湖南省郴州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

郴州市2025年上学期期末学业质量监测试卷 高一数学参考答案及评分细则 (命题人：郴州市一中刘晓芬郴州市林邑中学李东璠 审题人：郴州市二中曹美莲郴州市三中于蕙萍) 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.) 1-5 BACCD 6-8 BBC 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.) 9.BC 10ABC 11.ABD 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.） 12.6.5 13.71452 3 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15答案：(1)F号a,Gā+万(2)2a+3-8 解析：(1)已知AB=a,AC-b,点E是AB的中点 则A正AB=a, 又因为AF-AC,所以AFAC=五， 根据向量减法的三角形法则EF=AFA正ba …（4分) 因为BC=AC-A正=万-a,且BG=BC 所以BC=BC=⑥-动， 高一数学答案第1页共7页 又丽=A丽=五， 根据向量减法的三角形法则EG-丽+BG五+石-可石+五…(8分) (2)已知AB=AC=2,则=AB=2,b=AC=2 又因为cos<a,石>则a.万=2×2×头1… (10分) 所以(2a+3b2-42+12a.b+9b2=16+12×1+36=64. (12分) 所以2石+3b-8.…(13分) 16答案：(1)a9=0.32b品-007 (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时： (3)两人来自不同组的概率P124 217 解析：(1)）a160=0.32.…(1分) 500 b35 500 =0.07.…(2分) (2)根据样本平均数公式可得 x=0.25×0.24+0.75×0.32+1.25×0.31+1.75×0.07+2.25×0.060.945≈0.9 所以估计该地区高中学生日均体有锻炼时长约为0.9小时：……(6分) (3)两组频率之比为243。共抽取7人，…(8分) 0.324 由分层抽样可知：[0,0.5)组抽取3人，[0.5,1）组抽取4人。…(9分) 设[0,0.5)组的3人分别为A1,A2,A3;[0.5,1)组的4人分别为B1,B2,B3,B4 从7人中随机抽取2人的所有基本事件有： （A1,A2),（A1,A3),(A1,B1),(A1,B2,(A1,B3),(A1,B4),(A2,A3),（A2,B1), (A2,B2,(A2,B3,(A2,B4,(A3,B1,(A3,B2,(Ag,B3,(A3,B4,(B1,B2 高一数学答案第2页共7页 (B1,B3),(B1,B4,(B2,B3),（B2,B4),（B3,B4)共21个…(12分) 其中两人来自不同组的基本事件有： （A1,B1),(A1,B2),(A1,B3,(A1,B4,(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),（A2,B4, (A3,B1),(A3,B2),(A3,B3）,（A3,B4)共12个。…(14分) 所以两人来自不同组的概率P24 217 (15分) 17.答案：(1)略(2)直线AD与平面ABE所成角的正弦值为 5 解析：(1)证明：取AB的中点M,连FM,CM 因为F为EB中点，所以FMIEA,FM三EA=l EA⊥平面ABC,DCI平面ABC故AEIDC 又EA=2DC=2故FMII DC且FMIIDO. 所以四边形FMCD是平行四边形… …(3分) 所以DFICM 因为△ABC是等边三角形，M是AB中点， 所以CM⊥AB 因为EAI平面ABC,EAC平面ABE 所以平面ABE1平面ABC…………(5分） 又平面ABE∩平面ABC=AB,CMCABC 所以CM⊥平面ABE 所以DF1平面ABE…(7分) 高一数学答案第3页共7页 (2)设△ABC边长为a则SAm2,又EA1平面ABC且EA2 所以VE-ABc=5BcEA=x9a2x22 解得a2.…（9分) 由(1)知，DF1平面ABE连AF. 所以∠DAF为直线AD与平面ABE所成角。…(10分） 因为DC⊥平面ABC,CAC平面ABC 所以DC⊥CA. 由勾股定理知：AD=√DC2+CA2=V12+22-√5.同理，BE=2W2 因为F为BE中点，所以AF=BE一√2.… …(11分) 由(1)知DF1平面ABE连AF,则DF1AF.所以DF=V5...(12分) 所以，在RtAADF中，Simn∠DAF-DF-点=压 AD 5 (14分) 5 即直线AD与平面ABE所成角的正弦值为 59 (15分) 18答案：(1)“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率为 144 (2)“棉队在两轮比赛中做对3题的概率为品 解析：(1)设“甲第i轮做对”为事件A,“乙第i轮做对”为事件B,1,2 已知P（A)子P(B)子，且A与B相互独立，各轮之间也相互独立.…(1分) “郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对0题 甲做对2题，乙做对0题的概率为P1=P(A1A2B1B2)=P(A1)P（A2)P(B1)P(B2) 小小小小小小…(2分) 16 高一数学答案第4页共7页 情况二：甲做对0题，乙做对2题 甲做对0题，乙做对2题的概率为P2=P(A1A2B1B2)=P(A)P(A2)P(B1)P(B2) 1 .…(4分） 36 情况三：甲做对1题，乙做对1题 甲做对1题的概率为P(AA2)P(本A2)P(A1)P(瓦)+P(石)P(A2) …(6分) 乙做对1题的概率为P(B1B2)+P(BB2)p(B1)P(B2)+P(B)P(B2)号 所以甲做对0题，乙做对2题的概率为P3=× 896 …(8分) 因为这三种情况互斥，…………（9分) 所以：P(“郴队”在两轮比赛中做对2题)=上++3 (10分) 16366144 (2)设甲第i轮做对为事件A,“乙第i轮做对”为事件B:,i=1,2 已知P(A)P(B)子P(A2)等，P(B2)子且各事件相互独立 （11分) “郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题 甲做对2题的概率为P(AA2)P(A1)P(A2)号 乙做对1题的概率为P(B,)+P(B82)P(B)P(E)+P(可)P(B)是 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为×5马 (13分) 5124 情况二：甲做对1题，乙做对2题 高一数学答案第5页共7页 甲做对1题的概率为P(A五)P(石A2)=P(A)P(五)+P(石)P(A2) 乙做对2题的概率为P2=P(B1B2)p(B1)P(B2) 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为乙× 17 20 240 (15分) 由于这两种情况互斥， (16分) 所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为7二 (17分) ”44040 19.答案：(1)y或4W2(2) 解析：(1）因为01350，所以∠BEP=450,…(1分) 又因为BP-4 BE-16 3 31 在△BEP中，由余弦定理可知：BP2=BE2+PE2-2 x PE x BE x cos∠BEP ………4…0……*…t……4…(4分） 即()2-（）2+P2-2×PB××号 2 3 (5分) 整理得：PE2-1pE0解得PE或PE-42. (8分) 3 (2)法一：因为E0=EP所以B0=BP+(1-四B尼…(10分) 又因为B脉=丽，酝=B配 所以B0-BF+(1-)B配…(11分) 因为F、O、C三点共线 所以叶(1-)=1… (12分) 变形得入号 (13分) 所以a+5n(1-)小s号-26一a-网子-9 高一数学答案第6页共7页 …(16分） 当且仅当，。=-四即1-兽，号-时，取一，所以1+的最大值为号-9 (17分) 法二：因为EO=EP所以BO=BP+(1-)BE (10分) 又因为BF=3BP,BE=BC 所以B6=BF+(1-川BC… (11分) 因为F、O、C三点共线 所以烤(1-)·=1 (12分) 变形得（停-）-)号… (13分) 因为0kK1,0K1,所以-心0,1-心0… (14分) 所以1+号-[()1-s号-2（信a)1-四号-29 …(16分) 当且仅当等-1-时取一，所以2+u的最大值为-25…(17分) 高一数学答案第7页共7页郴州市2025年上学期期末教学质量监测试卷 高一数学 (试题卷) 注意事项： 1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，共19小题，满分150 分.考试时间120分钟 2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、考室号及座位号 写在答题卡和试题卷的封面上。 3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在试卷上作答 无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题. 4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知a,b为实数，a+2i=-3+bi(为虚数单位)，则() A.a=-3,b=-2B.a=-3,b=2C.a=3,b=2 D.a=3,b=-2 2.已知向量d=(1,m),五=(m,2),若6，则（） A.mn=2 B.mn=-2 C.m+n=0 D.m-n=0 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2V3,AD=AA1=2,则直线A1C1和直线BC所成角的 大小为() A.300 B.450 C.600 D.900 4.某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（) A.3π B.V3n C. D.月 5.如图，矩形ABC'D是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中 AB=2,BC=4,则原四边形ABCD的周长为() A.12 B.28 C.8+210 D.20 O'B 高一数学试题第1页（共6页) 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosB+bcosA=4 csinC,cosA=-,则g() A.16 B.V15 c. D.4 7.同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用x表示白色般子的点数，y表示红色骰子的点数，设事 件A=“x+y=6,事件B=“y为偶数，事件C=x>3”,则下列结论正确的是() A.A与B对立 B.P(BC)= C.A与C相互独立 D.B与C相互独立 8.△ABC中，1-2sin2A=cos(2π-B),则4G-C的取值范围是( AB A(-) B.() c.) D.(0,2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项是符 合题目要求的，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.) 9.已知复数z=2-t(为虚数单位)，则以下说法正确的有() A.复数z的虚部为i B.z=5 C.复数z的共轭复数为z=2+i D.复数z在复平面内对应的点在第一象限 10.如图，在平面直角坐标系xAy中，A正=(2,0)，AD=(0,2V3),DC=(3,-V3),则下列说法 正确的有() A.BD=4 B.四边形ABCD的面积为4V3 C.△ABC的外接圆的周长为4π D.cos CB,CD=- 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为线段CC1 上的动点，动点P在平面A1BD内，则下列说法中正确的是() D A.当M为线段CC,中点时，平面BMD1截正方体所得的截面为平行四边形 B.当四面体ABMD的顶点在一个体积为：π的球面上时，CM= C.当P∈A1B时，PA+PC取得最小值2√2+√2 D.CP+PM的最小值为 高一数学试题第2页（共6页） 二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.) 12.已知一组数据：3,5,7,1,4,6,9,2，则这组数据的第75百分位数是 13.在正三棱台ABC-A1B,C,中，AB=2,A1B1=1,棱台的高为V3,则该棱台的体积为 14.在三棱锥C-ABD中，△ABD和△BCD均为边长为2V3的等边三角形，二面角A-BD-C 的大小为60°，则三棱锥C一ABD的外接球的表面积为 三、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（本小题13分)》 如图，在△ABC中，AB=AC,点E是AB的中点，点F,G分别是AC,BC的三等分点， 且AF-AC,BGBC.设A丽=a,AC-五 (1)用a,b表示EF,EG (2)若AB=AC-=2,cos<a,>=,求2a+3矶. E 高一数学试题第3页（共6页） 16.（本小题15分)》 为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众 体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人， 得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 频数 频率 [0,0.5) 120 0.24 [0.5,1) 160 a [1,1.5) 155 0.31 [1.5,2) 35 b [2,2.5) 30 0.06 合计 500 1 (1)求a和b的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）： (3)从0,0.5)和[0.5,1)两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人， 求这两人来自不同的组的概率 高一数学试题第4页（共6页) 17.(本小题15分) 如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC=2,F是EB的中点。△ABC为等边三角 形。 (1)证明：DF⊥平面ABE: (2)若Vg-4®c=9,求直线D与平面ABE所成角的正弦值 E 18.（本小题17分) 错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识。某班级数学老 师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏。并在班级发起错题重做挑战赛。甲和乙两 人组成“郴队”参加挑战赛。每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且 各轮结果也互不影响， (1)若甲每轮做对的概率为乙每轮做对的概率为求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为子，子，第二轮做对的概率分别为，求“郴队”在两轮 比赛中做对3题的概率， 高一数学试题第5页（共6页） 19(本小题17分) 在2025年斯诺克世界锦标赛中，中国选手赵心童展现了卓越的球技，成为首位获得世锦 赛冠军的中国选手，同时也是亚洲首位斯诺克世锦赛冠军假设在一次模拟的斯诺克比赛中， 球桌的尺寸为矩形ABCD,斯诺克选手需要从一个特定角度0击球，使球从E点出发，经过点 P,最终进人袋口B,如图所示其中，BP严，BE兰，AB,BC足够长。 (1)若0=135°，求PE; (2)若B=B丽，CF交PE于点O,设B呢=BC,E0=乎，其中1，μe(0,1), 求入+μ的最大值 D E 高一数学试题第6页（共6页）