安徽省蚌埠第五中学、田家炳中学2024-2025学年八年级下学期期末素养考察数学试题

蚌埠五中2024-2025学年第二学期初中年级期末素养考察试卷 初二数学 考试时间：90分钟 试卷分值： 120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.要使式子有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是(    ) A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(    ) A. B. C. D. 4.若正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形是(    ) A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 5.已知的、和的对边分别是，和，下面给出了五组条件：：：：：；：：；：；；；，，其中能独立判定是直角三角形的条件有个． A. B. C. D. 6.某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派名学生组成参赛团队，其中九年级班选派的名学生一次性垫球成绩单位：个如图所示则下列结论中，正确的是(    ) A. 中位数为 B. 众数为 C. 平均成绩为 D. 方差为 7.某厂一月份生产某大型机器台，计划二、三月份共生产台，设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，于点，是中点，且交于点，已知，，连接，则长(    ) A. B. C. D. 9.定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 10.如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点不与点，重合，作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11.若最简二次根式与是同类二次根式，则 ______． 12.小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分若将三项得分依次按：：的比例确定最终成绩，则小明的最终成绩为______分 13.若是方程的一个根，则的值为______． 14.如图，在矩形中，，为边上一点，，连接点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接设点运动的时间为秒，当为______时，为直角三角形． 三、解答题：本题共8小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 解方程： 16. 本小题分 计算： 17.本小题分 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： 判断的形状，并说明理由； 求边上的高． 18.本小题分 观察下列各式的规律：；； 按照此规律写出第个等式：______； 猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性的整数 19.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 20.本小题分 某校深入开展了以“珍爱生命谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：，，， 九年级班名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级班名学生的成绩在组中的数据是：，，． 通过数据分析，结果如下： 九年级班、班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级班 九年级班 根据以上信息，解答下列问题： 直接写出上述、、的值： ______， ______， ______； 学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． 九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 21.本小题分 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为元，当销售价为元时，每天能售出件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低元时，每天就能多售出件． 若降价元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ 小明希望每天获得的利润达到元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ 为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 22.本小题分 如图，已知四边形是正方形，点不与点重合是对角线上一个动点． 如图，连接，，求证：≌； 如图，连接，过点作交线段于点，连接求的度数； 如图，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蚌埠五中2024-2025学年第二学期初中年级期末素养考察试卷初二数学 答案和解析 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14. 或  15. 解：由原方程移项，得 ， 等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 ， 即， ， ，．  16. 解： ．  17. 解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 如图，过点作于点， ， ， ， ，，， ， 即边上的高为．  18.     19. 证明：， 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． 解：将代入原方程得， ， 解得． 令方程的另一个根为， 则， 解得， 所以方程的另一个根为．  20. ，，；  学校会选派九年级  班；  ．  21. 【小题】 解：元， 答：若降价元，则每天销售恤衫的利润为元； 【小题】 设每件恤衫降价元，则每天可销售件， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 要优惠最大， ， 当时，销售价为元， 当每件恤衫的销售价为元时，小明每天获得的销售利润达到元并且优惠最大； 【小题】 不能． 理由如下：设每件恤衫降价元， 为了保证每件恤衫的利润率不低于， ， 解得， 依题意，得， 整理，得， 解得，． 为了保证每件恤衫的利润率不低于，降价必须不超过元， ，都不符合题意，舍去． 答：为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得元的利润．   22. 证明见解析；   ；  ．  【解析】 1. 解：要使式子有意义，则， 解得， 故选：． 二次根式有意义即被开方数为非负数，由此解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 解：一元二次方程判别式， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 计算判别式的值，再确定根的情况即可． 本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键． 3. 解：， ， ， 故选：． 先在方程两边同时加，然后利用完全平方公式把左边分解因式进行解答即可． 本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用配方法解一元二次方程． 4. 解：条， 故答案为：． 根据多边形的外角和等于计算即可． 本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键． 5. 解：当：：：：时， 由三角形的内角和是，解得， 是直角三角形， 条件符合题意； 当：：；：时，可得， 是直角三角形， 条件符合题意； 时， 可得， 是直角三角形， 条件符合题意； ， 可得， 是直角三角形， 条件符合题意； ，，时， 可得， 是直角三角形， 条件符合题意， 故选：． 运用直角三角形的定义、勾股定理的逆定理知识进行逐一辨别． 此题考查了直角三角形的判定能力，关键是能准确理解并运用直角三角形的定义、勾股定理的逆定理知识． 6. 解：选项：将这组数据从小到大排列为：、、、、、、， 从中可以看出，一共个数据，第个数据为，所以这组数据的中位数为； 选项：这组数据中出现的次数最多，所以这组数据的众数为； 选项：个，所以这组数据的平均数为； 选项：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于时，这组个数据应相同，不符合题意； 故答案为：． 根据中位数、众数、平均数和方差概念即可解答． 本题考查中位数、众数、平均数和方差概念，理解题意，读懂统计图，熟练运用中位数、众数、平均数和方差概念分析问题是解题的关键． 7. 解：设二、三月份每月的平均增长率为，则二月份生产某大型机器台，三月份生产某大型机器台， 依题意，得：． 故选：． 设二、三月份每月的平均增长率为，则二月份生产某大型机器台，三月份生产某大型机器台，根据二、三月份共生产台，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 解：，是中点，， ，， ， ； 故选：． 根据斜边上的中线得到，，得到，三线合一，结合勾股定理，进行求解即可． 本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形中位线定理．熟练掌握各知识点是解题的关键． 9. 解：表示，中的较大值，， 时，，， ， 解得或，舍去． 时，，， ， 解得或，舍去． 综上，可得若，则的值是或． 故选：． 根据题意，分两边情况时，，；时，，，据此分别求出的值即可． 此题主要考查了实数大小比较的方法，以及实数的运算，解答此题的关键是注意分两种情况讨论． 10. 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可得到的值，再利用直角三角形的性质即可得到的值． 【解答】 解：如图，连接交于点． ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ． 点是的中点，， 故选A． 11. 解：， 最简二次根式与是同类二次根式， ， ． 故答案为：． 先求出，再根据同类二次根式的定义得出，再求出即可． 本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义求出是解此题的关键． 12. 解：小明的最终比赛成绩为分， 故答案为：． 根据加权平均数的公式计算，即可求解． 本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 13. 解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 先利用一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法． 14. 解：四边形是矩形，且，， ，，， 为边上一点，， ， 在中，由勾股定理得：， 依题意得：， ， ， 当是直角三角形时，有以下两种情况： 当时，过点作于点，如图所示：   ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得：； 当时，如图所示： ， 四边形是矩形， ， ， 解得：， 综上所述：当为或时，为直角三角形． 故答案为：或． 先求出，则由勾股定理得，依题意得，则，再由得当是直角三角形时，有以下两种情况：当时，过点作于点，则四边形是矩形，进而得，，，在和中，由勾股定理得，由此可得的值；当时，则四边形是矩形，进而得，则，由此可得的值，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 15. 配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数． 16. 先算乘除，去绝对值符号，再合并同类二次根式即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 17. 根据勾股定理、勾股定理逆定理求解即可； 根据三角形面积公式求解即可． 此题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键． 18. 解：第个等式为：， 即； 第个等式为：， 即 第个等式为：， 即 第个等式为：， 整理得，， 故答案为：； 由题意可猜想得，第个等式是：， 证明： ， ． 模仿前个等式写出第个等式； 根据前几个等式特点猜想出第个等式，并进行证明． 此题考查了算术平方根方面数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确根据给出等式特点进行猜想、证明． 19. 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 将代入原方程可求出的值，利用一元二次方程根与系数的关系可求出方程的另一个根． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 20. 解：九年级班名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：，，，，，，，，，， 成绩为分的学生有名，最多， ． 九年级班组有人， 扇形统计图中组所占百分比为， 扇形统计图中组所占百分比为， ． 故答案为：，，； 选派九年级班，理由如下： 两个班的平均成绩相同，而九年级班的方差为，九年级班的方差为， 九年级班成绩更平衡，更稳定， 学校会选派九年级班． 九年级班组的人数为人，优秀的总计有人， 九年级班名学生的成绩为优秀的有人． 估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是． 将九年级班名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出和的值；由题意可知九年级班组有人，即可求出其所占百分比，最后用其它各组所占百分比即可求出的值； 直接比较两个班级的方差即可； 求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 本题考查的是扇形统计图，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21.  见答案  见答案  见答案 22. 证明：四边形是正方形， ，， 又， ≌； 解：如图，过点作于，于，    ， 四边形是矩形， 平分，于，于， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， 又， ≌， ， 又， 是等腰直角三角形， ； 解：如图，过点作于，的延长线交于，于，    由可知四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 根据正方形的性质得到，，再加上公共边即可用判定≌； 过点作于，于，证四边形是正方形，得到，再用判定≌，得到，推出是等腰直角三角形即可解决问题； 过点作于，的延长线交于，于，根据中的结论，由等腰直角推出与的关系，判定四边形是矩形，得到与、、的关系，即可推出线段，，的数量关系． 本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$