精品解析：福建省福州第八中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

福州八中2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：江莹辉 审核：陈达辉 校对：陈楚 2025.07.08 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，是的共轭复数，则＝ A. B. C. 1 D. －1 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据复数的除法先求得复数，于是可得，然后再求即可． 详解：由题意得， ∴， ∴． 故选C． 点睛：对复数的考查以基础知识为主，考查的重点有两个：一是复数的四则运算，二是复数的基本概念．解题的关键是准确进行复数的运算、正确握复数的基本概念． 2. 已知平面向量、满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，再结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，则， 又因为，，故，解得. 故选：A. 3. 甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算直接得出结果. 【详解】设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件， 则， 解得. 故选：C 4. 已知三个不同的平面，，和三条不重合的直线，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的判断定理与性质定理判断A；利用面面垂直的判定定理可判断B；利用线面，线线的位置关系可判断C；由线面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，若，且，设，，则，，且，故，故A正确； 对于B，，，，又，，故B正确； 对于C，若，，则或异面，故C错误； 对于D，若，，，，则，又，，，故D正确. 故选：C 5. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为，故选D． 6. 已知函数，，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】由题意可知： ， 当时，则，所以 故选：B. 7. 已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值. 【详解】解：∵，而， ∴，又，即， 又，， ∴， 若，则， ∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则， ∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又， ∴当且仅当三点共线且时，最小为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由已知确定，， 构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题. 8. 已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与，，相切的球，利用勾股定理求出棱长最大的正方体的外接球的半径，进而可得出答案. 【详解】如图，作出圆台的轴截面， 要使正方体棱长最大，则此时正方体的外接球应为圆台内与，，相切的球， 设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 设圆台内正方体的棱长最大值为，则， ． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 第41百分位数 D. 方差 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数，百分位数的计算即可判断AC,举例即可判断BD. 【详解】设这9个数分别为，，，，，，，，， 且， 则中位数为， 去掉最大和最小的数据，得，，，，，，，中位数为， 故中位数一定不变；故A正确， 由，得，，，，，，，，的第41百分位数为， 由，得，，，，，，的第41百分位数为， 故第41百分位数不变，故C正确， 设这9个数分别1，2，3，4，5，6，7，8，9， 则平均数为， 方差为 ， 去掉最大和最小的数据为2，3，4，5，6，7，8， 则平均数为， 方差为， 所以此时方差改变了，故D错， 设这9个数分别，2，3，4，5，6，7，9，10， 则平均数为， 去掉最大和最小的数据为2，3，4，5，6，7，9， 此时平均数为，所以此时平均数改变了，故B错． 故选：AC． 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图象求出得解析式，然后利用正弦型函数的相关性质逐项判断即可. 【详解】由题意可得，，，所以， 所以，所以， 又，因为，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； 令，解得， 所以在单调递减，而，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，故D正确. 故选：ACD 11. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（ ） A. B. 该截角四面体的表面积为 C. D. 该截角四面体的外接球表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】确定截角四面体是由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，还原正四面体可判断AB，然后分别求解截角四面体的表面积、外接球的表面积,即可判断选项C，D. 【详解】截角四面体还原为正四面体，如图， 因为，所以,而为等边三角形，,故不成立，故A错误； 截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成, 故，故选项B正确； 连接,则,，由正四面中对棱互相垂直知, 所以,在中，，故C正确； 取上下底面的中心分别为,外接球的心为M，连接，如图， 因为截角四面体上下底面距离为设球半径为， 所以，即， 所以 化简得，故，故选项D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 【答案】0.75## 【解析】 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 13. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理求出，再结合正弦定理即可求得答案. 【详解】由于，设， 由可得，即， 解得（负值舍）， 故， 故答案为： 14. 已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，作出图形，设，，利用余弦定理求出的值，对点的位置进行分类讨论，求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求出的取值范围，再利用平面向量数量积的定义可求得的取值范围. 【详解】在等腰中，，则， 若，则，矛盾； 若，则，合乎题意. 由于余弦定理可得， 设，， 当点在优弧（不包括点、）上运动时，，则， 由余弦定理可得， 所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立， 又因为，此时，， 此时，； 当点与点或点重合时，； 当点在劣弧（不包括点、）上运动时，， 此时，， 由余弦定理可得， 即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立， 又因为，则， 此时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知O为坐标原点，向量､分别对应复数，，且，，若是实数. （1）求实数a的值； （2）求以､为邻边的平行四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合为实数求得的值，（2）求得、对应的点的坐标，再由的值计算夹角的正余弦，则可求面积． 【小问1详解】 由，得 ，则的虚部为0， ． 解得：或． 又，． 【小问2详解】 由（1）可知，． ，，． ．所以， 所以， 所以以､为邻边的平行四边形的面积 16. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【小问1详解】 依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得 成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：； 成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人. 【小问2详解】 由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为. 【小问3详解】 由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 17. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由菱形可得， 平面平面，平面平面， 又正方形中， 平面，又平面，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证. （2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，则平面. 过作于，连接， 因平面，则， 又平面，，故平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，设，，， ，，， . 即二面角的余弦值为. 18. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米. 【解析】 【分析】（1）用余弦定理列方程，结合基本不等式求得，也即两机器人运动路程和的最大值. （2）（i）利用正弦定理求得； （ii）设，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值. 【详解】（1）如图，在中 由余弦定理得，， 所以 所以，（当且仅当时等号成立） 故两机器人运动路程和的最大值为 （2）（i）在中 由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故， 由正弦定理可得 所以 （ii）设，则， 由余弦定理可得， 所以 所以 由题意得对任意恒成立， 故，当且仅当时取到等号． 答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲． 【点睛】正弦定理、余弦定理是解题的重要数学知识，二次函数最值的求法在本题中是重要的方法. 19. 已知向量令. （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积公式及两角和的余弦公式可得，再由 可得结果； （2）令，因为，所以 则，根据二次函数的性质讨论三种情况，即可得结果； （3）当时，由，结合基本不等式即可得结果. 【小问1详解】 因为向量 所以， 由，得， 所以函数对称轴方程为 【小问2详解】 由（1）得， 因为 所以 令，因为， 所以 ， 则， 对称轴为， 当，即，可得在上单调递增， 所以， 当，即时，， 当，即时，在上单调递减， 所以 所以 【小问3详解】 当时，由（2）可得 所以 而，当且仅当时取等号， ，当且仅当时，取等号， 所以 所以 ， 即实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查向量的数量积运算，考查二次函数的最值的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用三角函数公式将函数进行化简，再换元转化为二次函数求解，考查数学转化思想和分类思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州八中2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：江莹辉 审核：陈达辉 校对：陈楚 2025.07.08 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，是的共轭复数，则＝ A. B. C. 1 D. －1 2. 已知平面向量、满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知三个不同的平面，，和三条不重合的直线，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 5. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 A. B. C. D. 6. 已知函数，，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个圆台的上，下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 第41百分位数 D. 方差 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 11. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（ ） A. B. 该截角四面体的表面积为 C. D. 该截角四面体的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 13. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则______. 14. 已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知O为坐标原点，向量､分别对应复数，，且，，若是实数. （1）求实数a的值； （2）求以､为邻边的平行四边形的面积. 16. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 17. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 19. 已知向量令. （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $