精品解析：湖南省吉首市第七初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

吉首市第七初级中学2024年秋期中考试 九年级数学试卷 出卷人： 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题 1. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一块直角三角板的一个锐角的顶点放在圆心处，这个锐角的两边分别与相交于点，点是优弧上一点（点与点不重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 中华饮食文化源远流长，“大碗面”是中华特色美食之一，图②是从正面看到的一个“大碗”（图①）的形状示意图．弧是的一部分，D是弧的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A. 12cm B. 13cm C. 16cm D. 18cm 6. 如图，A，B，C，D在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 8. 某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( ) A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象过点，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 10. 设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论： ①函数，在上是“逼近函数”； ②函数，在上是“逼近函数”； ③是函数，的“逼近区间”； ④是函数，的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题 11. 若P是抛物线的最高点，则点P的坐标是___________． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值是 ______ 13. 已知扇形的半径，弧长，则扇形的面积______． 14. 正五边形绕着它的中心旋转后与它本身完全重合、最小的旋转角度数是_____． 15. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_________． 16. 已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是______． 17. 如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是______． 18. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是________． 三、解答题 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 解方程: （1） （2） 22. 如图，已知坐标系中． （1）画出关于原点O对称的； （2）直接写出各顶点的坐标． 23. 已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． （1）求此函数的表达式； （2）求顶点坐标． 24. 如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， （1）求证：是的切线； （2）直线与交于点，且，，求的半径． 25. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 26. 如图，二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围； （3）过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉首市第七初级中学2024年秋期中考试 九年级数学试卷 出卷人： 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题 1. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图标既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 在平面直角坐标中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了关于原点成中心对称的点的坐标.关于原点成中心对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此进行解答即可. 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为， 故选：A 3. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程，只有在时满足题意，不一定是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，将一块直角三角板的一个锐角的顶点放在圆心处，这个锐角的两边分别与相交于点，点是优弧上一点（点与点不重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直角三角形的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 故选：． 5. 中华饮食文化源远流长，“大碗面”是中华特色美食之一，图②是从正面看到的一个“大碗”（图①）的形状示意图．弧是的一部分，D是弧的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A. 12cm B. 13cm C. 16cm D. 18cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，首先利用垂径定理的推论得出，再设的半径为，则，在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解:∵是的一部分，D是的中点，， ∴. ， 设的半径为，则， 在中，∵， ∴.， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：B． 6. 如图，A，B，C，D在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，根据三角形内角和定理计算出，则根据圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质求解．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：连接、． ， ， ， ， ． 故选：A． 7. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴平移过程为先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， 故选：C． 8. 某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额增长率三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加， 为， 则列出的方程是． 故选D． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 9. 已知二次函数的图象过点，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据二次函数解析式可推出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，且， ∴， 故选：D． 10. 设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论： ①函数，在上是“逼近函数”； ②函数，在上是“逼近函数”； ③是函数，的“逼近区间”； ④是函数，的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出的范围，逐一判断各个选项，即可求解． 【详解】解：①∵，， ∴，当时，， ∴函数，在上不是“逼近函数”； ②∵，， ∴，当时，， 函数，在上是“逼近函数”； ③∵，， ∴，当时，， ∴是函数，的“逼近区间”； ④∵，， ∴，当时，， ∴不是函数，的“逼近区间”． 故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键． 二、填空题 11. 若P是抛物线的最高点，则点P的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质求解． 【详解】解：抛物线的最高点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，对于二次函数，当时，，有最小值，最小值为；当时，，有最大值，最大值为． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值是 ______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则，．利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵设，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 已知扇形的半径，弧长，则扇形的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式：，即可． 【详解】∵扇形的半径，弧长， ∴扇形的面积为：， 故答案为：． 14. 正五边形绕着它的中心旋转后与它本身完全重合、最小的旋转角度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，先根据正五边形的性质可得，正五边至少旋转的度数为的度数，再根据正五边形的性质求解即可得，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键． 【详解】如图， 由题意可知，所求的问题为的度数， 由正五边形的性质得：， 又， ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，根据对称性求得另一个解，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数经过点 ∴关于x的一元二次方程的解为， 故答案为：． 16. 已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形与其外接圆之间的关系， 勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，进而得到该三角形的斜边即为其外接圆的直径，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴三边长为6，8，10的三角形是直角三角形， ∴该三角形的斜边即为其外接圆的直径， ∴这个三角形的外接圆半径是5， 故答案为：5． 17. 如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解． 【详解】解：如图，设与相切于点G，与相切于点H，与相切于点I，与相切于点F， 、、、都和相切， ，，，． ， ． 故答案为：7． 18. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， ， ， ， ， 代数式能取的最小值是2024， 故答案为：2024． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先计算负整数幂，零指数幂，算术平方根与绝对值，再计算加减即可，熟练掌握实数的运算法则是关键． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号，合并同类项即可化简，再代入值进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21. 解方程: （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项后直接开方法即可求得答案; （2）移项后配方法即可求得答案． 【小问1详解】 解:∵, ∴移项得:, ∴, ∴; 【小问2详解】 解:∵, ∴移项得:, ∴配方得:, ∴整理得:, ∴直接开方得:; ∴移项得:． 22. 如图，已知坐标系中． （1）画出关于原点O对称的； （2）直接写出各顶点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的相关知识点，熟记相关结论是即可． （1）确定各顶点关于原点O的对称点即可完成作图； （2）关于原点O对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中图可得： 23. 已知抛物线与x轴相交于点，，且过点． （1）求此函数的表达式； （2）求顶点坐标． 【答案】（1）． （2）顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及求二次函数的顶点坐标， （1）设函数解析式为，将三点代入，解出、、即可； （2）将函数解析式化成顶点式，即可知道顶点坐标． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， ∵抛物线与x轴相交于点，，且过点． ∴， 解得：， ∴函数的表达式为：． 【小问2详解】 将函数的表达式变形：． ∴顶点坐标为． 24. 如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， （1）求证：是的切线； （2）直线与交于点，且，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， 的半径为3． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 25. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为； （2）销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（）可用待定系数法来确定与之间的函数关系式； （）根据利润销售量单件利润，然后将（）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质判断出最大利润； 此题主要考查了二次函数，一次函数等知识点的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型利用函数的增减性得出最值是解题的关键． 【小问1详解】 设，将、代入， 得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意得： ， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 26. 如图，二次函数的图象过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围； （3）过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立一次函数与二次函数解析式得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可； （3）设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C，分别求出当翻折后E与F重合，C与O重合时p的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立得， ∵一次函数的图象与二次函数的图象有交点， ∴方程有实数根， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C， ∴点C的坐标为（0，2）， ∵抛物线解析式为， ∴点E的坐标为（1，3）， ∴EF=3， 当经过翻折后所得部分与轴恰好只有一个交点时，即点E翻折后与点F重合， ∴此时MN垂直平分EF， ∴， 当经过翻折后所得部分与x轴的一个交点恰好为原点时，即点C翻折后与原点重合， 此时MN垂直平分OC， ∴， ∴当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与x轴的交点问题，翻折的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $