精品解析：河北省邯郸市育华中学2024-2025学年八年级下学期数学期末考试

数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，在▱ABCD中，∠A＝125°，则∠1＝（ ） A. 65° B. 50° C. 55° D. 45° 3. 班级准备推选一名同学参加数学竞赛，下表是甲、乙、丙、丁四名同学近5次数学测验成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数/分 96 93 92 96 方差 1.8 0.5 1.8 0.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 数据“3，4，5”的平均数为，添加下列选项中的数据后得到的新数据的平均数为，若，则添加的数据为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 7. 下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A. 8分 B. 12分 C. 16分 D. 20分 8. 如图，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. 不等式的解集是 D. 方程的解是 9. 如图1，有一个由传感器控制的灯，要装在门上方离地高的墙E，任何东西只要移至该灯及5以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高的学生（即）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 10. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，小明在摩天轮上离地面的高度y（单位：）与旋转时间x（单位：）之间的关系如图2所示．下列结论不正确的是（ ） A. 摩天轮转一圈需要 B. 当时，小明离地的高度为 C. 当小明离地时，摩天轮恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 11. 平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （ ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A. 都是矩形 B. 都为菱形 C. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 12. 如图是某台阶的一部分，每一级台阶的长度和高度之比为，且各级台阶的长度和高度分别相等，在平面直角坐标系中，点的坐标是．有下列说法： 甲：同时经过点，，，，的直线的解析式为 乙：若直线使得～这些点分布在它的两侧，每侧各个点，则的取值范围为 关于甲、乙的说法，下列判断正确的是( ) A. 只有甲的正确 B. 只有乙的正确 C. 甲，乙的都不正确 D. 甲，乙的都正确 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______． 14. 将直线向下平移3个单位得到的直线经过点，则________． 15. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 _____米． 16. 如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为，现将玩具尾部点固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部沿射线移动，整个过程中六个菱形始终全等． （1）当的长为时，两点间的距离为_________； （2）当由变为时，点移动了_________． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. （1）计算 ①； ② （2）用适当的方法解下列方程 ①； ② 18. 如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． （1）若，，．求乙容器的体积； （2）若，，求甲盒子的侧面积 19. 图1是一种“天幕”，图2是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，，于点O，于点B，于点F，天晴时打开“天幕”遮阳，． （1）求遮阳宽度的长； （2）将拉绳固定在树干上，若支杆与树干的横向距离，求拉绳的长． 20. 某校组织八年级全体800名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从八年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据本；本；本；本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，类型有 名学生，并补全条形统计图； （2）被调查学生读书数量的众数为 ，中位数为 ； （3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计八年级800名学生共读书多少本？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于、两点．直线的图象分别与轴，轴交于、两点，且C点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． （1）求直线的函数解析式； （2）求、与轴所围成的三角形的面积； （3）将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，请直接写出整数的值为 22. 如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，分别连接，，，． （1）求证： （2）求证：四边形是矩形： （3）若，，，求的长 23. 如图，甲容器已装满水，高为20厘米的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定，设注水时间为（分），甲容器水面高为，乙容器水面高度为，其中与成正比例，且当时，；与成一次函数关系，部分对应值如下表： （分） 3 5 8 12 （1）分别写出与与的函数关系式，并求出未注水时乙容器原有水的高度； （2）当两个容器水面高度相同时，这个高度称为平衡高度，求甲、乙两个容器的平衡高度； （3）当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器是否注满？是，说明理由；不是，需调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度． 24. 如图，在中，，，连接，恰有．过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）的长度为 ，的长度为 ，的周长为 ； （2）①用含的式子表示； ②试判断是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、含有个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 如图，在▱ABCD中，∠A＝125°，则∠1＝（ ） A. 65° B. 50° C. 55° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得∠BCD=∠A，再根据补角定义即可得∠1的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠A=125°， ∴∠1=180°-∠BCD=55°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握“平行四边形的对角相等”． 3. 班级准备推选一名同学参加数学竞赛，下表是甲、乙、丙、丁四名同学近5次数学测验成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数/分 96 93 92 96 方差 1.8 0.5 1.8 0.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．根据选择平均数大，方差较小的参加竞赛即可解答． 【详解】解：∵甲和丁的平均数较大，乙和丁的方差较小， ∴选择丁竞赛； 故选D． 4. 如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．根据，为边的中点，结合点B，C对应的数求出长解答即可． 【详解】解：由图可知， ∵点为边的中点，， ∴， 故选：B． 5. 数据“3，4，5”的平均数为，添加下列选项中的数据后得到的新数据的平均数为，若，则添加的数据为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数的定义，指的是一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，确定总数量以及与总数量对应的总个数是解题的关键．依据平均数的定义和公式计算添加数据前后的平均数求解即可． 【详解】解：∵数据“3，4，5”的平均数为， ∴， 设添加的数据为， ∴， 解得：， 故选C 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：由题意，， 解得． 而， 故选：C． 7. 下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A. 8分 B. 12分 C. 16分 D. 20分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，立方根，零指数幂以及二次根式的乘除运算，根据分母有理化，相反数、倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了，不得分； ②的绝对值是，该题做对了，得4分； ③，该题没做，不得分； ④，则，该题做对了，得4分； ⑤，该题做对了，得4分； 综上，正确题数为3题，每题4分，总得分为（分）， 故选：B． 8. 如图，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. 不等式的解集是 D. 方程的解是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与不等式和二元一次方程组的关系，根据函数图象，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限， ∴，，故A错误； ∵直线经过第一、二、三象限， ∴，，故B错误； ∵直线与直线相交于点， 根据函数图象可得不等式的解集是，故C错误 ∴方程的解是，故D正确， 故选：D． 9. 如图1，有一个由传感器控制的灯，要装在门上方离地高的墙E，任何东西只要移至该灯及5以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高的学生（即）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，交于点，构造出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】过点作，交于点. 由题意可知，， 所以. 在中，， 由勾股定理得 ， 所以， 故学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为 故选A. 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 10. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，小明在摩天轮上离地面的高度y（单位：）与旋转时间x（单位：）之间的关系如图2所示．下列结论不正确的是（ ） A. 摩天轮转一圈需要 B. 当时，小明离地的高度为 C. 当小明离地时，摩天轮恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，常量和变量，分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可． 【详解】解：A．摩天轮转一圈需要，说法正确，故本选项不合题意； B．当时，小明离地的高度为，说法正确，故本选项不合题意； C．当小明离地时，摩天轮不一定转了，说法错误，故本选项符合题意； D．当时，y随x的增大而增大，说法正确，故本选项不合题意． 故选：C． 11. 平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （ ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A. 都是矩形 B. 都为菱形 C. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，涉及到平行线的性质、两个三角形全等的判定与性质、基本尺规作图等知识点，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定和性质、矩形的判定，全等三角形的判定和性质，作出相应辅助线，进行证明即可． 【详解】解：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， , , 在和中， ， ， , 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ,, , 在和中， ， ， , 为的中线， ， 四边形为平行四边形， 即图2为平行四边形； 连接、，如图所示： 同理得：， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形； 故选：C． 12. 如图是某台阶的一部分，每一级台阶的长度和高度之比为，且各级台阶的长度和高度分别相等，在平面直角坐标系中，点的坐标是．有下列说法： 甲：同时经过点，，，，的直线的解析式为 乙：若直线使得～这些点分布在它的两侧，每侧各个点，则的取值范围为 关于甲、乙的说法，下列判断正确的是( ) A. 只有甲的正确 B. 只有乙的正确 C. 甲，乙的都不正确 D. 甲，乙的都正确 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，读懂题意正确求出函数解析式是解题的关键． 先求出，、、，再利用待定系数法求出直线的解析式，再验证、、在直线上，即可判断甲；分别求出直线和直线的解析式，结合图象即可判断乙． 【详解】解：如图， 点的坐标是， ，， 每一级台阶的长度和高度之比为， ， ， ， 由题意可知，， 按照得到点的坐标的方法，可得到点、、， 把，代入中得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时， 当时， 当时， 即点、、都在直线上， 即同时经过点，，，，的直线的解析式为； 故甲正确； 如图，设直线的解析式为则，解得，即直线的解析式为； 设直线的解析式为则，解得，即直线的解析式为； 结合图象可知，若点，，，，，平均分布在直线的两侧，则的取值范围，故乙正确， 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立．把代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 将直线向下平移3个单位得到的直线经过点，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 根据题意直接利用平移的规律进行分析即可求得答案． 【详解】解：直线向下平移3个单位长度后经过点， ∴平移后的函数解析式是， 把，代入，可得： ， 解得：． 故答案为：3． 15. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 _____米． 【答案】2.7 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，， ∴， 在中，， ∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 16. 如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为，现将玩具尾部点固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部沿射线移动，整个过程中六个菱形始终全等． （1）当的长为时，两点间的距离为_________； （2）当由变为时，点移动了_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． （1）如图：连接相交于O，由菱形的性质可得，运用勾股定理可得，即，最后结合图形即可解答； （2）如图：连接，由菱形的性质和已知条件可得是等边三角形，即， ，最后结合图形即可解答． 【详解】解：（1）如图：连接相交于O， ∵菱形，， ∴， ∴，即， ∴两点间的距离为； 故答案为：； （2）如图：连接相交于O， 当时， ∵菱形，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴两点间的距离为； 当时， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴两点间的距离为； ∴点移动了． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. （1）计算 ①； ② （2）用适当的方法解下列方程 ①； ② 【答案】（1）①15；②；（2）①，；②，． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程的知识，掌握利用配方法和公式法解一元二次方程，是解答本题的关键． （1）①根据二次根式的乘除运算法则计算即可；②根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）①利用直接开平方法即可求解；②利用公式法即可求解． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）①， 开方得， 解得：，； ②， 即，，， 则方程判别式为：， 即方程有两个不相等的解， 即：， 则有：，． 18. 如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． （1）若，，．求乙容器的体积； （2）若，，求甲盒子的侧面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得乙容器的体积； 【小问2详解】 解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 19. 图1是一种“天幕”，图2是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，，于点O，于点B，于点F，天晴时打开“天幕”遮阳，． （1）求遮阳宽度的长； （2）将拉绳固定在树干上，若支杆与树干的横向距离，求拉绳的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，含的直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质，可得，，再利用勾股定理进行计算即可； （2）过点E作，垂足为G，结合题意可得：四边形是矩形，可得， ，，再进一步利用勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作，垂足为G，结合题意可得：四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，（负根舍去） 答：拉绳的长为； 20. 某校组织八年级全体800名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从八年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据本；本；本；本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，类型有 名学生，并补全条形统计图； （2）被调查学生读书数量的众数为 ，中位数为 ； （3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计八年级800名学生共读书多少本？ 【答案】（1）2， 补全条形统计图如下： = （2）2本；2本 （3）平均数2.3本，1840本 【解析】 【分析】（1）由两个统计图可知，B类人数为8人，占40%可得抽查总人数，进而求出D类的学生人数，即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的意义求解即可； （3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%＝20（人），则D类人数＝20×10%＝2（人）； 【小问2详解】 解：根据题意可知，被调查学生读书数量的众数为2本，中位数为2本； 【小问3详解】 解：被调查学生读书数量的平均数为：（本）， 估计八年级800名学生共读书本． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用涉及到求条形统计图中的相关数据、补全条形统计图、求中位数、众数、平均数以及用平均数估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于、两点．直线的图象分别与轴，轴交于、两点，且C点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． （1）求直线的函数解析式； （2）求、与轴所围成的三角形的面积； （3）将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，请直接写出整数的值为 【答案】（1）； （2）1 （3）2或3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的图形面积，求两直线的交点坐标，一次函数与几何综合，解不等式组等等； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出B、D的坐标，再求出两直线解析式即可求出答案； （3）先求出直线与直线、交点的横坐标，再由平移后与直线、同时有公共点，那么平移后点M一定在直线的非右侧，点N一定在直线的非左侧，据此列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：，解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 联立，解得， ∴、的交点坐标为， ∴、与y轴所围成的三角形的面积为； ； 【小问3详解】 解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵将线段向左平移n个单位，与直线、同时有公共点， ∴， 解得， ∴整数的值为2或3， 故答案为：2或3． 22. 如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，分别连接，，，． （1）求证： （2）求证：四边形是矩形： （3）若，，，求的长 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：由（1）知且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形和矩形判定及性质应用，解题关键在于利用平行四边形、矩形的判定定理和性质，结合全等三角形、勾股定理进行推理计算： （1）利用平行四边形对边平行得角相等，结合中点条件，通过证，得 ． （2）由且证平行四边形，再结合证得矩形 ． （3）先由矩形性质和勾股定理求、，得，再结合平行四边形性质求，最后在中用勾股定理算 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，； 在中， ， ∴， ∵是中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中， ． 23. 如图，甲容器已装满水，高为20厘米的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定，设注水时间为（分），甲容器水面高为，乙容器水面高度为，其中与成正比例，且当时，；与成一次函数关系，部分对应值如下表： （分） 3 5 8 12 （1）分别写出与与的函数关系式，并求出未注水时乙容器原有水的高度； （2）当两个容器水面高度相同时，这个高度称为平衡高度，求甲、乙两个容器的平衡高度； （3）当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器是否注满？是，说明理由；不是，需调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度． 【答案】（1），，未注水时乙容器原有水的高度为 （2）两个容器的平衡高度为 （3）不是， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法、函数相关知识是解题的关键． （1）根据与t成正比例，与t成一次函数关系，可设出对应的函数关系式，代入已知条件，即可求出未知数，得到函数关系式，当时，求出的即为乙容器原有水的高度． （2）当时，可解出此时的t，再代入解析式，即可求得，即为两容器的平衡高度． （3）当甲容器的水完全注入乙容器时，即，可求得此时的t，将t代入的关系式，即可求得乙容器原有水的高度． 【小问1详解】 解：∵与t成正比例， ∴设，当时，，代入得，解得， ∴与t的函数关系式为：． ∵与t成一次函数关系， ∴设，当时，，当时，，代入关系式， 有，解得， ∴与t的函数关系式为：． 当时，，未注水时乙容器原有水的高度为． 【小问2详解】 解：当时，即．解得．此时的平衡高度为． ∴两个容器的平衡高度为． 【小问3详解】 解：不是，理由如下： 设乙容器原有水的高度为，． 当甲容器的水完全注入乙容器时，，即，解得， 将代入中，解得． ∴符合条件的乙容器原有水的高度为． 24. 如图，在中，，，连接，恰有．过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）的长度为 ，的长度为 ，的周长为 ； （2）①用含的式子表示； ②试判断是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离． 【答案】（1）12；；36 （2）①；②的值为或4； （3）点，之间的距离为或． 【解析】 【分析】（1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解； （2）①分两种情况讨论，即可表示出； ②分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，，，， ，， ，，， ， ， 的周长为； 故答案为：12；；36； 【小问2详解】 解：①由题意得，， 当时，， 当时，； ∴； ②存在， 当为边即时， 四边形是平行四边形， ， ， ； 当为对角线即时， 四边形是平行四边形， ， ， ， 综上所述：的值为或4； 【小问3详解】 解：如图，当点的对称点在线段上时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 过点作于，则，， ，，， ， ， 在中， ； 如图，当点的对称点在线段的延长线上时， ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ； 过点作于，则，， ，，， ， ， 在中， ； 综上所述：点，之间的距离为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $