精品解析：河北省保定市2024-2025学年高一下学期7月期末调研考试数学试题

2024—2025学年第二学期高一期末调研考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知，则=（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法，整理其为标准式，利用模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：C. 2. 在一次知识竞赛中，某校8名同学的成绩（单位：分）分别为：80，82，84，90，92，94，96，98，则这组数据的上四分位数为（ ） A. 94 B. 82 C. 95 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将这8个数据从小到大排列为： 80，82，84，90，92，94，96，98， 由于，故所求为的平均数，即所求为95. 故选：C. 3. 已知直线a，b和平面α，β，满足，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面、线线位置关系结合必要不充分条件的定义判断即可。 【详解】由题意，， 若，则与可能相交也可以， 若，而，从而， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 5. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由计算得到，再结合投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由，可得，即，解得：. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 6. 抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为，，设事件A=“”，事件B=“”，事件C=“”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于AB，由互斥、独立事件的定义判断即可；对于CD，直接写出进行判断即可. 【详解】对于A，事件为第一次出现的点数为3且第二次出现的点数为4，这是可能发生的，故不互斥，故A错误； 对于B，由题意，所以，即A与B相互独立，故B正确； 对于C，事件C=“”包含的样本子空间为， 而事件包含的样本点对应的子空间为，故C错误； 对于D，，， 所以也不成立，故D错误. 故选：B. 7. 已知三棱锥，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由正弦定理求得的外接圆半径，再利用几何关系求三棱锥外接球的半径，从而得到外接球的表面积. 【详解】在中，，，设的外接圆半径为， 根据正弦定理有：，， 设外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 8. 已知函数的图象在上恰好有2个最高点和1个最低点，且这三个点总可以组成一个锐角三角形，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意作图，利用整体思想，根据三角函数的最值以及等腰三角形性质，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则令，解得， 可得，， 由题意可得，解得， 易知为等腰三角形，，底，其上的高为， 由题意可得，则，解得， 所以. 故选： 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. ，，且，则 B. 已知一组数据4，4，m，8，9的平均数为6，则 C. 若样本数据，，…，的方差为5，则数据，，…，的方差20 D. 从5黑1白六个小球中不放回的进行随机抽取，每次抽取1个球，第二次抽到白球的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量平行的充要条件验算即可；对于B，由平均数公式计算即可；对于C，由方差的性质计算即可；对于D，计算得第二次抽到白球的概率为即可判断. 【详解】对于A，，，且，则，故A正确； 对于B，已知一组数据4，4，m，8，9的平均数为6，则，解得，故B错误； 对于C，若样本数据，，…，的方差为5，则数据，，…，的方差，故C正确； 对于D，若第二次抽到白球，则只能第一次抽到黑球，从而所求概率为，故D错误. 故选：AC. 10. 方程在复数集C的两个根分别为：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据求根公式求出，再根据复数模的公式及复数运算法则，对选项进行逐一判断. 【详解】方程，判别式， 故方程的根为：. 不妨取，， 选项A：，故A错； 选项B：，，；故B对. 选项C：，，故C错. 选项D：，故D对. 故选：BD. 11. 已知圆锥的轴截面SAB的顶角为，底面半径为，则（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为 C. P是圆锥侧面上的一点，且到底面的距离为2，则三棱锥体积的最大值为9 D. 球与圆锥的侧面和底面都相切，过圆锥的顶点S作与平面SAB成30°角且与AB平行的平面，则此平面截球所得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题可得圆锥母线长，然后根据侧面积公式求解；对于B，根据圆锥过顶点的截面为以母线长为腰的等腰三角形，所以当截面为等腰直角三角形时面积最大即可求解；对于C，当平面时，三棱锥体积最大，利用体积计算公式计算即可；对于D，确定球心与半径，找出二面角，求出球心到截面距离，根据截面半径即可得到面积. 【详解】 对于A，由题知， 所以母线，，圆锥的侧面积为，故A正确； 对于B，圆锥过顶点的截面为以母线长为腰的等腰三角形， 又，所以当截面为等腰直角三角形时面积最大，最大值为18，故B错误； 对于C，过点作垂直于底面，交于， 则，，， 即点到的距离为，又， 所以当平面时，三棱锥体积最大， 此时，故C正确； 对于D，圆锥的内切球半径即为轴截面内切圆半径，设为， ，解得， 如图，平面与平面夹角为，交线为，平面，则， 当平面时，与相交于，连接，过作交于, 平面，平面，， 又平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以，即就是平面与平面夹角， 又，平面，所以平面， 即为点到平面的距离， 则平面截内切球截面半径， 所以面积为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 甲，乙两人独立解决同一道数学题，若甲和乙能正确解出此题的概率分别为和，则此题被正确解出的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出对立事件的概率，再求解此题被正确解出的概率即可. 【详解】设数学题没被正确解出为事件，则. 故此题被正确解出的概率. 故答案为：. 13. 在中，已知，，，且，，AM与BN相交于点P，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，利用基底表示所求向量，根据向量数量积运算律以及夹角公式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知为向量与向量的夹角， 由，则，由，则， 由， ， 则， ， ， 所以. 故答案为：. 14. 如图，二面角大小等于，A，B是棱l上两点，，分别在半平面α，β内，，，．则=______，直线与平面β所成角的正弦值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】①根据已知二面角及相关条件，结合向量的数量积进行计算即可求出的长；②由，，二面角大小等于求出D到平面β的距离，结合①中，求出直线与平面β所成角的正弦值. 【详解】①因为A，B是棱l上两点，，分别在半平面α，β内，，，二面角大小等于，且， 所以，，， 所以， 所以； ②计算直线与平面β所成角的正弦值： 点D到平面β的距离：. 由①知，，所以. 故答案为：4；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，若，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，，向量与向量共线且方向相反，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律、定义求得，结合向量夹角的范围即可求解； （2）由题意存在负数λ使得，直接解出的值即可. 【小问1详解】 因为， 则 ， 解得，又因为， 因此，，即向量、的夹角为． 【小问2详解】 因为向量与向量共线，所以存在实数λ使得， 即， 因为向量与不共线，所以， 解得或， 因为向量与方向相反，所以， 所以. 16. 据网络平台数据，截止到2025年4月12日17时38分，2025年度我国电影大盘票房（含预售）突破250亿，居全球第一．《哪吒之魔童闹海》以60.8%的票房占比断层领跑．一调研团从一场去电影院观看该电影的观众中随机抽取100名作为样本，统计他们的年龄并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成了如图所示的频率分布直方图，把频率视为概率． （1）求频率分布直方图中的； （2）估计该场观众年龄的中位数和平均数； （3）用比例分配的分层随机抽样方法从此样本中和内共抽取5名观众，再从中任取2个人座谈，求抽到的2个人来自不同组的概率． 【答案】（1） （2）中位数为32.5，平均数为32.8岁. （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求出的值. （2）设该场观众年龄的中位数为，得到，结合中位数的计算方法，求得样本中位数，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，求得样本数据的平均数. （3）根据题意，采用分层抽样的方法抽取5人，其中内抽取3人，内抽取2人，利用列举法求得基本事件的总数，结合古典概型的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意及图得，组距为10， 第二组的频率为， ∴频率直方图的高为. 【小问2详解】 由题意，（1）及图得， 设中位数为x， 所占的面积为， 所占的面积为， 所占的面积为， 则中位数， 由解得， 平均年龄为， ∴年龄的中位数为32.5，平均年龄为32.8岁． 【小问3详解】 由题意，（1），（2）及图得， 内的观众有人， 内的观众有人． 用分层抽样的方法从和内抽取5名观众， 则内抽取3人，内抽取2人， 记年龄在的为a，b，c，年龄在为，， 从5名观众中抽取2个人座谈，其样本空间 ， ∴， 记“抽到的2个人来自不同组 ”， 则， ∴， ∴， ∴抽到的2个人来自不同组的概率为． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角B； （2）若，的面积为，求a； （3）若，求角C． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，讨论得即可得解； （2）由三角形面积公式得，再结合余弦定理即可求解； （2）方法一：正弦定理边化角，方法二：余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由，得， 即，即， 因为，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为， 所以①， 根据余弦定理，， 即② 联立①和②得或． 【小问3详解】 法1：因为，所以， 所以， 则， 化简得，即， 因为，所以， 所以，所以． 法2：由，∴， 把已知带入上式可得，， 化简得， 所以，即. 18. 在四棱锥中，平面平面，，底面为菱形，，，E，F分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：法1：取的中点M，连接，， 因为E，F分别为，的中点，且四边形为菱形， 则且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． 法2：取的中点N，连接，， 因为E，F分别是，的中点，且四边形为菱形， 则，又平面，平面，则平面， ，又平面，平面，则平面， 又，则平面平面， 又平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法1：由线面平行的判定定理证明；法2：由面面平行的性质定理证明； （2）法1：取的中点O，作出点到平面的距离并利用等面积法计算，再根据B到平面的距离即为O到平面的距离可得结果；法2：由等体积法计算点O到平面的距离； （3）由二面角的定义可得为二面角的平面角，再在中利用三角函数计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：法1：取的中点O，连接，，因为，则， 又因为底面为菱形，，可得为等边三角形，则， 又平面，平面，，所以平面， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面平面， 过点O作交于H，则平面， 则的长即为点O到平面的距离， 在中，， 因为，平面，平面， 所以平面，则B到平面的距离即为O到平面的距离， 所以B到平面的距离为． 法2：因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，则， 又因为底面为菱形，，可得为等边三角形，所以， 在中，， 在中，， 在中，因为， 所以为直角三角形，，， 设点B到平面的距离为h， 根据，则， 解得， 即B到平面的距离为． 【小问3详解】 解：因为，，平面，平面， 所以为二面角的平面角， 在中，， 即二面角的余弦值为． 19. 某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． （1）当BN=200m时，求护栏的长度； （2）为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 【答案】（1） （2）当时人工湖的面积最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）使用勾股定理得到，使用余弦定理得到，进一步得到，，然后得出，最后得出结果； （2）假设，得到，然后利用正弦定理得到，表示，然后计算判断即可. 【小问1详解】 因为∠CAB=90°，AC=200m，， 所以BC=400m，， 所以，， 所以AN=200m， 则为等腰三角形，， 所以，则， 得，，则MN=100m， 所以护栏的长度为． 【小问2详解】 设计使得时人工湖面积最小．（或设计，或都可） 法1：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即， 解得， 所以人工湖的面积 ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 法2：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即 解得， ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高一期末调研考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知，则=（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 在一次知识竞赛中，某校8名同学的成绩（单位：分）分别为：80，82，84，90，92，94，96，98，则这组数据的上四分位数为（ ） A. 94 B. 82 C. 95 D. 96 3. 已知直线a，b和平面α，β，满足，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为，，设事件A=“”，事件B=“”，事件C=“”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. D. 7. 已知三棱锥，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象在上恰好有2个最高点和1个最低点，且这三个点总可以组成一个锐角三角形，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. ，，且，则 B. 已知一组数据4，4，m，8，9的平均数为6，则 C. 若样本数据，，…，的方差为5，则数据，，…，的方差20 D. 从5黑1白六个小球中不放回的进行随机抽取，每次抽取1个球，第二次抽到白球的概率为 10. 方程在复数集C的两个根分别为：，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆锥的轴截面SAB的顶角为，底面半径为，则（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为 C. P是圆锥侧面上的一点，且到底面的距离为2，则三棱锥体积的最大值为9 D. 球与圆锥的侧面和底面都相切，过圆锥的顶点S作与平面SAB成30°角且与AB平行的平面，则此平面截球所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 甲，乙两人独立解决同一道数学题，若甲和乙能正确解出此题的概率分别为和，则此题被正确解出的概率是______． 13. 在中，已知，，，且，，AM与BN相交于点P，则______． 14. 如图，二面角大小等于，A，B是棱l上两点，，分别在半平面α，β内，，，．则=______，直线与平面β所成角的正弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，若，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，，向量与向量共线且方向相反，求实数t的值． 16. 据网络平台数据，截止到2025年4月12日17时38分，2025年度我国电影大盘票房（含预售）突破250亿，居全球第一．《哪吒之魔童闹海》以60.8%的票房占比断层领跑．一调研团从一场去电影院观看该电影的观众中随机抽取100名作为样本，统计他们的年龄并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成了如图所示的频率分布直方图，把频率视为概率． （1）求频率分布直方图中的； （2）估计该场观众年龄的中位数和平均数； （3）用比例分配的分层随机抽样方法从此样本中和内共抽取5名观众，再从中任取2个人座谈，求抽到的2个人来自不同组的概率． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角B； （2）若，的面积为，求a； （3）若，求角C． 18. 在四棱锥中，平面平面，，底面为菱形，，，E，F分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 19. 某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． （1）当BN=200m时，求护栏的长度； （2）为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $