精品解析： 吉林省吉林市永吉县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. 5 C. D. 25 2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 5 3. 若的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（ ） A -4 B. C. 0 D. 3 4. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( ) A. 15° B. 25° C. 35° D. 45° 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人射箭10次，射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是，则成绩最稳定的是（　　） A. 丙 B. 丁 C. 甲 D. 乙 6. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 使有意义的x的取值范围是______． 8. 将直线y＝﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为_____． 9. 如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么x是_____． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，AB=6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为_____． 11. 如图，以边长为2的正方形的对角线交点为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值为______． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 计算： 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求的面积． 14. 如图，，，且，求证：四边形是平行四边形． 15. 若，化简，小明的解答过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小明的解答从第______步出现错误的，错误的原因是用错了性质：______； （2）写出正确解答过程． 16. 根据民航通用规定，搭乘国内航班的每位乘客都可以免费携带一定重量的行李，当行李的重量超过规定的重量时，需付的行李费y（元）是行李重量x（千克）的一次函数．已知行李重量为30千克时需付行李费150元，行李重量为40千克时需付行李费300元． （1）当行李的重量x超过规定的重量时，求y与x之间的函数解析式； （2）求每位乘客最多可免费携带的行李的重量． 17. 如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． （1）以为一边，在图①中画一个格点菱形； （2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 18. 为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含左端点值，不含右端点值）． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为：74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）第二组的学生人数是_____人；请补全频数分布直方图； （2）第三组竞赛成绩的众数是_____分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_____分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的有多少人？ （4）请根据竞赛成绩分析成绩为76分的同学能否排在前25名？ 19. 如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接，且，． （1）求所在直线的解析式； （2）将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； （3）若过一定点M的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则点M的坐标为________． 20. 先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ （1）填空：的整数部分是 ； （2）a，b分别是整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 21. 甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件总数（个）与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示． （1）这批零件一共有　 　个，甲机器每小时加工　 　个零件，乙机器排除故障后每小时加工　 　个零件； （2）当时，求与之间的函数解析式； （3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ 22. 如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连结PD，点O为线段AC中点． （1）【感知】如图①，当点P在线段AO上时， ①易证：△ABP≌△ADP（不需要证明）．进而得到PE与PD的数量关系是 　 　． ②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD（不需要证明）．进而得到PE与PD位置关系是 　 　． （2）【探究】如图②，当点P在线段OC上（点P不与点O、C重合）时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）【应用】如图③，当点P在线段AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝时线段DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. 5 C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则求出答案． 【详解】解：=5， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键． 2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：A 3. 若的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（ ） A. -4 B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，若y随x的增大而增大，则比例系数大于0． 【详解】∵y=kx-4的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 4. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( ) A. 15° B. 25° C. 35° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A=35°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD=AD，再根据则等边对等角即可求得答案． 【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°， ∴∠A=35°． ∵D为线段AB的中点， ∴CD=AD， ∴∠ACD=∠A=35°． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人射箭10次，射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是，则成绩最稳定的是（　　） A. 丙 B. 丁 C. 甲 D. 乙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，解题的关键是理解方差越小，数据越稳定． 比较四人方差大小，根据方差越小成绩越稳定来判断． 【详解】解：由于甲、乙、丙、丁四人射箭成绩的平均数相同，均为8.9环，因此只需比较方差的大小． 方差越小，成绩越稳定， 四人的方差分别为：， 比较可知，丁的方差最小（0.45）， 因此成绩最稳定的是丁． 故选：B． 6. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，数形结合思想的应用．由矩形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由矩形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 矩形的周长为， ， ， ， 的周长， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 8. 将直线y＝﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为_____． 【答案】y=-2x-1． 【解析】 【分析】根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可． 【详解】解：由题意得：平移后的解析式为：y=-2x+3-4=-2x-1． 故答案为：y=-2x-1． 考点：一次函数图象与几何变换． 9. 如果一组数据4，x，2，3，6的平均数是4，那么x是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由一组数据4，x，2，3，6平均数是4，可列方程：再解方程可得答案． 【详解】解： 一组数据4，x，2，3，6的平均数是4， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平均数的含义，掌握平均数的计算是解题的关键． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，AB=6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为_____． 【答案】2cm． 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AE∥BC，AD=BC=8cm， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=6cm， ∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）. 11. 如图，以边长为2的正方形的对角线交点为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理．根据正方形的对角线平分一组对角线可得，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得时，最小，然后求出，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 要使最小，只要取最小值即可， 根据垂线段最短，时，最小， ∵正方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键；先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴围成的三角形面积，先根据解析式求出，，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴． 14. 如图，，，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答． 15. 若，化简，小明的解答过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小明的解答从第______步出现错误的，错误的原因是用错了性质：______； （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）二，； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质解答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可． 【小问1详解】 解：由化简过程可知，从第二步出现错误， ． 故答案为：二，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴原式， 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 16. 根据民航通用规定，搭乘国内航班的每位乘客都可以免费携带一定重量的行李，当行李的重量超过规定的重量时，需付的行李费y（元）是行李重量x（千克）的一次函数．已知行李重量为30千克时需付行李费150元，行李重量为40千克时需付行李费300元． （1）当行李的重量x超过规定的重量时，求y与x之间的函数解析式； （2）求每位乘客最多可免费携带的行李的重量． 【答案】（1）y与x之间的函数表达式时y＝15x﹣300；（2）每位旅客的免费行李额是20千克． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式； （2）旅客最多可免费携带行李的质量就是y＝0时x的值 ． 【详解】（1）设该航班y与x之间的函数表达式y＝kx+b， 由题意，得， 解得， 即该航班y与x之间的函数表达式时y＝15x﹣300； （2）当y＝0时， 0＝15x﹣300， 解得，x＝20， 答：每位旅客的免费行李额是20千克． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，求出一次函数解析式． 17. 如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． （1）以为一边，在图①中画一个格点菱形； （2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可． （2）根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，平行四边形． 【点睛】此题考查了作图知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． 18. 为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含左端点值，不含右端点值）． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为：74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）第二组的学生人数是_____人；请补全频数分布直方图； （2）第三组竞赛成绩的众数是_____分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_____分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的有多少人？ （4）请根据竞赛成绩分析成绩为76分的同学能否排在前25名？ 【答案】（1）10；补全频数分布直方图见解析 （2）76，78 （3）估计该校参赛学生成绩不低于80分的有720人 （4）成绩为76分的同学不排在前25名 【解析】 【分析】（1）根据各组数据的和为50可求出第二组学生的学生数，再补全统计图即可； （2）根据众数、中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中不低于80分的学生所占的比例，再乘以1500，即可得到答案； （4）由（2）可知，将50名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数为77，79，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： （人）， 补全频数分布直方图如图所示： ， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：根据题意得： 第三组学生竞赛成绩出现次数最多的是76，故众数为76， 将50名学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，故中位数为78， 故答案为：76，78； 【小问3详解】 解：根据题意得： （人）， 答：该校共有1500名学生参赛，该校参赛学生成绩不低于80分的有720人； 【小问4详解】 解：由（2）可知，将50名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数为77，79， 故成绩为76分的同学不能排在前25名． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、中位数、众数、由样本所占百分比估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义，是解题的关键． 19. 如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接，且，． （1）求所在直线的解析式； （2）将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； （3）若过一定点M的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则点M的坐标为________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，确定A，C的坐标，利用待定系数法确定AC的解析式y=kx+b即可． （2）根据折叠性质，得CD=AB=1,BF=DF=CB-CF=2-x，运用勾股定理，，确定x，利用面积公式计算即可． （3）根据矩形的性质，经过对角线交点的直线才满足条件，故M为对角线交点，运用中点坐标公式计算即可． 【小问1详解】 设OC=m，则AO=2m， ∵四边形是矩形，且， ∴， 解得m=1或m=-1（舍去）， ∴OC=1，AO=2， ∴C（0，1），A（2，0）， 设AC所在直线的解析式为y=kx+b，将C，A的坐标值带入，解得k=，b=1， 所以函数的解析式为 【小问2详解】 设CF=x，根据折叠性质，得CD=AB=1,BF=DF=CB-CF=2-x，∠D=∠B=90°， 由勾股定理，得， 解得x=， ∴重叠部分的面积为． 【小问3详解】 根据矩形的性质，经过对角线交点的直线才满足条件，故M为对角线交点， ∵C（0，1），A（2，0）， ∴中点M的坐标为（1，）， 故答案：（1，）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，待定系数法确定一次函数解析式，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，中点坐标公式是解题的关键． 20. 先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ （1）填空：的整数部分是 ； （2）a，b分别是的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 【答案】（1）n （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）依据题干中的方法估算的范围，即可得到整数部分； （2）①估算出，得到整数部分和小数部分即可；②将①中结果代入计算即可． 小问1详解】 解：， ， ， 的整数部分为； 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是：， 小数部分是：； ② ． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 21. 甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示． （1）这批零件一共有　 　个，甲机器每小时加工　 　个零件，乙机器排除故障后每小时加工　 　个零件； （2）当时，求与之间的函数解析式； （3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ 【答案】（1）；（2）；（3）甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等. 【解析】 【分析】(1)观察图象可得零件总个数，观察AB段可得甲机器的速度，观察BC段结合甲的速度可求得乙的速度； (2)设当时，与之间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； (3)分乙机器出现故障前与修好故障后两种情况分别进行讨论求解即可. 【详解】(1)观察图象可知一共加工零件270个， 甲机器每小时加工零件：(90-50)÷(3-1)=20个， 乙机器排除故障后每小时加工零件：(270-90)÷(6-3)-20=40个， 故答案为270，20，40； 设当时，与之间的函数解析式为 把，，代入解析式，得 解得 设甲加工小时时，甲与乙加工的零件个数相等， 乙机器出现故障时已加工零件50-20=30个， ， ； 乙机器修好后，根据题意则有 ， ， 答：甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键. 22. 如图，四边形ABCD是正方形，点P在射线AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连结PD，点O为线段AC中点． （1）【感知】如图①，当点P在线段AO上时， ①易证：△ABP≌△ADP（不需要证明）．进而得到PE与PD的数量关系是 　 　． ②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证：Rt△PNE≌Rt△PMD（不需要证明）．进而得到PE与PD的位置关系是 　 　． （2）【探究】如图②，当点P在线段OC上（点P不与点O、C重合）时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）【应用】如图③，当点P在线段AC的延长线上时，直接写出当AB＝3，CP＝时线段DE的长． 【答案】（1）①；② （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质可得，即可得出答案； ②由条件可证得四边形是矩形，故，再由角平分线的性质可得出，由，可得，再由得出，即可得出答案； （2）设交于，正方形性质可得：，即可得出，,由，即可得出，，再由三角形内角和定理可推导出，可得出，即可得出与的数量关系和位置关系； （3）设交于，过点作于，由正方形的性质可得：，即可得出，,由，即可得出，，故，再由三角形内角和定理可推导出，可得出，即可得出是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得出，由，可推导出是等腰直角三角形，故，，由勾股定理即可计算给出，的长度． 【小问1详解】 ①∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， 即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 与的数量关系和位置关系为：，，理由如下： 设交于，如图②所示： ∵在正方形中， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中：， ∴， ∴； ∴与的数量关系和位置关系为：， 【小问3详解】 设交于，过点作于，如图③所示 在正方形中：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中： ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，综合性较高，掌握以上知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$