精品解析： 湖南省长沙市宁乡市一中紫金中学 2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市宁乡市紫金中学九年级（上） 期中数学试卷 一、单选题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是中心对称图形，符合题意，选项正确； C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是熟记只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；根据一元二次方程的定义逐项判定即可． 【详解】解：、是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、含有两个未知数，故本选项不符合题意； 、不是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 4. 抛物线与轴交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点坐标． 此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求抛物线与轴的交点的坐标的方法，比较简单． 【详解】解：把代入抛物线，得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故选：C． 5. 正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 6. 如图所示，表示圆心角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 7. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝上 B. 抛一颗骰子，点数不大于6 C. 射击运动员射击一次，击中靶心 D. 打开广播，正在播报新闻 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念等知识点．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故选项不符合题意； B．抛一颗骰子，点数不大于6必然事件，故选项符合题意； C．射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，故选项不符合题意； D．打开广播，正在播报新闻是不可能事件，故选项不符合题意， 故选：B． 8. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 9. 如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂径定理得到AC=BC=AB=2，然后根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵OC⊥弦AB于点C， ∴AC=BC=AB=2， 在Rt△OBC中，OB=． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理． 10. 如图为二次函数（）的图象，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，进而结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线开口向下，图象与轴交于正半轴， ∴，． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴． ∴，，故①②说法正确； 由图象可得，当时，，故③说法错误； ∵抛物线过， ∴当时，． 又∵， ∴，故④说法错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取最大值为， ∴当时，， ∴，即，故⑤说法正确． 正确的有①②⑤，共个． 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）． 11. 方程化成一元二次方程的一般形式是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握基本概念是解题的关键．根据一元二次方程的一般式，计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长是 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：， ∴扇形的弧长是． 故答案为：． 13. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：，进而可得答案． 【详解】解：∵与是弧所对的圆周角与圆心角，， ∴． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 15. 如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 16. 如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将顺时针旋转到位置，得到直角三角形，可求出，再证明，得到，进而求出，过点A作，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再在直角三角形求出． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转到位置，连接 ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过旋转构造全等三角形得到，由求出． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）先将方程变为一般形式，然后因式分解，最后求出方程的解即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：，． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中． （1）画出关于原点对称的，并写出其各顶点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解： 如图，即为所求； ，，； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图——中心对称图形，三角形的面积，解题的关键是掌握网格结构，准确找出对应点的位置． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、、关于原点对称的对应点、、的坐标，再依次连接即可； （2）利用割补法求的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 19. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》要求中学生学会做家务，劳动教育中不仅包含在学校劳动，也包含家庭中的家务劳动．小林家的厨房有面粉和淀粉共袋，标签已经模糊不清了，分别是：．土豆淀粉、．豌豆淀粉、．红薯淀粉、．面粉，由于它们的外观非常接近，无法直接分辨． （1）若姐姐想做凉粉，她从这四个袋子中随机拿出1袋，恰好是“．豌豆淀粉”的概率是______； （2）小林做饭时，从这四个袋子中随机取出了袋，请用画树状图或列表的方法求他取出的这袋恰好是“．土豆淀粉”和“．面粉”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用画树状图法求概率， （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，取出的这袋恰好是和的结果有种，再由概率公式求解即可； 解题的关键理解树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件． 【小问1详解】 解：∵小林家的厨房有面粉和淀粉共4袋，分别是：．土豆淀粉、．豌豆淀粉、．红薯淀粉、．面粉， ∴她从这四个袋子中随机拿出1袋，恰好是“．豌豆淀粉”的概率是； 【小问2详解】 画树状图如图： 共有种等可能的结果，取出的这袋恰好是和的结果有种， ∴他取出的这袋恰好是“．土豆淀粉”和“．面粉”的概率为． 20. 已知二次函数． （1）用配方法将解析式化为的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可； （2）令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， 这条抛物线与x轴的交点坐标为，． 21. 如图，在中，． （1）若，求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，已知，，得到，，结合，得到，得到； （2）连接并延长，交与，已知，，得到，，在中，由勾股定理求得， 设，则，在中，根据勾股定理即可求得的半径． 【小问1详解】 解：连接， 在中， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接并延长，交与， ∵，， ∴垂直平分，即，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为 22. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． （1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）18元 （2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【解析】 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【小问1详解】 解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若，，则　　． 【答案】（1） 证明：连接、， 为的直径， ， ， 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据等腰三角形的性质可得是的中位线，进而可得是的切线； （2）根据三角函数计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数，中位线定理，圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24. 平面直接坐标系中，点的横坐标x的绝对值表示为，纵坐标y的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即． （1）已知点，，则______，______； （2）若点C在一次函数的图象上，且，求点C的坐标； （3）若抛物线与直线只有一个交点D，已知点D在第一象限，且，令，试求t的取值范围． 【答案】（1）4，3； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题目中所给定义勾股值，分别计算出和即可； （2）不妨设，此时需要进行分类讨论求解当时；当时；当时； （3）根据二次函数图象性质直接判断． 【小问1详解】 解：，， ，， 故答案为：4，3． 【小问2详解】 解：设，即， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， ； 故满足条件的有：或； 【小问3详解】 解：抛物线与直线只有一个交点， 方程组只有一组解． 消去得：， ， ， 可化为：， ， ． ， 在第一象限， ， ． ， ， ， ， ，抛物线开口向下，对称轴是， 随的增大而增大， ． 【点睛】本题考查新定义类问题，绝对值法则、一次函数的性质、二次函数的图象和性质，解题的关键是表示点的坐标，利用函数的性质求解． 25. 如图，抛物线与轴交于两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由； （3）设抛物线上有一个动点，当点在抛物线上滑动到什么位置满足，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）（1，-2）；（3）（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4） 【解析】 【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值． （2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点D，要使DA+DC的值最小，则点D就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=1代入即可得到点D的坐标； （3）根据S△EAB=8，求得E的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得E点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点， ∴方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=3， ∴-1+3=-b， -1×3=c， ∴b=-2，c=-3， ∴二次函数解析式是y=x2-2x-3． （2）∵点A、B关于对称轴对称， ∴点D为BC与对称轴的交点时，DA+DC的值最小． 设直线BC的解析式为y=kx+t（k≠0）， 则， 解得：． ∴直线BC的解析式为y=x-3． ∵抛物线的对称轴为直线x=1． ∴当x=1时，y=-2． ∴抛物线对称轴上存在点M（1，-2）符合题意； （3）设E的纵坐标为， ∵S△EAB=8， ∴AB•=8， ∵AB=3+1=4， ∴=4， ∴=±4， 把=4代入解析式得，4=x2-2x-3， 解得，x=1±2， 把=-4代入解析式得，-4=x2-2x-3， 解得，x=1， ∴点E在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4）时，满足S△EAB=8． 【点睛】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省长沙市宁乡市紫金中学九年级（上） 期中数学试卷 一、单选题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 4. 抛物线与轴交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 6. 如图所示，表示圆心角的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝上 B. 抛一颗骰子，点数不大于6 C. 射击运动员射击一次，击中靶心 D. 打开广播，正在播报新闻 8. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（　　） A. B. C. D. 10. 如图为二次函数（）的图象，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，则下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）． 11. 方程化成一元二次方程的一般形式是____． 12. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长是 ____________． 13. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为 _____． 14. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 15. 如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________． 16. 如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，已知在平面直角坐标系中． （1）画出关于原点对称的，并写出其各顶点坐标； （2）求的面积． 19. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》要求中学生学会做家务，劳动教育中不仅包含在学校劳动，也包含家庭中的家务劳动．小林家的厨房有面粉和淀粉共袋，标签已经模糊不清了，分别是：．土豆淀粉、．豌豆淀粉、．红薯淀粉、．面粉，由于它们的外观非常接近，无法直接分辨． （1）若姐姐想做凉粉，她从这四个袋子中随机拿出1袋，恰好是“．豌豆淀粉”的概率是______； （2）小林做饭时，从这四个袋子中随机取出了袋，请用画树状图或列表的方法求他取出的这袋恰好是“．土豆淀粉”和“．面粉”的概率． 20. 已知二次函数． （1）用配方法将解析式化为的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 21. 如图，在中，． （1）若，求的度数； （2）若，求的半径． 22. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． （1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 23. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若，，则　　． 24. 平面直接坐标系中，点的横坐标x的绝对值表示为，纵坐标y的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即． （1）已知点，，则______，______； （2）若点C在一次函数的图象上，且，求点C的坐标； （3）若抛物线与直线只有一个交点D，已知点D在第一象限，且，令，试求t的取值范围． 25. 如图，抛物线与轴交于两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由； （3）设抛物线上有一个动点，当点在抛物线上滑动到什么位置满足，并求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $