 当时，由AB=10=AE, ：.ΔABE为等边三角形，故BE=10. 当时， 又：BE<DE+BD=6+8=14，不合题意； 综上， BE=10，在ΔBDE中， ∵ 所以异面直线AC与BD的夹角为90°．故选B． 7．【解析】 .当时， 有最小值，故选C. 高一数学参考答案 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 8．【解析】方法一： 由于x为锐角，易知sinx>0，只需cos2x>0，解得.故选B. 方法二：sin3x-sinx=sin(2x+x)-sin(2x-x)=sin2xcosx+cos2xsinx-sin2xcosx +cos2xsinx=2cos2xsinx>0, 由于x为锐角，易知sinx>0，只需cos2x>0，解得.故选B. 方法三：sin3x-sinx=sin(2x+x)-sinx=sin2xcosx+cos2xsinx-sinx 由sinx>0 只需，解得，所以.故选B. 方法四：若取，可排除A，C，D，故选B. 二、选择题 题号 9 10 11 答案 BC ABC ACD 9．【解析】对于A选项，如图（1），由正方体性质得MN／／M＇N＇，显然M＇N＇与OP不垂直， 所以MN与OP不垂直；对于B选项，如图（2），设M＇，N＇为所在棱中点，则由中位线性质得，不妨设正方体边长为1，则,即，因为，所 以，所以OPLMN；对于C选项，如图（3），令M，N＇为所在棱中点，设正方体边长为1，则,图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 高一数学参考答案 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 由，所以，所以OP⊥MN；对于D选项，如图（4），方法同上，由于，易得，则MN＇与OP不垂直，所以MN与OP不垂直.综上选BC. 10．【解析】由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαin 得,cosαsin，于是 ，综上知ABC正确，故选ABC. 11．【解析】由题设外接球半径为R．情形1：一条边为2，其余边为4时，如图1，不妨设AD=2 BC中点为E，AD中点为F，连接AE，DE，设G，H分别为两个等边三角形的重心，则如图所示的O即为外接球球心，易知 所以： ，从而得图1 ，故 情形2：当有两条边为2时，只能是对边为2，如图2，不妨设AD=BC=2，将该四面体置于长方体模型中，设长宽高分别为 a，b，c，则，可得： 图2 高一数学参考答案 第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 易知 ，故 情形3：当有三条边为2时，只能是底面三条边为2，如图3所示，设底面等边三角形中心为G，则外接球球心O必然落在OG 上，易知，则，在RtΔCOG中， ，解得 图3 故.除了这三种情形外，其他情况不满足.综上，故选ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【解析】由题知该直观图面积为16，则原平面图形的面积为： 13．【解析】如图所示，连接BD，则四边形ABCD的面积为，因为，所以sinA=sinC，所以在ΔABD中，由余弦定理得： 在ΔBCD中，由余弦定理得： 所以20-16cosA=52-48cosC，因为cosC=-cosA，可得64cosA=-32,所以，又，所以，所以 14．【解析】法一：（其中sin,CO，当时，有 高一数学参考答案 第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 ，即，所以 于是 法二： 设向量，则，故当同向时 取到最大值，此时： sin 所以 四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．【解析】 （1）因为复数i和复平面内的点Z对应，因为点Z在虚轴上，则满足m-1=0，解得m=1.(6分) （2）因为复数i和复平面内的点Z对应， 因为点Z在第三象限，则满足，解得-1<m<1..(13分) 16．【解析】 （1）由题意得 (4分)由f(x)的最小正周期为π，得，（5分） 高一数学参考答案 ·第5页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 由，（6分） 故；（7分） 令，则,k∈Z，（9分） 故f(x)的单调递减区间为： ．（10分） （2）由（1）知当时，，（12分） 易知当时， f(x)单调递增，当时，f(x)单调递减， 数形结合可得知， f(x)在上的值域为.(15分) 17．【解析】 (1)∵PA⊥面ABC,BC⊂面ABC,∴PA⊥BC，（2分）又BC⊥AC,PA∩AC=A∴BC⊥面PAC, （4分）而PC⊂面PAC,∴BC⊥PC.(6分) （2）由题：PA垂直于圆O所在的平面，所以MOL平面ABC，（7分）过O作OH⊥AC于H，连接MH，易知MHAC，（8分）从而可得∠MHO即为二面角M-AC-B的平面角，（10分）由AC=AO=OM=1，易知在RtΔABC中， ，（12分） 从而在RtΔMOH中， .(15分) 18．【解析】 （1）因为ssin(A-B)tanC=sinAsinB，所以 所以sin（A-B）sinC=sinAsinBcosC，（2分） 即sin Acos Bsin C-cos Asin B sinC=sinAsin BcosC，（3分） 由正弦定理可得accosB-bccosA=abcosC，（4分） 由余弦定理可得，（5分） 所以，即，（7分） 高一数学参考答案 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 所以 （2）由题意可知，又，可得，（10分） 所以a=c，即ΔABC为等腰三角形，（12分） 由cos，解得或，（14分） 因为，所以，所以，（15分） 所以.(17分) 19．【解析】 （1）连接AB1与，两线交于点O，连接OM，在中，M，O分别为AC,的中点，所以平面所以平面ABM．（4分） （2）①因为AA1底面ABC，BM平面ABC，所以AA1BM．（5分） 又M为棱AC的中点， AB=BC，所以BM⊥AC. 因为 ，所以BM平面，（6分） 又面，所以 因为AC=2，所以AM=1.又，则在和RtΔAAM中， tan，所以，（9分） 即，所以，（10分） 又, 所以平面 所以：平面平面．（12分） ②存在实数，使得三棱锥的体积为，（13分） 理由如下： 由题易知：平面BMN， 故点到平面BMN的距离可化为点A到平面BMN的距离，（14分） 所以： 解得： 高一数学参考答案 第8页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$