精品解析：山西省大同市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

2024-2025学年第二学期高一年级期末教学质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．本试题共6页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位），则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，若点与，共线，则实数（ ） A. B. 13 C. 12 D. 4. 若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 5. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 6. 如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 （ ） A. B. C. D. 7. 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ） A. 1208平方米 B. 1448平方米 C. 1568平方米 D. 1698平方米 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ） A. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C. 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D. 当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是 10. 已知函数（），下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的值域为 B. 当时，函数有最小值没有最大值 C. 当时，函数在区间上单调递增 D. 当时，函数的值域为 11. 已知，是单位向量，且，若向量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在上的投影向量的模为 D. 在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为________．（精确到0.1） 13. 乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则事件“且甲获胜”的概率为________． 14. 如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的值域. 16. 统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． （1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ （2）估计该地居民的月收入的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 17. 已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 18. 如图，四棱锥S­-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 19. 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，定义数乘和加法：.对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关.否则，称这组向量线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； （3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： （ⅰ）如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； （ⅱ）如果，其中，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一年级期末教学质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．本试题共6页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 复数（为虚数单位），则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将复数化成的形式，再利用复数模的计算公式求值即可. 【详解】， . 故选：D. 3. 已知点，，若点与，共线，则实数（ ） A. B. 13 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的共线满足的坐标关系即可求解. 【详解】由，可得，， 因为共线，故共线，可得，解得， 故选：D 4. 若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的性质即可求解. 【详解】设，，这组数据的方差为，则，得， 故选：B 5. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数求出的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意可得：，解得：， 将这组数据从小到大的顺序排列为， 因为为整数， 所以这组数据的75百分位数为， 故选：C. 6. 如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果. 【详解】由已知，，，， 所以. 由已知是的中点，所以， ，. 所以， 所以，. 故选：B. 7. 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ） A. 1208平方米 B. 1448平方米 C. 1568平方米 D. 1698平方米 【答案】C 【解析】 【分析】设米，则可表示出种植花卉区域的面积，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】设米,， 则种植花卉区域的面积． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即当米，米时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米, 故选：C 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作于，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ） A. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C. 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D. 当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用互斥事件，对立事件的概念求解. 【详解】事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误； 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确； 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误； 事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确. 故选：BD 10. 已知函数（），下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的值域为 B. 当时，函数有最小值没有最大值 C. 当时，函数在区间上单调递增 D. 当时，函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解BCD. 【详解】对于A， 时，，当，当且仅当时取到等号， 由于，故为奇函数，故当， 因此函数的值域为，故A正确； 对于B，当时，，由于函数均在上单调递增， 故在上单调递增，，， 故在内无最大值也无最小值， 结合，故为奇函数，因此在内也无最大值和最小值， 综上，函数无最大值和最小值，故B错误； 对于C ， 当时，，函数，根据对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，由B可知，当时，在上单调递增，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确， 故选：AD 11. 已知，是单位向量，且，若向量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在上的投影向量的模为 D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解A，根据夹角公式即可求解B，根据投影以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对于A, ,故A正确， 对于B, ，故B错误， 对于C , 在上的投影向量的模为，故C正确， 对于D, 在上的投影向量为，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为________．（精确到0.1） 【答案】5.4 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知合在一起的样本平均数为， 故答案为：5.4 13. 乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则事件“且甲获胜”的概率为________． 【答案】0.1## 【解析】 【详解】设事件事件“且甲获胜”“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”， 所以， 故答案为：0.1. 14. 如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出四棱柱，即可求出异面直线AK和LM所成的角的大小. 【详解】由题意，还原正四棱柱的直观图，如图所示，取的中点，中点，中点， 连接相关线段，如下图所示，    ∴//. 由几何知识得，四边形是平行四边形，//， ∴， 所以或其补角为异面直线AK和LM所成的角． 由题知，，则有，所以， 即异面直线AK和LM所成的角为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间； （2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域. 【小问1详解】 解：因为 ， 所以，函数的最小正周期为， 由可得， 所以，函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 解：当时，，则， 因此，函数在区间上的值域为. 16. 统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． （1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ （2）估计该地居民的月收入的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 【答案】（1）25 （2）3900 （3）3900 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求解，即可根据抽样比求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解. （3）根据平均数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 月收入在的频率为0.25， 所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为； 【小问2详解】 收入在的频率是， 收入在的频率是， 所以样本数据的中位数在， 且为（元）. 【小问3详解】 （元）， 所以平均数为3900元. 17. 已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求，再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由于为锐角，所以， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 18. 如图，四棱锥S­-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小； （3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 【答案】 （1）连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O­xyz如图． 设底面边长为a，则高SO＝a． 于是S，D，C ＝，＝， ∵·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD． （2）30°； （3）存在，SE∶EC＝2∶1，理由如下： 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（2）知是平面PAC的一个法向量， 且＝，＝． 设＝t，则＝＋＝＋t ＝而·＝0⇔t＝， 即当SE∶EC＝2∶1时 ⊥，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC． 【解析】 【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可证明AC⊥SD； （2）分别求出平面与平面ACD的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果； （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法向量，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题设知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝，设所求角为，则cos＝＝，∴平面PAC与平面DAC的夹角为30°． （3）略 19. 对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，定义数乘和加法：.对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关.否则，称这组向量线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； （3）已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： （ⅰ）如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； （ⅱ）如果，其中，则. 【答案】（1）（ⅰ）线性相关，理由如下： 设，则可得，所以线性相关； （ⅱ）线性相关，理由如下： 设，则可得 所以，不妨取，所以线性相关； （ⅲ）线性相关，理由如下： 设， 则可得 解得，不妨取，所以线性相关. （2）线性无关，理由如下： 设， 则， 因为向量线性无关，所以解得， 所以向量线性无关. （3） （ⅰ），如果某个， 则. 因为任意个都线性无关，所以都等于0， 所以这些系数要么全为零，要么全不为零. （ⅱ）因为，所以全不为零， 所以由，可得， 代入， 可得， 所以， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到，即可判断； （3）①如果某个，然后证明，都等于0即可；②由，可得，然后代入，根据题意证明即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $