福建省泉州市十校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

高二年数学科试卷第 1页，共 4页 2025 年春季期末联考高二年数学科试卷 命题人：晋江学校 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合� = {1,2,3,4,5,6}，� = {1,2,4}，则∁�� =( ) A. � B. {1,3,5} C. {3,5,6} D. {2,4,6} 2.若复数�满足�(1 + �) = 2�，则�等于( ) A. 1 + � B. −1 + � C. 1 − � D. −1+ � 3.已知盒子里有 10 个球(除颜色外其他属性都相同)，其中 6 个白球，4 个黑球，从盒子 中一次随机地取出 2 个球，其中至少有 1 个黑球的概率为( ) A. 15 B. 2 3 C. 1 3 D. 2 5 4.向量� , � , �在正方形网格中的位置如图所示.若向量�� + � 与�共线，则 实数� =( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 2 5.“� > �“是“� > |�|“的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(��)， 对于一个强度为�的声波，其音量的大小�可由如下的公式计算：� = 10 ⋅ lg ��0 (其中�0是人 耳能听到的声音的最低声波强度).设�1 = 70 ��的声音强度为�1，�2 = 60 ��的声音强度为 �2，则�1是�2的( ) A. 76倍 B. 10 倍 C. 10 7 6倍 D. ln 76倍 7.设两个相互独立事件�，�都不发生的概率为19，则�与�都发生的概率的取值范围是( ) A. 0, 89 B. 1 9 , 5 9 C. 2 3 , 8 9 D. 0, 4 9 8.若定义在�上的函数�(�) = −8� 2 + 8�, 0 ≤ � < 1 −�(� − 1), 1 ≤ � ≤ 2，且�(� + 1) = �(� − 1)，�(�) = 1 1−�， 函数ℎ(�) = �(�) − �(�)在区间[ − 3,1) ∪ (1,5]上的所有零点为�1，�2，…，��，则 �=1 � �� 等于( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.对于函数�(�) = |���2�|和�(�) = |���2�|，下列正确的有( ) A. �(�)与�(�)有相同零点 B. �(�)与�(�)有相同最大值 C. �(�)与�(�)有相同的最小正周期 D. �(�)与�(�)的图象有相同的对称轴 高二年数学科试卷第 2页，共 4页 10.如图，在直三棱柱��� − ���中，�� = �� = �� = 2，�� ⊥ ��，�为��的中点，则( ) A. �� ⊥ �� B. 三棱锥� −���的体积为43 C. 直线��与��所成角的余弦值为 105 D.三棱锥� − ���的外接球的表面积为 12� 11.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查， 其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4 5，女生喜欢抖音的人 数占女生人数的 3 5，若有 95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可 能有( )人 附表： �(�2 ≥ �0) 0.050 0.010 � 3.841 6.635 附：�2 = �(ad−bc) 2 (�+�)(�+�)(�+�)(�+�)，� = � + � + � + �． A. 40 B. 45 C. 63 D. 70 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.(2� − 1� ) 6展开式的常数项为______． 13.已知�(�)是定义在 R 上的可导函数，若 ��� ��→0 �(1+��)−�(1−��) �� =− 1，则� ′(1) = ． 14.毕业晚会结束后，学生们排队合影留念．将 10 个座位和 10 名学生从 1 − 10 进行编号， 编号为 1 的学生先从 10 个座位中任选一个，从编号为 2 的学生开始按照编号从小到大的 顺序依次选座，选座规则为：若学生编号对应的座位未被选，则该学生坐在对应编号的座 位，若学生编号对应的座位已被选，则该学生从剩余的座位中任选一个，则 3 号学生坐在 3 号座位的概率为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) ��2.5 是指空气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量 与��2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与��2.5 的数据 如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量�(万辆) 50 51 54 57 58 ��2.5 的浓度�(微克/立方米) 69 70 74 78 79 高二年数学科试卷第 3页，共 4页 (1)根据上表数据，请在右侧坐标系中画出散点图； (2)根据上表数据，用最小二乘法求出�关于�的线性回 归方程� = �� + �；若周六同一时间段车流量是 25 万 辆，预测此时��2.5 的浓度为多少(保留整数)？ 参考公式：� = �=1 � (��−�) (��−�) �=1 � (��−�)2 = �=1 � �� ��−��� �=1 � �� 2 −��2 ，� = � − �� 16.(本小题 15 分) 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素 而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结 合.已知�、�、�分别为△ ���内角�、�、�的对边： (1)请用向量方法证明余弦定理�2 = �2 + �2 − 2������； (2)若� = 2，� = 1，� = 120�，其中�为��边上的中线，求��的长度． 17.(本小题 15 分) 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每 年 4 月 23 日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调 查了 100 位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分 布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，估计这 100 位年轻人每天阅 读时间的平均数�(单位：分钟)；(同一组数据用该组数 据区间的中点值表示) (2)若年轻人每天阅读时间�近似地服从正态分布 �(�, 100)，其中�近似为样本平均数�，求�(64 < � ≤ 94)； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位 于分组[50,60), [60,70), [80,90)的年轻人中抽取 10 人，再从中任选 3 人进行调查，求抽到 每天阅读时间位于[80,90)的人数�的分布列和数学期望．附参考数据：若� ∼ �(�, �2)，则 ①�(� − � < � ≤ � + �) = 0.6827；②�(� − 2� < � ≤ � + 2�) = 0.9545；③�(� − 3� < � ≤ � + 3�) = 0.9973. 高二年数学科试卷第 4页，共 4页 18.(本小题 17 分) 如图，四棱锥�— ����中，�� ⊥底面����．四边形����中，�� ⊥ ��，�� + �� = 4， �� = 2，∠ ��� = 45°． (1)求证：平面��� ⊥平面���； (2)设�� = ��． ①若直线��与平面���所成的角为 30°，求线段��的长； ②在线段��上是否存在一个点�，使得点�到点�，�，�，�的距离都相等？说明理由． 19.(本小题 17 分) 已知函数�(�) = �� + sin� − �� − 1． (1)当� = 1 时，求曲线� = �(�)在点(0, �(0))处的切线方程； (2)若�(�)在区间(0, + ∞)上单调递增，求�的取值范围； (3)当 1 ≤ � < 2 时，讨论�(�)零点的个数． 2025年春季期末联考高二年数学科参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合U={1,2,3,4,5,6,M={1,24},则CwM=() A.U B.{1,3,5 C.3,5,6 D.{2,4,6 【答案】C 解：集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},CM={3,5,6},故答案选C. 2.若复数z满足z(1+)=2i,则z等于() A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1+i 【答案】A 解，度数满足21+0=2,2=益-品==1+故选：A 2 3.已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中6个白球，4个黑球，从盒子中 一次随机地取出2个球，其中至少有1个黑球的概率为() A号 B c D.号 【答案】B 解：盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同）， 其中6个白球，4个黑球，从盒子中一次随机地取出2个球， 至少有1个黑球的对立事件是取到两个白球，其中至少有1个黑球的概率为： P=1- 号 故选：B 4.向量石，五，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量石+五与C共线，则实数1=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 第1页，共14项 解：建立如图所示平面直角坐标系，取小正方形的边长为1， 则a=(1,1),五=(0，-1)，=(2,1)， ∴a+b=(亿，1-1)，向量a+与共线， 1-2(1-1)=0,1=2.故选D. 5.“x>a“是“x>|a“的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 解：若a≥0，由x>|al得x>a, 若a<0,则由x>|a得x>-a,此时x>-a>a成立，即必要性成立， 当a<0时，不妨设a=-1,则由x>-1,不一定推出x>|-1川，即充分性不成立， 则“x>a“是“x>|a“的必要不充分条件，故选：B. 6.我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB), 对于一个强度为的声波，其音量的大小n可由如下的公式计算：”=10g(其中1，是人耳 能听到的声音的最低声波强度).设1=70dB的声音强度为l1,2=60dB的声音强度为l2, 则11是12的() A名倍 B.10倍 C.10倍 D.1n乙倍 【答案】B 解：由题意，令70=10g会解得，4=6×10， 令60=10g解得，12=16×10，所以始=10故选B。 7.设两个相互独立事件A,B都不发生的概率为 ,则A与B都发生的概率的取值范围是() a[o别 B6周引 c [o 【答案】D 第2页，共14页 解：设事件A,B发生的概率分别为P(A)=x,P(B)=y, 则Pa)=PAP@)=(1-x)(1-)= 即1+y=g+x+y≥号+2网，当且仅当x=y时取“=”， 所以xy-2网+号>0，得√网≤或√可≥（舍去）， 所以0≤y≤所以PAB)=P(A)P(B)=xy∈O,.故选：D. 8若定义在R上的函数f=气+8： ,且fc+1)=fc-1)96= 函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-3,1)U(1,5]上的所有零点为x1,x2,xn,则1名 等于() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 解；f(x)=-fx-1)(1≤x≤2)，∴fx)的函数图象在(0,2)上关于点(1,0)对称， 又f(x+1)=f(x-1),∴f(x)的周期为2，·fx)的图象关于点(1,0)对称， 又g()=二的图象关于点(10)对称，“h()=f)-9(x)在[-3,1)U(1,上的所有零点 两两关于点(1,0)对称，作出f(x)与g(x)的函数图象如图所示： 由图象可知f(x)与g(x)在区间[-3,1)U(1,5]上有8个交点， “1x=4×2=8.故选：D. 第3页，共14页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.对于函数f(x)=|sin2x和g(x)=|cos2x,下列正确的有() A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 【答案】BCD 解：根据思意，设kE乙，对于A,f)=sm2x的零点满足x=受 9)=1c0s2的零点满足x=+受可知A项不正确， 对于B,根据正弦函数与余弦函数的性质，可知f(x)与g(x)有相同的最大值为1，B项正确. 对于C,根据y=sm2x的周期T=号=元，可知f)=sn2x的周期为2 同理可得g(x)=|cos2x的周期为5，所以f(x)与g(x)有相同的周期，C项正确. 对于D,由f(受-)=sin(km-2x1=1sin2刘=f),可得f)的图象关于直线x= 4 对称：根据g(受-)=1os(-2x)1=1cos2=9),可知g()的图象关于直线x=号 对称，所以函数f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴，故D项正确.故选：BCD. 10.如图，在直三棱柱ABC一DEF中，AD=AB=BC=2,AB L BC,M为AD的中点，则() A.ME⊥EC B.三棱锥F-MEC的体积为号 C.直线ME与AC所成角的余弦值为四 5 D.三棱锥E-ABC的外接球的表面积为12π 【答案】BCD 【解析】解：如图，设N,G分别为EB,FC的中点，连接MN,MG,EG,AF 在直三棱柱ABC-DEF中，有MD⊥DE,CF⊥EF,AM⊥AC. 因为AD=AB=BC=2,M为AD的中点， 所以ME2=MD2+DE2=5,CE2=BE2+BC2=8. 又AB1BC,所以AC2=AB2+BC2=8,MC2=MA2+AC2=9, 第4页，共14页 则ME2+CE2≠MC2,从而ME与EC不垂直，A不正确. 易得MN1平面EFC,则VF-MEc=VM-Ec=aEC·MN =专××2×2×2=子B正确.易知MG1/AC,则ME与AC所成的角为LEMG, 1 MG2=AC2=8,EG2=EF2+FG2=5, D COSLEMG ME2+MG2-EG2_10 5 ,C正确 2ME-MG 易知三棱锥E-ABC的外接球即为直三棱柱ABC-DEF的外 接球， 该外接球的直径为AF=√AC2+CF2=2V3, 则三棱锥E-ABC的外接球的表面积为4×（②）2=12，D正确， 11.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查， 其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数 占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能 有()人 附表： P(K2zko) 0.050 0.010 k 3.841 6.635 附：K2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,n=a+b+c+d. A.40 B.45 C.63 D.70 【答案】BD 解：设男生人数为m,则男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女 生人数的n,所以k=2子n2 2>3.841,n>40.3305, nxnxanxn 2 由题意知，n>0,且n是5的整数倍.故选BD. 第5页，共14页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12(2x-)展开式的常数项为 【答案】-160 【解析】【分析】 解：(2x-)展开式的通项公式为T+1=C%·26-t·(-1)少y·x6-2r,令6-2r=0,求得 r=3,故常数项为-160，故答案为：-160. 13.已知f:是定义在R上的可导函数，若m+f4型=-1，则f'四=一 x0 Ax 【答案】- 【解析】解：由导数定义可知f'(L)=m+4)f-42=专imf+49-f-A=- 4x-+024x 24x→04x 1×=-2故答案为：- 14.毕业晚会结束后，学生们排队合影留念.将10个座位和10名学生从1一10进行编号， 编号为1的学生先从10个座位中任选一个，从编号为2的学生开始按照编号从小到大的 顺序依次选座，选座规则为：若学生编号对应的座位未被选，则该学生坐在对应编号的座 位，若学生编号对应的座位已被选，则该学生从剩余的座位中任选一个，则3号学生坐在 3号座位的概率为 【答案】 解：设事件A1,A2,A3分别为1号学生选择1,2,3号座位，事件A0为1号学生选择4-10 号座位，易知P4,)-P(4,)-P4)-品P4o)=0 设事件B为3号学生坐在3号座位，所以P(BA1)=P(BA)=1, P(8Ag)=0,P(8A)=1-号号 P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)+P(Ao)P(BIAo) =0×1+0×号+0×0+0×1=号 第6页，共14页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)散点图如图所示： 80 78 76 74 ….3分（连起来得1分) 70 0 50 52 545658 (②)~7=50+51+54+57+58=54， 5 4分 万=69+70+74+78+79=74,5分 5 1(x-习0y1-习=64,1(x-习2=50,7分 b=0=1.28,.9分 a=y-bx=74-1.28×54=488,.10分 y关于x的线性回归方程是：y=1.28x+4.8811分 当x=2.5时，y=1.28×25+4.88=36.88≈37,12分 所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37. 413分 16.解：(1)已知：△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b, c:求证：a2=b2+c2-2 bccosA, 6 证明：如图所示，2分（作图) B 由平面向量的三角形法则知，BC=AC一AB, .4分 所以B元2=a元-AB2=AC2-2AC.AB+AB,…6分 即a2=b2+c2-2 bccosA..7分 第7页，共14页 (2)因为AD=2(4丽+AC),9分 所以4D2=A丽2+2A丽.AC+AC.11分 =b2+2bc0sA+c12分 =×(4-2×2×1x号+1)=是 14分 所以A而1=号，即AD的长度是号 15分（其他方法老师们酌情给分） 17.解：(1)根据频率分布直方图得： 元=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74.3分 (2)由题意知X~N(74,100),即u=74,0=10,…4分 所以P64<X<94=Pu-g<X<μ+20）=06827409545=0.8186.…6分 2 (3)由题意可知频率分布直方图中[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1：2：2， 故抽取的10人中每天阅读时间位于[50,60)，[60,70)和[80,90)的分别有：2人，4人， 4人， 7分 随机变量5的取值可能为0,1,2,3，…8分 P(=0)= Cio P(《=2)= 12分 故专的分布列为： 0 1 2 3 P 1 1 3 1 6 2 10 30 13分 所以E③=0×名+1×+2×品+3×品=号 15分 第8页，共14页 18.(本小题17分) 【答案】解法一：(1)因为PA1平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA1AB.1分 又AB1AD,PAO AD=A,2分 所以AB1平面PAD.3分 又ABC平面PAB,4分 所以平面PAB1平面PAD.5分 (2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A一xyz(如图)· 在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E,则CE⊥AD, 在Rt△CDE中，DE=CDc0s45°=1，CE=CD-sin45°=1.6分 设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4得AD=4-t, 所以E0,3-t,0),c13-t,0,D0,4-t,0),C历=(-1,10)，PD=0,4-t,-t0 7分 ①没平面PCD的法向量为n=(x,y,z). -x+y=0 由n1C⑦，n1P历，得l4-y-=0 取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(化，t,4-t).…9分 第9页，共14页 又P8=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30得 n.PB 22-4d c0s60°= 即vP+2+(4-分V22 10分 4 4 解得t=5或t=4(舍去，因为AD=4-t>0),所以AB=5.12分 ②假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. 设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t), 则G元=0.3-t-m,0),C⑦=0,4-t-m,0,G7=(0,-m,0.13分 由同到=团得12+8-t-m2=4-t-m3,14分 即t=3-m:(015分 第10页，共14页