专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型（几何模型讲义）数学湘教版九年级上册

专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． （2025·安徽安庆·三模）点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，连接交于点． (1)如图1，延长交D于点G，若，，求的长． (2)如图2，． ①证明：； ②证明：． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（   ） A．16 B．24 C．32 D．36 例2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，为边的三等分点，，为边的三等分点，连接，，交于点，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 例3（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是 ． 例4（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长． 例5（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)若；的周长为，求的周长 例2（2025·云南昆明·二模）如图，与相交于，，，则的面积与的面积比是（   ） A． B． C． D． 例3（2025·山东济宁·三模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接，交于点F．若，的值为（   ） A． B． C． D． 例4（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为 ． 例5（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 例2（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 例3（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 1．（2025·浙江金华·三模）如图，点，，分别在的边上，，点G是的中点，连接并延长交于点H，已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·二模）如图，E是的边的延长线上一点，且，与相交于点F，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建厦门·二模）如图，在菱形中，点E在边上，连结交对角线于点F，若，，则的长度为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点E，F分别为的中点，连接，两线交于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东深圳·二模）如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为 ． 8．（2025·北京西城·二模）如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为 ． 9．（2025·江苏徐州·二模）如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则到与到的距离比是 ． 10．（2025·北京丰台·二模）如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为 ． 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，将沿边向右平移得到，交于点，连接．若，，则的值为 ． 12．（2025·山东青岛·二模）如图，在矩形中，，，是边上一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点，垂直平分，分别交，，于点，，．若，则的长为 ． 13．（24-25九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 14．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）如图，在中，平分交于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 16．（2025·山东淄博·二模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 17．（2025·湖北武汉·模拟预测）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 18．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点． (1)若． ①求的长； ②探索线段与的数量关系，并说明理由． (2)若，求的值． 19．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 20．（2025·江苏镇江·二模）矩形纸片中，点，分别在边和上，点，分别在边和上． 【特例感知】 （1）如图1，当矩形纸片是正方形时，，则线段和的数量关系为__________； 【初步探究】 如图2，矩形纸片中，． （2）若，则线段和的数量关系为__________； （3）若，那么一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （4）如图3，若，点是边的中点，将矩形纸片折叠，使得点落处，则折痕落在纸片上的线段的长为__________；（用含的代数式表示） （5）已知点的位置如图4所示，求作一点，使得点一定分别在一个长宽比为2∶1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 【答案】见详解； 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，根据题意求得的值，从而得到和的面积比，利用正方形的性质求出的面积，进而求出的面积． 【详解】解：在正方形中， ， ， ∵点E是边的中点， ． ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2025·安徽安庆·三模）点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，连接交于点． (1)如图1，延长交D于点G，若，，求的长． (2)如图2，． ①证明：； ②证明：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）如图1，过点E作于点P，作于点Q，得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，，设，则，，根据，列方程可得a的值，证明，列比例式即可解答； （2）①如图2，过点E作于点P，交于H，连接，证明，则，证明，可得结论； ②如图3，将绕点A顺时針旋转得，连接，证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图1，过点E作于点P，作于点Q， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，，是等腰直角三角形， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 设，则， ， ， ， ； （2）证明：①如图2，过点E作于点P，交于H，连接， 四边形是正方形， ∴，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图3，， 将绕点A顺时针旋转得，连接， ，，，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了全等和相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线构建全等三角形是解本题的关键． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（   ） A．16 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程，熟练掌握性质定理是解题的关键． 设，则 ． 根据矩形的性质易证，再根据相似三角形的性质得出，然后将值代入化简，求出一元二次方程的解即可得出答案． 【详解】解：设，则 ． ， ． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 即， 即， 解得或 （负值舍去）， ∴，， ∴矩形 的面积为． 故选 C． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，为边的三等分点，，为边的三等分点，连接，，交于点，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，，得到，，，推出，接着证明，通过对应边成比例得到的长度，最后算得． 【详解】解：，为边的三等分点，，为边的三等分点， ，， ， ，， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 例3（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意可得，，作于，证明，得出，求出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图：作于， ， ∵，垂足为． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 例4（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，由与平行，得到，由相似得比例，把已知边代入求出的长即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，，，则 ∴． 例5（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质： （1）由平行得到，再结合公共角即可证明； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)若；的周长为，求的周长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质； （1）根据相似三角形的性质可得，，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据相似三角形的性质可得周长之比等于相似比，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴的周长: 的周长 ∵的周长为， ∴的周长为 例2（2025·云南昆明·二模）如图，与相交于，，，则的面积与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 例3（2025·山东济宁·三模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接，交于点F．若，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：A． 例4（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 例5（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出，即可求解． ②由①可知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，在的上方取点，证明，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 故答案为：； ②证明：由①可知，，， ，即， 又， ， ； （2）；理由如下： ， ， 又， ， ； （3）如图，连接，在的上方取点，    使， ． ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，，两点间的距离最大， ，两点间的最大距离为10． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 例2（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 例3（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，， ，，，，， ，，，，，． （2）当，时，由（1）可得，，，，，，， 又，，，，， ，，． 1．（2025·浙江金华·三模）如图，点，，分别在的边上，，点G是的中点，连接并延长交于点H，已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．先证明，，得出，求出，设，则，证明，得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．设，则，利用勾股定理求得，再证明，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则，记与交于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·安徽滁州·二模）如图，E是的边的延长线上一点，且，与相交于点F，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·福建厦门·二模）如图，在菱形中，点E在边上，连结交对角线于点F，若，，则的长度为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，由菱形的性质可得，，再根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点E，F分别为的中点，连接，两线交于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查矩形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交于点，则，根据平行线分线段成比例定理可得到：，，所以，，，再根据勾股定理得，再证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， 四边形是矩形，， ， ， 点分别为边的中点， ，， ， ， ， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、矩形的性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线的性质及各角之间的等量代换即可判断A；再由等腰三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可判断其他三个选项，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意； 故选：D． 7．（2025·广东深圳·二模）如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由菱形的性质得，，则，，所以，则，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·北京西城·二模）如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查平行四边形的性质（对边平行）以及相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）．解题的关键在于利用平行四边形对边平行的性质找出相似三角形，准确求出相似比，再运用相似三角形面积比与相似比的关系计算所求三角形的面积．本题围绕平行四边形展开，已知和的面积，要求的面积．需要利用平行四边形对边平行的性质，找出相似三角形，再依据相似三角形的性质来建立面积关系求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，即． ∴，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ． ∵． ∴ ． ∴ ． 即， ∴ 故答案为：． 9．（2025·江苏徐州·二模）如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则到与到的距离比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设，则，根据平行四边形的性质可得，，，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：， 设，则， 在平行四边形中，，，， ， 的角平分线交于， ， ， ， 同理可得：， ， ， △△， ， 到与到的距离比是 故答案为：． 10．（2025·北京丰台·二模）如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，将沿边向右平移得到，交于点，连接．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，由平移的性质得到：，，得出，根据相似三角形的性质得出，结合，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得到：，， ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴ ∵， ∴， 解得： ∴ 故答案为：． 12．（2025·山东青岛·二模）如图，在矩形中，，，是边上一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点，垂直平分，分别交，，于点，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到 ，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系． （1）根据正方形的性质得到，，从而利用全等三角形的判定定理推出，进而利用全等三角形的性质进行证明即可； （2）根据正方形的性质得到，推出，可利用相似三角形的判定定理即可得到；再根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：是正方形的对角线， ，， 在和中， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 即， 14．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）如图，在中，平分交于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理，角平分线的定义得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）设，则，可证∴，由此列式得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，　 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：由（1）知：，设，则， ∵， ∴， ∴，即有， 化简得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴， 答：的长为． 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （）可证，由比例线段可求出线段的长； 本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（2025·山东淄博·二模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，求出，再证明，进行求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（2025·湖北武汉·模拟预测）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，得到，得出； （2）由平行四边形的性质得出，证明，得出，求出，进而求出； （3）连接，证明，得出，即，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， ， ， ； （3）解：连接， ∵四边形为菱形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，负值舍去， ， ， ， ∴为直角三角形，， ， ∴在中根据勾股定理得：， ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 18．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点． (1)若． ①求的长； ②探索线段与的数量关系，并说明理由． (2)若，求的值． 【答案】(1)①，②，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①过点作，垂足为，由等腰三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理即可求解； ②由折叠的性质得到，证明四边形是菱形，得到，再证明，即可求解； （2）根据勾股定理求出，证明，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，； ，理由如下： ∵， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ， ； （2）解：设，则， 由（1）知， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ， ． 19．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识，熟练掌握矩形的性质和判定、证明三角形相似是解题的关键； （1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理可得，，进而可得，于是可得结论； （2）根据题意可得，根据矩形的性质可得，设，证明，利用相似三角形的性质列方程求出x，进一步计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：①∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ②∵， ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴ ， 即 （2）解：∴， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 设． ∵， ∴ ∴ 即 解得 (不合题意，舍去)， 20．（2025·江苏镇江·二模）矩形纸片中，点，分别在边和上，点，分别在边和上． 【特例感知】 （1）如图1，当矩形纸片是正方形时，，则线段和的数量关系为__________； 【初步探究】 如图2，矩形纸片中，． （2）若，则线段和的数量关系为__________； （3）若，那么一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （4）如图3，若，点是边的中点，将矩形纸片折叠，使得点落处，则折痕落在纸片上的线段的长为__________；（用含的代数式表示） （5）已知点的位置如图4所示，求作一点，使得点一定分别在一个长宽比为2∶1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）；（2）；（3）不一定，见解析；（4）；（5）见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线的尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，过点F作于G，设交于K，则四边形和四边形都是矩形，可得，导角证明，则可证明，得到； （2）过点E作于H，过点F作于G，设交于K，则四边形和四边形都是矩形，可得，导角证明，则可证明，利用相似三角形的性质即可得到答案； （3）如图所示，，此时满足，但是不满足； （4）设折痕为，由折叠的性质可得，由（2）可知；求出，则，可得，即； （5）如图所示，作线段的垂直平分线，交于H，过点P作垂直且使得，则点S即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H，过点F作于G，设交于K， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点E作于H，过点F作于G，设交于K， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）不一定成立，作图如下： 如图所示，， 此时满足，但是不满足； （4）如图所示，设折痕为， 由折叠的性质可得， ∴由（2）可知； 由矩形的性质可得， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴折痕落在纸片上的线段的长为； （5）如图所示，作线段的垂直平分线，交于H，过点P作垂直且使得，则点S即为所求； 此时，且，分别过作的平行线，再则点过作的平行线，则必在这个新作的长宽比为的矩形的边上. 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$