精品解析：安徽省阜阳市界首中学2024-2025学年高一下学期期末学业水平质量检测数学·A卷

2024—2025学年（下）高一年级学业水平质量检测 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列条件能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 5. 海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史.图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球被一个平面截得的一部分，若是截面圆的直径，，圆的面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为（ ） A B. C. D. 8. 的内角的对边分别为，且，，则（ ） A B. 外接圆半径为 C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，其中，则该组数据的（ ） A. 极差为3 B. 平均数小于1 C. 中位数大于 D. 分位数为2 10. 设函数，，下列关于和的性质，正确的是（ ） A. 对任意的，， B. 对任意的，且， C. 函数是定义域为的奇函数 D. 函数在定义域上是增函数 11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部为______. 13. 如图，甲､乙两同学在假期旅游期间测量了法国埃菲尔铁塔的高度（为塔顶，为在地面上的射影），甲在地面上的点处测得点的仰角为，乙在点处测得点的仰角为米，且点在一条直线上，若甲､乙两同学的身高忽略不计，则塔高__________米. 14. 已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为______，球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知向量. （1）若，求； （2）若与共线，求的值. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及最值； （2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 17. 已知函数，的最小值为. （1）求的值； （2）求的解集； （3）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面，且分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为等边三角形，，判断几何体是什么几何体，并求其体积. 19. 函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记. （1）设方程的两个不同实数解为与，且，求的值； （2）请确认是否存在函数：，满足对，都有： ①；②同时成立. （3）求证：对，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年（下）高一年级学业水平质量检测 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解. 【详解】因为向量，，与共线， 所以，解得， 故选：D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的范围及，利用同角三角函数间的基本关系求出，再用诱导公式得出即可求值． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 4. 已知m，n为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列条件能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可判断A；根据平面与平面关系的判定可判断BCD. 【详解】对A，若，，则，故A正确； 对B，若，，则与平行或相交，故B错误； 对C，若，，，则与平行或相交，故C错误； 对D，若，，，，则与平行或相交，故D错误. 故选：A. 5. 海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年文化史.图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球被一个平面截得的一部分，若是截面圆的直径，，圆的面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆的半径，进而求出球半径即可得解. 【详解】由圆的面积为，得圆的半径， 又等腰的顶角，则球半径（）， 所以球的体积（） 故选：C 6. 若函数，（，）图象相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求出，再根据为最大值求出. 【详解】因为图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，即， 又，所以，解得， 所以，又恒成立，所以， 解得，又，所以. 故选：B 7. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式，结合正四棱锥的性质、勾股定理、球的体积公式进行求解即可. 【详解】设在底面的射影为，则为该正棱锥的高， 因为正四棱锥的体积为，底面边长为， 所以有， 因为在该正四棱锥中，底面是正方形， 所以， 因此由勾股定理可得， 所以为半径的球的体积为， 故选：D 8. 的内角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据，其中，则该组数据的（ ） A. 极差为3 B. 平均数小于1 C. 中位数大于 D. 分位数为2 【答案】AD 【解析】 【分析】利用极差，平均数，中位数，百分位数的求解方法结合依次求解出来，即可判断． 【详解】解：， 极差：，故A正确，符合题意； ， ，故平均数大于1，故B错误，不符合题意； 将从小到大排列好的：， 中位数为：，故C错误，不符合题意； ，故分位数，故D正确，符合题意； 故选：AD． 10. 设函数，，下列关于和的性质，正确的是（ ） A. 对任意的，， B. 对任意的，且， C. 函数是定义域为的奇函数 D. 函数在定义域上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对数的运算性质分析A，由基本不等式分析B，由函数奇偶性的判断方法分析C，由复合函数单调性的判断方法分析D． 【详解】对于A：对任意的，，，故A正确； 对于B：对任意的，且，，， 由基本不等式，由于，且，， 即，故B错误； 对于C，，必有，解可得，即函数的定义域为， 又由，即函数是定义域为的奇函数，故C正确； 对于D，，设，易得在区间上为减函数， 而在其定义域上为增函数，故函数在定义域上是减函数，故D错误． 故选：AC． 11. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项. 【详解】由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以不存在，使，即，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，C选项错误； D选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部为______. 【答案】-1 【解析】 【分析】计算出模长，并利用复数除法法则得到，求出虚部. 【详解】， 故虚部为-1. 故答案为：-1 13. 如图，甲､乙两同学在假期旅游期间测量了法国埃菲尔铁塔的高度（为塔顶，为在地面上的射影），甲在地面上的点处测得点的仰角为，乙在点处测得点的仰角为米，且点在一条直线上，若甲､乙两同学的身高忽略不计，则塔高__________米. 【答案】330 【解析】 【分析】由题意可知，然后在中利用锐角三角函数的定义可求得结果. 【详解】由题意得, 所以， 所以，所以， 在中，， 所以（米）. 故答案为：330 14. 已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为______，球的表面积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知条件结合正弦定理得出三角形外接圆半径为，再利用勾股定理求出球半径，即可求解． 【详解】平面，平面，所以， 又与底面所成的角为，即， ，，， 又因为， 取的中点，连接，因为，所以， 所以，即，解得， 所以， 所以，所以， 设三角形外接圆半径为，则，解得， 所以所在平面与球的交线长即为外接圆周长，即， 设球到平面的距离为，则有，解得， 从而球半径为， 所以球的表面积为． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可求； （2）根据向量共线的坐标表示求得. 【小问1详解】 因为，则， 又因为，则，解得， 则，所以. 小问2详解】 由题意可得：， 因为∥，则，解得. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及最值； （2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1），最大值为，最小值为 （2）偶函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，再利用周期公式和三角函数性质求最值得到答案. （2）代入计算得到，再根据奇偶函数的定义判断奇偶性. 【小问1详解】 ， 故， 当，即时，函数有最大值为； 当，即时，函数有最小值为. 【小问2详解】 ， ，函数为偶函数. 17. 已知函数，的最小值为. （1）求的值； （2）求的解集； （3）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）化简，求出最小值，建立关于的方程，解方程得解； （2）解三角函数方程可得或，最后写成集合形式得解； （3）求周长范围转化为求的范围，然后利用正弦定理边化角，利用三角函数知识即可求得取值范围. 【小问1详解】 因为的最小值为，所以当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则，即， 所以或，解得或，， 的解集为：或. 【小问3详解】 因为在锐角中，，，， 所以，即 所以，所以， 设的外接圆半径为R，则有 所以 所以 又 所以，所以， 所以周长的取值范围为 18. 如图，在四棱锥中，平面，且分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为等边三角形，，判断几何体是什么几何体，并求其体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）几何体是棱台，其体积为 【解析】 【分析】（1）只需通过证明四边形是平行四边形，得出，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需通过线面平行、面面平行的判定定理证明平面平面，即可得出几何体是棱台，只需算出两个底面边长的相似比，以及其中一个底面的面积即可得出两个底面的面积，再计算出棱台的高即可求解. 【小问1详解】 如图，连接， 因为分别为的中点， 所以， 又因为， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为分别是棱的中点. 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面，平面， 所以平面平面， 所以几何体是棱台， 过点作于点， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 由以上分析可知四边形与四边形相似，且相似比， 而为等边三角形，， 设棱台的高、体积分别为，棱台的下底面、上底面的面积分别为， 所以，棱台的下底面是分别以为底，以为高的直角梯形， 所以， 所以， 即棱台的体积为. 19. 函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记. （1）设方程的两个不同实数解为与，且，求的值； （2）请确认是否存在函数：，满足对，都有： ①；②同时成立. （3）求证：对，，. 【答案】（1） （2）不存在 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先判断，再分、分别求出方程的解，即可得解； （2）依题意可得，从而得到，再令推出矛盾，即可得解； （3）令，推导出，再说明当时，即可得证. 【小问1详解】 因，所以，所以， 由，则，所以， 当时，，， 由，即，解得， 当时，，， 由，即，解得， 因为，所以； 【小问2详解】 不成立，理由如下： 在②中，用代换并结合①可得， 所以， 再令②中可得，又左边，右边，不成立， 所以不存在满足条件的函数； 【小问3详解】 令， 则 ， 所以为的一个周期， 当时，所以， 所以， 由周期性可知，对，，， 因此对，，. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解高斯函数的定义，从而推导出，第三问关键是构造函数，推导出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$