福建省莆田市2024-2025学年高二下学期7月期末质量调研数学试卷

莆田市2024-2025学年下学期期末质量调研试卷 高二数学 木试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.若f(x)=x2,则f(-)= A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.下列图中，相关系数最大的是 6r 6 4 4 3 3 3 。1 2 3 0 0 0 123456 123456 123456 123456 A. B. c D 3.甲、乙两人各抛掷质地均匀的骰子一次.已知甲掷出的点数是3，则甲掷出的点数大于乙 掷出的点数的概率为 A.18 c.3 D.2 4.函数(x)=x-6x2+9x-1的单调递减区间为 A.(-o,) B.(L,3) C.(1,+o) D.(3,+∞) 5.袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球.现从中任取3个球，其中所含红球的个数 为X,则E(X)= A.1.2 B.1.8 C.2 D.3 6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底而ABCD,∠ABC=6O°，且PA=AB, 则异面直线AB与PD所成角的余弦值为 A. 5 √14 B. C. D. 2 2 4 数学试题第1页（共4页） 7.已知随机事件A与B相i独立，且P()=0.6,P()=0.4,则下列错误的是 A.P(AIB)=P(AIB) B.P(4B)=P(B) C.P(AIB)=P(B14) D.P(4+B)=1 8.已知函数f(x)=ar-sinx,若f(x)≥0对x∈[0，恒成立，则实数a的取值范围是 A.(0, B.(0, C.[1,+o) D.[π，+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正四棱柱ABCD-AB,C,D,中，O,为底面AB,CD的中心，则 A.AC=4B+AD+4 B.AD⊥BD C.CO,∥平面ABD D.AC⊥平面ABD 10.已知函数f(x)=(x-1)lnx,则 . B.∫(x)有两个零点 C.f(x)在(L,+o)上单调递增 D.x轴是曲线y=∫(x)的切线 11.已知集合U={L,2,3,4,5,6),U的4个不同三元子集（含有三个元素的子集）组成集合B, 且B满足： ①L,2,3}eB: ②B中任意两个元素的并集是U的真子集，任意三个元素的并集是U, 任取一个集合B,记事件D=“{L,4,5}eB”，事件D2=“{2,4,6eB”,则 A.集合B中任意两个元素的交集非空B.P(Q1D)-习 C。取到的集合B的所有可能结果有4种D.P(D)月 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若随机变量X服从正态分布N(0,),则P(0<X<2)= (附：若X-N(4,a2),则P(μ-2a<X<4+2c)=0.9544) 数学试题第2页（共4项） 13.右图是一个机器人手臂的示意图，该手臂分为三段，分别可用向量 a=(2,3.4),b=(1.-1,3),c=(4,-1,-3)代表，川向d代表整条手 臂，则ld= 14.已知函数f(x)=3引-5x2-r+1的图象经过四个象限，则实数a的 取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AD=AM=1,AB=2,E,F分别为棱AB,AA 的中点。 (1)求证：E,C,D,F四点共面： (2)求点E到平面ACD,的距离， 16.(15分》 已知函数f(x)=(x+a)e2(aeR)· (1)若a=0,求曲线y=∫(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若x=0为f(x)的极小值点，求a的值. 17.(15分)》 现有两种脑机接口技术(A和B),用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机 抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表： 任务结果 技术类型 合计 成功 失败 技术A 50 10 60 技术B 30 30 60 合计 80 40 120 (1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关： (2)已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术A和B的概率分 别为0.6,0.4.将上述试验中使用技术A,B时任务结果为成功的频率视为概率，求 甲体验的任务结果为成功的概率， P(x≥x) 0.05 0.010 0.001 n(ad -be)' 附：X=a+bc+d)(a+cb+d' 3.841 6.635 10.828 数学试题第3页（供4项） 18.(17分) 已知函数f(x)=lnx+ax2-x(a>0). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个极值点x，x2,求证：f(:)+f(x2)<2n2-3. 19.(17分) 数学探究活动中，使用圆心为0，直径为20cm的圆形厚纸张进行操作： ①在圆周上均匀取六个点，剪出正六边形ABCDEF,如图1： ②剪出菱形ODEF,将剩余部分折成无底的正四棱锥O-ABCD,如图2： ③沿OE将菱形ODEF折成空间四边形ODEF,如图3. 图1 图2 图3 (1)在图1中，从以A,B,C,D,E,F为端点的线段中任取两条，求这两条线段 没有公共点的概率； (2)在正四棱锥O-ABCD中，求二面角O-BC-A的余弦值： (3)重复操作，得到两个相同的正四棱锥和两个相同的空间四边形，再将两个空间四边 形的边粘合，得到一个正四面体。 现将这两个正四棱锥的一个侧面分别与正四面体的一个面粘合，两个正四棱锥的底 面中心分别记为Q,O2,求Q与O,间的距离的所有可能取值（纸板厚度忽略不计）. 数学试题第4页（共4页）莆田市2024-2025学年下学期期末质量调研测试 高二数学试题参考解答及评分标准 评分说明： 1.木解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与木解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半： 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不市给分. 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.贝给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中问分， 一、选择题：每小题5分，满分40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B A D 二、选择题：每小题6分，满分18分，（本题为多项选择题，每小题中，全部选对得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 三、填空题：每小题5分，满分15分. 12.0.4772 13.√66 14.(-1,1) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，点到面的距离等基础知识：考查空 间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等：考查化归与转化思想，数形结合思想等： 考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养：体现基础性和综合性.满分13分. 数学答案第1页（共8页） 解：(I)如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐 标系，…】分 则A1,0,0),C(0,2,0)，D(0,0,1)，E(11,0), r》 …2分 所以c历=0，-2,1)，示=(0，-12 …3分 从而CD=2正证，所以CD川EF, …4分 又CD与EF不重合，所以CD∥EF,… ·5分 从而E,C,D,上四点共面。…6分 (2)CD=(0,-2,),AC=(-l,2,0),…7分 设m=(:y)为平面4CD的法向址，则n·C西=0即-2y+z=0, …9分 n.4C=0. -x+2y=0. 取y=1,得x=z=2,因此n=(2,1,2)是平面ACD的一个法向量.…10分 因为AE=(0,1,0)，… …1】分 所以点E到平面AC)的距离为d= …13分 √22+12+223 16.本小题主要考查函数与导数的应用等基础知识：考查推理论证，运算求解等能力：考查函 数与方程，化归与转化等数学思想，考查逻辑推理，数学运算等核心素养：体现基础性和 综合性.满分15分. 解：(1)当a=0时，∫(x)=x0, …】分 所以f(0)=0，… …2分 ∫'(x)=(x+l)e,… …4分 因此∫'(0)=1，… 5分 故曲线y=(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x.…7分 (2)由已知可得，f'(x)=(x+a+1)e, …9分 因为x=0为f(x)的极小值点，所以∫'(0)=0， …10分 数学答案第2页（共8页） 即a+】=0,解得a=-】,…12分 当a=-1时，∫'(x)=xc, 当x<0时，'(x)<0:当x>0时，f'(x)>0, …13分 所以∫(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 此时x=0为∫(x)的极小值点，符合题意， …14分 综上所述，a=-1。…15分 17.本小题主要考查独立性检验，概率，概率运算等基础知识：考查运算求解能力，应用意识： 考查分类与整合思想，概率与统计思想：考查逻辑推理，数学运算，数据分析等核心素养： 体现基础性，综合性与应用性.满分15分， 解：(1)零假设H。:任务结果与技术类型无关联。 …2分 根据列联表中的数据，可以求得X.120x50x30-10x30-15>10.828.…5分 60×60×80×40 根据小概率值以=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，…7分 即认为任务结果与技术类型有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.…9分 (2)设事件A=“甲体验时使用技术A”,事件B=“甲体验时使用技术B”,事件C= “甲体验的任务结果为成功”，… …10分 则P()-号P(B)=号，PC-名P(CB)- …12分 根指全概率公式可得PO)=P(国PC1利+P@PC1-名+号对名 所以甲体验的任务结采为成功的概率为 …15分 10 18.本小题主要考查函数与导数的应用等基础知识；考查推理论证，运算求解等能力：考查函 数与方程，分类与整合，化归与转化等数学思想：考查逻辑推理，数学运算等核心素养： 体现基础性，综合性和创新性.满分17分 解：(1)依题意可l,f(x)的定义域为(0.+∞)， 因为r(x)=+2mx-1=2ar2-x+1 …2分 当△=1-8a0,即a≥。时，(x)≥0对xe(0,+)恒成立， …4分 此时∫(x)在(0，+oo)上单调递增；… …5分 当0<a<时，令r>0,即2m2-x+1>0,解得x>1+-8a或0<x<上-8@ 4a 4a 令f()<0,即2ax2-x+1<0,解得--8a .1+1-8a <X< 4…7分 4a 4a 数学答案第3页（共8页） 4a 4a 单调递减。 综上所述肖≥时，了在(Q网上单消适端：当0a时，间在Q1上巴 …8分 4a 4a (2)由(1)可知f(x)有两个极值点，出时，0<a<g' …9分 1 +为 22a …1分 所以∫(x)+f(s)=nx+-+hx+-为… …12分 =In()+a(+)2-+) …3分 令1=名1>4，设0-n1-分1， …14分 则g0=0对1e+m)担成立 …15分 所以g)在[4，+∞)上单调递减， 内此t∈(4，+∞)时，g()<g4)=n4-2-1=2ln2-3,…16分 内此∫(x)+(x)<2ln2-3.… …17分 19.本小题主要考查概率，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础 知识：考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等：考查化归与转化思想，数形 结合思想等：考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现综合性和创新性.满 分17分. 解法一：(I)记事件N=“从以A,B,C,D,E,F为端点的线段中仁取两条，这两条线 段没有公共点”。…】分 E 以A,B,C,D,E,F为端点的线段共有C=15条，其中边 有6条，对角线有9条， 从中任取两条的方法数为C=105,则n(2)=105.…2分 B 数学答案第4页（共8页） 由对称性，考虑一条线段为边AB时，与它没有公共点的线段为CD、DE、EF、FC、 DF、CB共6条，其中3条为边，3条为对角线，故没有公共点的两条边有° 6×3=9对， 没有公共点的一边和一对角线有6×3=18对.…3分 考虑两条线段都是对角线时，只有形如AC与DF的平行线，故有3对， 综上，没有公共点的线段共有30对，即n(N)=30,… …4分 所以PWM=n2-302 n(2)105-7· …5分 (2)如图，以B为原点，分别以BC,Ba的方向为x 轴、y轴的F方向，建立空问直角坐标系，则 A(0,10,0),B(0,0,0),C10,0,0),设O(5,5,a(a>0), 从而0B=V52+52+a2=10,解得a=5V2. 于是，BC=10,0,0),B0=(5,5,52). 设n=(x,y)为平面OBC的法向量，则 [n.BC=0,10x=0 即 n-B0=0.l5x+5y+5V2z=0. 取y=V2,得x=0,z=-l,则n=(0,V2.-是平面0BC的·个法向量.…6分 设二面角O-BC-A的大小为日，内为m=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，…7分 所以cos6=lcos<m,n= m川_--5 mm1×5 3 因此二面角0-BC-A的余弦值为5 …8分 (3)正四棱锥的任意一个侧血与底血所成的角都相等，记为α， 由（2)可知1cosx= 5 3 …分 所以cos2a=2cos2a-1=2x1-1=-1 …10分 3 3 正四面体的任意两个面所成的角都相等，记为阝， …11分 如图所示，不妨设底面中心为O的正四棱锥O-ACD与正四面体的粘合面为OBC,取 BC的中点E,连接OE,OE,则 OE⊥BC,OE⊥BC,所以∠OEO为二 面角O-BC-O'的平面角，即 B=∠OEO°.… …12分 数学答案第5页（共8页） 在△0E0中，0E=0E=53,00=10, 由余弦定理可得cosB=55+6-10:.1 …13分 2×5V3×5V3 3 故cos2a=-cosB=cos(π-)，又2a,T-B∈(0，元)及余弦函数的单调性，可知2x=π-B, 即2以中阝=元.…l4分 所以，当底面中心为O,的正四棱锥与正四面体按如图所示的粘合时，O、O2、B、C四 点共面，且Q、万、O2三点共线… ……15分 此时OO2=10Cn。…l6分 设正四面体0-BC0的中心为O,则O,0=O,B=O,C,又因为O,0=OB=O,C=5V2, 所以O,O,⊥平面OBC. 同理可得O,O,⊥平面O'BC,或O,O⊥平面OB0,或O,O3⊥平面OCO'. 山正四面体的对称性得∠O,O,0,的大小为定伉，义因为O,O,=O,O,=定值，所以O,O,所 有可能值只有一个，即O,O,=10cm.… …17分 解法二：(I)记事件N=“从以A,B,C,D,E,F为端点的线段中任取两条，这两条线 段没有公共点”。…】分 以A,B,C,D,E,F为端点的线段共有C=15条，从中任取两条的方法数为C=105, 则n(2)=105。… …2分 如图，当两条线段的公共点在圆周上时，共有C?×6-60对线 段有公共点：… …3分 当两条线段的公共点在圆内时，除过点O的线段有3条外，过 其余任一公共点的线段只有两条，凡其余公共点有12个，此时 共有C子+12=15对线段有公共点，所以n(而=60+15=75， B …4分 所以PM=l-P=1-n=1-5.2 …5分 n(2) 1057 数学答案第6页（共8页） (2)如图，记底面ABCD的中心为O,BC中点为 E,连接OE,OE, 由OB=OC可得OE⊥BC,由OB=OC可得 OE⊥BC,所以∠OEO为二面角O-BC-A的平 面角，… …6分 在△0B0,0E=AB=5,0B=55,cos∠0B0,=5=3=5 0E553' …7分 所以二面角0-BC-A的余弦值为 3 …8分 (3)为研究方便，不妨把止四面体嵌入到边长为5√互的 D 正方体AB,CD-AB,C,D中，如图所示的C,-ABD, …10分 则(2)中三棱锥O-OBC与正方体中A,-A,B,D, B2-ABC2,C-B,CD,D-A,CD均是相同的正三 B 棱锥，其底面是边长为10的等边三角形，三个侧面为全等的等腰直角三角形.…12分 不失一般性，不妨设(2)中正四棱锥O-ABCD的侧面OBC与正四面体的面AB,D粘合， 此时O与点A重合.… …13分 同理可得底面中心为O2的正四棱锥的一个侧面与正四面体C,-AB,D的·个面粘合， O2所在的位置只可能是B2,C,D2.… …14分 因为AB2=AG=AD2=10,… …16分 所以O,02=10cm.…l7分 解法三：(1)记事件N=“从以A,B,C,D,E,F为端点的线段中任取两条，这两条线 段没有公共点”.…】分 以A,B,C,D,E,F为端点的线段共有C6=15条，从中任取两条的方法数为C=105, 则n(2)=105.… …2分 数学答案第7页（共8页） 因为一个四边形有两组对边没有公共点，所以(N)=2×C。=30,…4分 因此PW)=nW=302 n(2)1057' …5分 (2)同解法二. (3)如图，以Q为原点，分别以0B,0,C,O,0的方 向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则B55.0.0,C0.55.0,00,0.52.…9分 不妨设底面中心为O的正四棱锥O-ABCD与正四面体 O'-OBC的粘合面为OBC,设O(:,,云)，则1OOHOBHOC卡10，…10分 x++(名-5W2=100 x=5V2 即(s-52++=100,解得y=55,此时0'52,55,52)）.12分 +(4-52)+=100 3=52 当底面中心为O的止四棱锥与止四面体O'-0BC的粘个面为0BC时，设O(x,y2,), (-52+-52)+-52=50 则10,0H0,BH0,C=55，即-5W2)+片+=50 ，解得 +-52°+写=50 52 x=h=52 或 (不合题意，舍去)，此时0(52,5√2,0）.…14分 22=0 10W2 3 同理，当底面中心为O,的正四棱锥与正：四面体O'-OBC的粘合面为OOB时，可得 0(52,0,52): …15分 当底而中心为O,的正四枝锥与正四而体0-OC的粘合而为00C时，可得 0(0,52,52). 16分 所以OO2=10cm. …17分 数学答案第8页（共8页）