精品解析：吉林省实验中学2024-2025学年高二下学期学程性考试（二）（期中）数学试题

吉林省实验中学2024—2025学年度下学期 高二年级学程性考试（二）数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线在处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的求导法则及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为，所以， 又，所以，所以. 故选：A. 2. 对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【详解】由散点图可知，图（1）中两个变量成正相关，且散点图近似在一条直线上，所以且； 图（2）中两个变量成负相关，且散点图比较分散，所以且； 所以. 故选：D 3. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4个人分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个服务点有种方法， 故选:A. 4. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解. 【详解】因为因为随机变量服从二项分布， ． 故选：D 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出不等式，再利用分离参数法求解即可. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增， 得，，而恒有， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 6. 已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定全概率公式中各量，再由全概率公式计算可得. 【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， ∴由全概率公式可得： ， ∴任选一名运动员能够晋级的概率为0.51. 故选：C. 7. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（ ） A. 720 B. 1680 C. 4320 D. 5040 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先考虑除外剩下的4名金牌获得者的选取情况分两种和，再利用排列运算求解. 【详解】由题可得选中的6名金牌获得者中必须有，且至少有2名被选中， 则除外剩下的4名金牌获得者的选取情况种数为， 又必须在前3天介绍，所以符合条件的方法种数为. 故选：D. 8. 端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随机变量服从两点分布 B. 随着的增大，减少，增加 C. 当时，随机变量服从二项分布 D. 随着的增大，增加，减小 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲礼盒里随机取一粽子，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D. 【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确； 对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确； 对于C，由上分析，当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误； 对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而当时，；当时，， 由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为540 D. 展开式的有理项共有5项 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式以及二项式系数的性质求解即可. 【详解】对于选项A，令得，解得，所以展开式共有7项，故选项A错误； 对于选项B，因为，所以中间一项二项式系数最大，即二项式系数最大项是第4项，故选项B正确； 对于选项C，二项展开式的通项公式， 令，解得，所以常数项为，故选项C正确； 对于选项D，由于，若为整数，则可得，可得展开式的有理项共有4项，故选项D错误； 故选：. 11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A，根据相互独立事件的定义判断B，根据条件概率公式判断C，根据全概率公式判断D. 【详解】对于A：从甲罐取出一个球，取出球的颜色可能是红球、白球、黑球， 显然不可能同时是两个颜色，所以，，是两两互斥的事件，故A正确； 对于B：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故B错误； 对于C：因为，，所以，故C正确； 对于D：因为， 所以 ，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】0.1## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】随机变量服从正态分布，则， . 故答案为：0.1 13. 从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用分类计数加法原理，根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】由题意，在1∼15这15个数字中，5的倍数有5、10、15，共3个，所以事件发生的概率， 记事件表示 “第一次抽到数字为5的倍数且第二次抽到的数字小于第一次”. 若第一次抽到5，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 若第一次抽到15，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于15的卡片，有14种抽法. 所以. 根据条件概率公式，. 故答案为：. 14. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为， 3次检测结束的概率为， 则恰好检测四次停止的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求得函数的定义域，求导，令和，分别求解可得增区间与减区间； （2）利用（1）的单调性可得函数在的变化情况，进而可求量值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 令，得，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 又， ， ，易知， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为. 看现场直播 未看现场直播 男同学 x 女同学 150 250 （1）求x的值； （2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ （3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）； （2）有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关； （3） 0 1 2 ，期望为. 【解析】 【分析】（1）应用频率估计概率，列方程求参数； （2）由（1）写出列联表，求出卡方值，结合独立检验基本思想得结论即可； （3）由题设9人中有4名女同学、5名男同学，从9人任取2人，抽到女同学的人数，应用超几何分布的概率求法求对应概率，写出分布列并求期望. 【小问1详解】 由题设，可得； 【小问2详解】 由（1）得列联表如下： 看现场直播 未看现场直播 男同学 200 500 女同学 150 250 400 450 450 900 ， 所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关； 【小问3详解】 由题设及列联表知，抽取的9人中有3名女同学、6名男同学， 从9人任取2人，抽到女同学的人数， 则，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 . 17. 某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率与土壤的湿度的相关数据如下表： x 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 （1）求y关于x的相关系数r（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系？（如果，则认为y与x的线性相关性很强） （2）求y关于x的经验回归方程，并预测当土壤的湿度为时，种子的发芽率的值. 参考公式及数据：对于一组数据，，…，，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，，. 【答案】（1），与具有较强的线性相关关系 （2）关于的回归直线方程为，种子的发芽率的预测值为 【解析】 【分析】（1）由题意，计算，由相关系数得公式运算判断即可； （2）根据题意，求出，得到回归直线方程，代入值可求得预测值. 【小问1详解】 由题， 所以关于的相关系数， 所以与具有较强的线性相关关系. 【小问2详解】 ，则， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 所以当土壤的湿度为时，种子的发芽率的预测值为. 18. 有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，3张写有数字2. （1）如果从甲盒子中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？ （2）如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的两张卡片数字之和为X，求X的概率分布列及期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可； （2）利用古典概型概率公式与互斥事件概率加法公式可得分布列，进而可求期望. 【小问1详解】 取出的3张卡片都写有1的概率是； 【小问2详解】 的所有可能的取值为0,1,2,3,4； ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 . 19. 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急应对的一项课，某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排，原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式，记第n天王先生上班选择的是骑自行车出行为事件. （1）证明：当时，；并据此直接写出的计算公式； （2）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列和数学期望； （3）设表示事件的概率. ①求证：是等比数列； ②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由. 【答案】（1）证明：显然，当时，有， 所以有， 即， 同理可证. （2）分布列： X 1 2 3 P （3）①证明：设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”， 由全概率公式知 ． 所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列； ②理由：由①知 因为恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方式， 从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件， 所以王先生积极响应该市政府的号召． 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式直接推导即可； （2）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为，先算出和，再根据得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同分析即可写出分布列并计算数学期望； （3）设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知 ，带入相关量即可求出递推关系式，再通过构造法求出通项公式，再说明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为， ，， 由已知随机变量X的可能取值为1，2，3； ； ； ． 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 【小问3详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2024—2025学年度下学期 高二年级学程性考试（二）数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线在处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 10 2. 对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 4. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62 7. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（ ） A. 720 B. 1680 C. 4320 D. 5040 8. 端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随机变量服从两点分布 B. 随着的增大，减少，增加 C. 当时，随机变量服从二项分布 D. 随着的增大，增加，减小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为540 D. 展开式的有理项共有5项 11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件与相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，，则______. 13. 从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则_____． 14. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值. 16. 2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为. 看现场直播 未看现场直播 男同学 x 女同学 150 250 （1）求x的值； （2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ （3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 17. 某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率与土壤的湿度的相关数据如下表： x 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 （1）求y关于x的相关系数r（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系？（如果，则认为y与x的线性相关性很强） （2）求y关于x的经验回归方程，并预测当土壤的湿度为时，种子的发芽率的值. 参考公式及数据：对于一组数据，，…，，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，，，，. 18. 有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，3张写有数字2. （1）如果从甲盒子中取2张卡片，从乙盒中取1张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？ （2）如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的两张卡片数字之和为X，求X的概率分布列及期望. 19. 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急应对的一项课，某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排，原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式，记第n天王先生上班选择的是骑自行车出行为事件. （1）证明：当时，；并据此直接写出的计算公式； （2）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列和数学期望； （3）设表示事件的概率. ①求证：是等比数列； ②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $