精品解析：　海南省 万宁市北京师范大学万宁附属中学2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷试卷 满分：120分 考试时间：100分钟 一、单选题 1. 下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在△中，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 现有两根长度分别2和5的木棒．若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（） A. 3 B. 4 C. 7 D. 9 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外角，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 一个正多边形的一个内角是其外角的3倍，则正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 12 8. 在下列各组条件中，不能说明的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 10. 为常数，展开式中项的系数与常数项都等于10，则的值等于（ ） A. 6 B. 6 C. 8 D. 8 11. 如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知：如图在，中，，，，点、、点在同一条直线上，连接以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 13. 已知的三边长为，，，的三边长为，，．若与全等，则的值为_______． 14. 若，，则_____． 15. 在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（0，2），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为_____． 16. 如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为______． 三、解答题 17. （1）计算： ① ② （2）先化简再求值：，其中． 18. 如图，在和中，与相交于点O，，． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 19. 乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　 　； （2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张， C号卡片　 　张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值． 20. 在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． （1）求证：； （2）若的周长比的周长大8，试求出的长度． 21. 已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点作于，若，求证：． 22. 【问题】如图①，点D是∠ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若∠A与∠C互补，则线段AD与CD有什么数量关系？ 【探究】 探究一：如图②，若∠A＝90°，则∠C＝180°﹣∠A＝90°，即AD⊥AB，CD⊥BC，又因为BD平分∠ABC，所以AD＝CD，理由是：　 　． 探究二：若∠A≠90°，请借助图①，探究AD与CD的数量关系并说明理由． [理论]点D是∠ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若∠A与∠C互补，则线段AD与CD的数量关系是　 　． [拓展]已知：如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC． 求证：BC＝AD+BD 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷试卷 满分：120分 考试时间：100分钟 一、单选题 1. 下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形．某个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断各项即可． 【详解】A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 在△中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，三个内角的和为．根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】在△中，若，， ∴． 故选：C． 3. 现有两根长度分别2和5的木棒．若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（） A. 3 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，第三边长大于，小于，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，第三边长大于，小于， ∴应选取的第三根木棒长为4， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系．解题的关键在于熟练掌握：三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，单项式与单项式的乘法，幂的乘方逐项分析即可． 【详解】解：A．a与不是同类项，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．与不是同类项，不能合并，故不正确； D．，正确； 故选D． 5. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平方差公式为，需满足两数和与两数差的乘积形式． 【详解】选项A：可变形为，属于完全平方的相反数，不符合平方差公式． 选项B：可变形为，同样为完全平方的相反数，不符合平方差公式． 选项C：即，属于完全平方公式，不符合平方差公式． 选项D：可整理为，符合的形式，其中，，应用平方差公式得．因此选项D正确． 故选：D． 6. 如图，是的外角，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出最终结果． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， 故选：B； 7. 一个正多边形的一个内角是其外角的3倍，则正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．掌握多边形外角与相邻的内角互补是解题的关键． 首先设正多边形的一个外角等于x，根据多边形外角与相邻的内角互补列方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：设正多边形的一个外角等于x． 根据题意得：， 解得：， ∴这个正多边形的边数是：． 故选A． 8. 在下列各组条件中，不能说明的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A. ，，，可以利用定理证明，故不符合题意； B. ，，，可以利用定理证明，故不符合题意； C. ，，，不能证明，故符合题意； D. ，，，可以利用定理证明，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 9. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了有理数的乘法、积的乘方，熟练利用积的乘方逆运算是解题的关键是． 先把写成，然后利用积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 10. 为常数，展开式中项的系数与常数项都等于10，则的值等于（ ） A. 6 B. 6 C. 8 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据条件得出方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵展开式中项的系数与常数项相等，都等于， ∴，， 解得：，． 故选：D． 11. 如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】沿长与交于点D，利用等腰三角形的三线合一快速得到点P是线段中点，利用中线平分面积的性质解题即可． 【详解】解：沿长与交于点D， ∵平分，， ∴点P是线段中点， ∴，， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及中线的性质，能够熟练的构造等腰三角形是解题关键． 12. 已知：如图在，中，，，，点、、点在同一条直线上，连接以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，①利用得出，由全等三角形的对应边相等得到；②由得到，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于；③由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到；④先根据角的大小比较方法判断与的大小，从而可判断与的大小． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故②正确； ③∵为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴，故③正确； ④∵，， ∴，故④不正确； 综上所述，其中结论正确的个数有3个． 故选：B． 二、填空题 13. 已知的三边长为，，，的三边长为，，．若与全等，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】∵与全等， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，代入求值，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 14. 若，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算法则，准确的计算是解决本题的关键． 逆用幂的运算法则，将表示为，进而得出，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（0，2），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为_____． 【答案】（﹣1，0）或（﹣1，2）或（1，2） 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质作出图形，结合图形可得答案． 【详解】如图所示， 点C的坐标为（﹣1，0）或（﹣1，2）或（1，2）， 故答案为（﹣1，0）或（﹣1，2）或（1，2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C的位置分情况讨论． 16. 如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称和垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 在上取一点，使得，由，推出，推出，推出当，且、、共线时，的值最小，利用面积法求出即可． 【详解】解：在上取一点，使得， ， ， ， ， ∴当，且、、共线时，的值最小， ∵平分， ， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 17. （1）计算： ① ② （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）①；②；（2），2 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式的乘法、多项式除以单项式以及乘法公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； ②根据多项式除以单项式的法则求解即可； （2）先计算多项式的乘法、同时根据完全平方公式和平方差公式展开，再计算整式的加减即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2） ， 当时， 原式． 18. 如图，在和中，与相交于点O，，． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：在和中，， ∴； （2） 证明：∵， ∴，即， ∴，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）利用可直接证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据等角对等边可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 19. 乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．　 　； （2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张， C号卡片　 　张． （3）根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值． 【答案】（1）（a+b）2=a2+b2+2ab；（2）3；（3）7 【解析】 【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab三者的关系；（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）由（1）的等量关系，代入求值即可． 【详解】解：（1）大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，或表示为：a2+b2+2ab； 因此有（a+b）2=a2+b2+2ab， 故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab； （2）∵（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2， ∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， 故答案为：3； （3）∵（a+b）2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=11， ∴25=11+2ab， ∴ab=7， 答：ab的值为7． 【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键． 20. 在中，、的平分线相交于点，过点作分别交、于、． （1）求证：； （2）若的周长比的周长大8，试求出的长度． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边． （1）先根据角平分线的定义得到，根据两直线平行内错角相等得到，即可得到，根据等角对等边证明即可； （2）同（1）证明，可知的周长，根据“的周长比的周长大8”计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的周长， ∵的周长比的周长大8， ∴． 21. 已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点作于，若，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：由（1）得：， ，，， ， ∴， ， ∴， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出； 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ， ， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 略 22. 【问题】如图①，点D是∠ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若∠A与∠C互补，则线段AD与CD有什么数量关系？ 【探究】 探究一：如图②，若∠A＝90°，则∠C＝180°﹣∠A＝90°，即AD⊥AB，CD⊥BC，又因为BD平分∠ABC，所以AD＝CD，理由是：　 　． 探究二：若∠A≠90°，请借助图①，探究AD与CD的数量关系并说明理由． [理论]点D是∠ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若∠A与∠C互补，则线段AD与CD的数量关系是　 　． [拓展]已知：如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC． 求证：BC＝AD+BD 【答案】【探究】探究一：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 探究二： AD=CD， 理由：作DF⊥BC于F，作DE⊥AB交BA的延长线于E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠DAE＝180°，∠BAD+∠C＝180°， ∴∠DAE＝∠C， 在△DAE和△DCF中， ， ∴△DAE≌△DCF（AAS） ∴AD＝CD， 故答案为：AD＝CD； 【理论】AD＝CD； 【拓展】证明：在BC上取一点E，使BE＝BD， ∴∠BDE=∠BED， ∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠ABC=20°， ∴∠BDE=∠BED=（180°-∠EBD）=80°， ∴∠BED+∠A=180°， ∴由前面的结论，DE=AD， 又∵∠CDE=∠BED-∠C=40°=∠C， ∴CE=DE=AD， ∴BC=BE+EC=AD+BD， 即BC＝AD+BD． 【解析】 【分析】探究一：根据角平分线的性质定理解答； 探究二：作DF⊥BC于F，作DE⊥AB交BA的延长线于E，证明△DAE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； [理论]根据探究结果得到答案； [拓展]在BC上取一点E，使BE＝BD，利用等腰三角形的性质，结合前面的结论得到DE=AD，通过证明得出CE=DE=AD即可证明结论． 【详解】解：探究一：∵BD平分∠ABC，AD⊥AB，CD⊥BC， ∴AD＝CD， 理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等， 故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 探究二：略 [理论]综上所述，点D是∠ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若∠A与∠C互补，则线段AD与CD的数量关系是AD＝CD， 故答案为：AD＝CD； [拓展]略 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，类比探究题型，掌握角平分线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $