精品解析：江西省九江市部分学校2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷

2024-2025学年度下学期第二次阶段性学情评估 八年级数学 一、选择题．（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 2. 在代数式，，，，中属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】判断分式的依据是：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】∵判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式， ∴所以是分式的是：，共有2个， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解决本题的关键． 3. 下列不等式的变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可． 【详解】解：A、若，则，故原变形错误，故此选项不符合题意； B、若，且，则，故原变形错误，故此选项不符合题意； C、若，当时，则，故原变形错误，故此选项不符合题意； D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，中，的垂直平分线交于D，如果，，那么的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质； 根据线段垂直平分线的性质得到，然后求出的周长为即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：D． 5. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A. a（x+y）=ax+ay B. x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】A、是多项式乘法，故选项错误； B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误； C、提公因式法，故选项正确； D、右边不是积的形式，故选项错误． 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，作于N． ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点G是上的动点， ∴， ∴，即 ∴EF的最大值为，最小值为， ∴EF的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明． 二、填空题．（每小题3分，共18分） 7. 要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， 可得， 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，确定方程的增根；按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，根据分母为零确定出增根，并把增根代入整式方程中即可求得m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得； 当时，，即方程的增根为3， 把代入中，得：， ∴， 故答案：7． 9. 一个多边形的内角和与外角和的比是，它的边数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个多边形的边数是n，先求出多边形的内角和，再根据内角和公式得出关于n的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：一个多边形的内角和与外角和的比是， 这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即边数为10， 故答案为： 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于，边数为n的多边形的内角和公式为 10. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键． 11. 如图，点P为三边垂直平分线的交点，若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据中垂线的性质，等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 12. 正方形的边长为3，点P、Q在正方形不同的边上与点A构成等腰三角形，若等腰的底边长为，则等腰的腰长是______． 【答案】2或或 【解析】 【分析】分三种情况进行讨论，当P、Q分别在、上，，当P、Q分别在、上，，当，点P在上，点Q在上，分别画出图形，根据正方形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当P、Q分别在、上，，为等腰直角三角形，如图所示： ∵， ∴； 当P、Q分别在、上，，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴此时腰长为； 当，点P在上，点Q在上，过点P作于点M，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 综上分析可知：等腰的腰长是2或或． 故答案为：2或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分．） 13. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法； （1）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可. 【详解】解：（1）， 解不等式①得，， 解得， 解不等式②得，， 解得， ∴不等式组的解集为； （2）， 方程两边同乘，得， ∴， 移项， 合并同类项，系数化为1， 得， 经检验，是原方程的解. 14. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可； 乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 15. 如图，在中，平分于点E，点F在上，．求证：． 【答案】 证明：∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明和全等，从而可以证明结论成立． 【详解】略 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上． （1）在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形． （2）在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形． 【答案】（1） 解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积； （2） 解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积． 【解析】 【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可； （2）根据要求，画出平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 17. 如图，将绕点A逆时针旋转60°得到，点E落在BC边上，EF与AC交于点G． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转可知：，， ∴是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理证明； （2）根据旋转性质，等边三角形的性质，以及结合三角形的外角定理计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是等边三角形．， ∴， 由旋转可知： ∴ ∵是的外角， ∴． 【点睛】本题考查旋转性质和等边三角形的判定和性质，充分利用旋转性质是求解本题的关键． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：AB＝AF； （2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数． 【答案】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD//AB， ∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°， ∵E为AD的中点， ∴DE＝AE． 在△DEC和△AEF中， ， ∴△DEC≌△AEF（AAS）， ∴DC＝AF． ∴AB＝AF． （2）∠ABE＝40°． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E为AD的中点，易证得△DEC≌△AEF（AAS），继而可证得DC＝AF，又由DC＝AB，证得结论； （2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，然后由∠BCD＝100°求得BE平分∠CBF，继而求得答案． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC， ∵∠BCD＝100°， ∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°， ∵BC＝2AB， ∴BF＝BC， ∴BE平分∠CBF， ∴∠ABE＝∠FBC＝×80°＝40°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，证得△DEC≌△AEF和△BCF是等腰三角形是关键． 19. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件要售多少元？ 【答案】（1）第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件 （2）元件 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次方程的应用； （1）设第一次购进这种衬衫x件，则第二次购进这种衬衫件，根据进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元，列出分式方程，进行求解即可； （2）设第二次衬衫每件要售��元，根据老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件； 【小问2详解】 设第二批衬衫的售价是元件， 根据题意得：＋， 解得：， 20. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足 （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，求整数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 【小问1详解】 解：， ①-②，得， ， ， 解得； 【小问2详解】 不等式的解集为， ∴的解集为 ， 解得：， 又， 的取值范围为， 整数k的值为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动．设运动时间为秒． （1）求两点的坐标； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时两点的坐标． （3）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1） （2）当时，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为； （3）当或 时, 是以为腰的等腰三角形； 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解. （1）根据非负数的性质得出的值进而得出答案； （2）由题意得: ， ，根据平行四边形的判定可得，再解方程即可； （3）①当时, ，解方程得到的值；②当时， 由题意得：，进而得到方程：，再解方程即可. 【小问1详解】 解：， ，， ∴， ∵,，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 由题意得: ， 则:，， ∵， ∴当时, 四边形是平行四边形， ∴， 解得: ， 故当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， ①当时，如图， 过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴中： ， ∵， ，即 ， 解得：， ②当时，过作轴于， ∴， 由题意得:， 则， 解得：， ， 综上所述，当或 时， 是以为腰的等腰三角形. 22. 【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1）25；（2）；（3）4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； 【详解】解：（1）∵代数式是完全平方式， ， ， ， （2） ， （3） ， ， ， 的最小值为4； 23. 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系． 【问题初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且． （1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______． （2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____． （3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____． 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度． 【答案】（1）90°； （2）60°； （3）直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 理由：延长，交于点 ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴直线与直线所夹的锐角与旋转角互补； 形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补； （4）. 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，可以通过旋转性质得到AB=CD，OA=OC，BO=DO，证明△AOB≌△COD，进而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90° （2）通过作辅助线如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60° （3）通过作辅助线如图3，直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 延长，交于点通过证明得，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得； 形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补； （4）通过作辅助线如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，可得，进一步得到△BDF是等边三角形，，再利用勾股定理求得. 【详解】（1）解：（1）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E， ∵α=90° ∴∠BOD=90° ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠B=∠D ∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF ∴∠BFE=∠EOD=90° 故答案为90° （2）如图2，延长DC交AB于F，交BO于E， ∵α=60° ∴∠BOD=60° ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠B=∠D ∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF ∴∠BFE=∠EOD=60° 故答案为60° （3）略 （4）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点， ∴旋转角为， ∴，，， ∴△BDF是等边三角形， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期第二次阶段性学情评估 八年级数学 一、选择题．（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的（　　） A. B. C. D. 2. 在代数式，，，，中属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列不等式的变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，中，的垂直平分线交于D，如果，，那么的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A. a（x+y）=ax+ay B. x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 6. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题．（每小题3分，共18分） 7. 要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为__________． 9. 一个多边形的内角和与外角和的比是，它的边数是______． 10. 因式分解：_________． 11. 如图，点P为三边垂直平分线的交点，若，，则的度数为______． 12. 正方形的边长为3，点P、Q在正方形不同的边上与点A构成等腰三角形，若等腰的底边长为，则等腰的腰长是______． 三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分．） 13. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 14. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 15. 如图，在中，平分于点E，点F在上，．求证：． 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上． （1）在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形． （2）在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形． 17. 如图，将绕点A逆时针旋转60°得到，点E落在BC边上，EF与AC交于点G． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的度数． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：AB＝AF； （2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数． 19. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件要售多少元？ 20. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足 （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，求整数k的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点分别从点同时出发，当点运动到点时停止运动，点随之停止运动．设运动时间为秒． （1）求两点的坐标； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？请求出此时两点的坐标． （3）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 22. 【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． 23. 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系． 【问题初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且． （1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______． （2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____． （3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____． 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $