精品解析：宁夏吴忠市吴忠中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

吴忠中学 2024—2025 学年第二学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的实部和虚部的概念可得，结合交集的计算可得结果. 【详解】由题意，，，则. 故选：C. 2. 已知三点共线，则（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】由可得， 因为，所以， 故选：D. 3. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 4. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式可求. 【详解】圆锥母线， 则圆锥的表面积， 故选：D. 5. 先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量，，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据向量数量积公式得到关于m，n的不等式，然后找出所有可能的基本事件，再确定满足不等式的基本事件个数，最后根据古典概型概率公式计算概率。 【详解】因为，，所以， 因为，所以，由题意可知基本事件总数为， 当时，，共四种情况； 当时，，共两种情况。 所以满足的基本事件个数为， 因此，“”的概率. 故选：A. 6. 已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下面四个命题错误的有（ ） A. 若，，则； B. 若，，，，则； C. 若，，则； D. ，，则. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面垂直的性质判断A、D；根据平面的基本性质，结合空间想象判断B、C. 【详解】A：由，，根据面面平行的性质知，故A正确； B：若，，，， 若或与相交，则相交或异面，显然与矛盾， 故都不与相交，即，，此时有，故B正确； C：若，，则可能平行或异面，故C错误； D：由，，根据线面垂直的性质知，故D正确. 故选：C. 7. 在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：利用坐标法可得异面直线夹角余弦值；法二：根据异面直线夹角的定义可得角. 【详解】法一： 如图，以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 从而，， 故， 即异面直线与所成角的余弦值是； 法二： 如图所示，取中点，连接，，，， 由正方体可知， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 设，则，， 由正方体可知，平面， 即，， 则， 在中，由余弦定理， 则直线与所成角的余弦值为， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 8. 已知点是内部的一点，且满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出是三角形的重心，然后利用转化的方法，结合余弦定理求得的值. 【详解】记角所对的边分别是， 由题意，， 设是线段的中点，则， 所以三点共线，且为的重心， ， ， 又由，可得. 故选：A 二、多选题 9. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，则（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出从中依次不放回摸出两张卡牌样本空间，及求出事件、事件包含样本点可判断A；求出可判断B；检验是否相等可判断C；利用可判断D. 【详解】从中依次不放回摸出两张卡牌，样本空间为 共12个样本点. 对于A，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，样本点有， 事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，样本点有， 所以事件与事件为互斥事件，，故A正确； 对于B，其中事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，样本点有共2种， 所以，故B错误； 对于C，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”样本点有， ，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，包含的基本事件有 共4种，，包含的基本事件有， ，因为，所以事件与事件相互独立， 故C正确； 对于D，由C事件与事件相互独立，， ，， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，，且与夹角为锐角，则 B. 若，且，则外接圆半径 C. 若，则是钝角三角形 D. 中，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】分析可知以及与不共线，结合平面向量的坐标运算可求出的取值范围，可判断A选项；利用正弦定理与两角和的正弦公式可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用余弦定理和三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项：因为，，所以， 因为与夹角为锐角，则，解得， 且与不共线，所以，解得， 所以且，A错； 对于B选项，由及正弦定理得 ，而,故， 所以，的外接圆半径为，B对； 对于C选项，因为，故， 因为，故为锐角，无法判断为钝角三角形，C错； 对于D选项，中，若， 所以，即，故， 因为，故，D对. 故选：BD. 11. 对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ） A. B. 若，则 C. 设为线段的中点，则 D. 设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据定义的变换代入计算即可，对B，可设，在代入定义变换运算法则即可判断；对C，先求点，然后得出，代入定义变换直接计算即可；对D，先计算，再得，再利用点构成等腰三角形，列出方程再解方程即可. 【详解】，，A正确； 若，不妨记，由A选项，，∴，B正确； 为线段的中点，，C错误； ，，， ，，， ∴构成等腰三角形，只可能，联立可解，D正确; 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若五个数，，，，的平均数为，则这五个数的标准差是__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由平均数的定义知,所以,即;由方差的计算公式可得. 考点：平均数和方差公式的运用及运算求解能力. 13. 已知满足，若在方向上的投影向量为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由在方向上的投影向量为，得，则，而， 于是，所以. 故答案为： 14. 如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出BP=x，，利用求出，结合基本不等式求出时，面积取得最小值，补形后三棱锥的外接球即该长方体的外接球，求出外接球半径和表面积. 【详解】由勾股定理得：， 设BP=x，，则，， ， 由得：，解得：， 因为，故 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球， 其中长方体的外接球的直径为， 故半径为，故三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 【答案】（1） 记，连接. 因为四边形是正方形，所以是的中点. 因为是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 连接. 因为四边形是正方形，所以是的中点. 因为，所以. 因为四边形是正方形，所以. 因为平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接，可得，从而可证平面； （2）连接，可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，求b的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得； （2）由二倍角公式求得，后再由两角和的正弦公式可求值； （3）由正弦定理求得，再由余弦定理求得. 【小问1详解】 ，由正弦定理得，， ， 即， ，， 又，. 【小问2详解】 由已知得， ， ， . 【小问3详解】 由正弦定理，得， 由（1）知，结合，， ，由余弦定理得，，. 17. 某市为了解人们对火灾危害的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次消防知识竞赛，满分为100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，将这人按年龄分成组，其中第一组为，第二组为，第三组为，第四组为，第五组为，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）利用频率分布直方图，估计这名市民年龄的平均数和第74百分位数； （3）现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取6人担任本市的消防安全宣传使者，再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可列方程求解； （2）直接根据频率分布直方图求解平均年龄与第74百分位数； （3）由题意第三、四、五组中需依次选取人，由古典概型、对立事件概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，解得； 【小问2详解】 设这m人的平均年龄为， 则 岁， 设第74百分位数为b，因为，， 所以第74百分位数在之间， 由，解得; 【小问3详解】 若现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取6人担任本市的消防安全宣传使者， 则从第三、四、五组中需依次选取人， 再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． （1）求证：； （2）若上存在点M，使得∥平面，求的值 （3）若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 【答案】（1）证明：连接， ∵，∴， 又∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，又平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， 又平面，∴， 又平面，平面，则， ，平面，∴平面， 又平面，∴. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，利用面面垂直的性质定理得平面，然后利用线面垂直的性质定理得，结合已知利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的判定及性质定理证明即可； （2）取CD中点为N，连，，利用面面平行的判定定理证明平面∥平面，再利用面面平行的性质定理得∥，可得M为PD中点，即可求解； （3）设，利用等面积法求得点D到面的距离为，根据线面角的正弦值列式求得或，代入四棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取CD中点为N，连，， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， 又∥平面，，平面， ∴平面∥平面，平面，∴∥平面， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面，平面，平面平面， ∴∥，又N为CD中点，则M为PD中点，此时； 【小问3详解】 由（1）可知，所以为等腰直角三角形， 又，，设，则， 记点D到面的距离为， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， ，， 设与平面所成角为， ， 整理得，则或，解得或，即或 所以或. 19. 已知向量，，函数． （1）若，且，求的值； （2）已知，，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式计算出，从而得到，结合角的范围得到，从而利用凑角法求出答案； （2）求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标. 【小问1详解】 ， ，因为，所以， 而，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由题意得， 假设的图象上存在点使得， 因为，， 因为， 所以， 令， 因为， 所以， 当且仅当时取等， 所以存唯一解，此时，点， 综上，符合条件的点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠中学 2024—2025 学年第二学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知三点共线，则（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 3. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 4. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量，，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下面四个命题错误的有（ ） A. 若，，则； B. 若，，，，则； C. 若，，则； D. ，，则. 7. 在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是内部的一点，且满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多选题 9. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，则（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件相互独立 D. 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，，且与夹角为锐角，则 B. 若，且，则外接圆半径 C. 若，则是钝角三角形 D. 中，若，则 11. 对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ） A. B. 若，则 C. 设为线段的中点，则 D. 设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若五个数，，，，的平均数为，则这五个数的标准差是__________． 13. 已知满足，若在方向上的投影向量为，则__________． 14. 如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，求b的值. 17. 某市为了解人们对火灾危害的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次消防知识竞赛，满分为100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，将这人按年龄分成组，其中第一组为，第二组为，第三组为，第四组为，第五组为，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）利用频率分布直方图，估计这名市民年龄的平均数和第74百分位数； （3）现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取6人担任本市的消防安全宣传使者，再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率． 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． （1）求证：； （2）若上存在点M，使得∥平面，求的值 （3）若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 19. 已知向量，，函数． （1）若，且，求的值； （2）已知，，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $