2.2.2双曲线的简单几何性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 2.2.2双曲线的简单几何性质 知 识 梳 理 一、双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 注意：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。 因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 二、双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。 （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。 （3） 与双曲线有公共渐近线的双曲线 方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为. 三、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长,焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来. （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系. 例题讲解 考点一 双曲线的简单几何性质 例1、求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率. 【解析】 把方程化为标准方程，由此可知实半轴长，虚半轴长，∴ ∴双曲线的实轴长，虚轴长，顶点坐标，焦点坐标， 离心率，渐近线方程为 例2、方程表示双曲线，求实数m的取值范围。 【解析】由题意得或或 。∴实数m的取值范围为。 考点二 离心率 例1、双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线，所以，，所以，的离心率，故B，C，D错误.故选：A. 例2、设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线 的渐近线方程为： ， 又 ；故选：A. 例3、设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点的直线与在第一象限相交于一点P，若，且直线倾斜角的余弦值为，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为α，则，由P在第一象限内，且，则， ∴，由余弦定理可得， 整理得，则，解得或(舍去).    故答案为： 例4、已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。 【解析】∵，是正三角形， ∴， ∴，∴ 例5、已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________． 【解析】由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：|PF2|＝，又|PF2|≥c－a， 所以，，∴，即e的最大值为. 考点三 渐近线 例1、双曲线的渐近线方程为(        ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知：该双曲线的方程为故选：A 例2、已知双曲线方程，求渐近线方程。 （1）；（2） 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为：，即 （2）双曲线的渐近线方程为：，即 例3、根据下列条件，求双曲线方程。 （1) 与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）一渐近线方程为，且双曲线过点 【解析】（1）解法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为 由题意，得，解得，，所以双曲线的方程为 当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为 由题意，得，解得，（舍去） 综上所得，双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）依题意知双曲线两渐近线的方程是.故设双曲线方程为， ∵点在双曲线上，∴ ，解得， ∴所求双曲线方程为. 考点四 直线与双曲线的位置关系 例1、讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】答案见解析 【解析】联立方程组，整理得， 当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点； 当时，即时，可得， 由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点； 由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点； 由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点； 综上可得：当时，直线与双曲线有两个公共点； 当或时，直线与双曲线有一个公共点； 当时，直线与双曲线没有公共点. 例2、直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，消去整理得， 因为该方程有两个不等且小于的根，所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 例3、求经过点的双曲线：的切线的方程． 【答案】 【解析】若直线斜率不存在，过点的直线方程为：，代入可得，与双曲线有两个交点，不是切线； 若直线斜率存在，设的方程是：，即：，将它代入方程整理得：， 由已知，即， 解得：，故所求切线的方程为：，即：． 考点五 弦长及其应用 例1、如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程： (2)过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)由题意得在的延长线上，， 在的延长线上，， 轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线,轨迹的方程为. (2) 设切线的方程为，代入，消元得. 设两点的坐标分别为，则，所以. 例2、已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．求：(1)双曲线的方程；(2)；(3)的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】(1)因为，所以可设双曲线的方程为． 因为过点，所以，即，所以双曲线的方程为． (2)由(1)可得，所以， 所以， 因为点在双曲线上，所以，即，所以． (3)的底，由(2)知，所以的高，所以．    考点六 中点弦及其应用 例1、已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则有，， 两式相减得到， 又线段的中点坐标为，所以，得到， 所以的斜率为.故选：B. 例2、过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A 例3、已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，(不重合)，的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线，所以，由题可知的垂直平分线的方程为， 将与联立可得，即的中点坐标为． 设，，则，且，， 两式作差可得，即，所以， 则双曲线的离心率为．故选：D 考点七 双曲线的实际应用 例1、如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为(    ) A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】根据题意：，，故，解得，即， 当水面宽度为米时，即时，， 拱顶M到水面的距离为. 故选：D 例2、人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时(其中为入射点)，的大小为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：，，． 设，则． 所以，解得(舍去)， 所以，， ， 所以． 故选：D． 举一反三 1.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　) A． B．－4 C．4 D. 【答案】A 2.已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（ ） A．－2 B．1 C．－1 D． 【答案】C 3.求双曲线的焦距。 【答案】8 4.设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 5.双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝_______________． 【答案】∵ OABC是正方形，∴ ∠AOB＝45°， 即直线OA方程为y＝x，此为双曲线的渐近线，因此a=b，又由题意， ∴ ．故填2． 6．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为(    ) A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】依题意可得等轴双曲线中，则，所以离心率.故选：A 7．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的方程为， 因为，所以，则，所以渐近线方程为.故选：C. 8．(多选)已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是(    ) A． B．的离心率为 C． D．的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】在中，，，，，A正确； 的离心率，B正确；由双曲线的定义或，C错误； 的渐近线方程为，即，D错误.故选：AB． 9. 求下列双曲线方程的渐近线方程 （1）；（2）；（3） 【答案】（1）；（2）；（3） 10.已知双曲线的一条渐近线为，则a＝________． 【答案】 【解析】 ∵渐进线为，∴有，又由题易得b=1，且a＞0．所以． 11.已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ,0），则a=_______；b=____________. 【答案】依题意有，结合c2=a2+b2，解得a=1，b=2。 12.中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 13.过点(2，-2)且与双曲线有公共渐近线的双曲线是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 14.设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 10.双曲线与有相同的（ ） A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对 【答案】C 11．如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，因为，F点坐标为， 所以，又A在右支上且不在顶点处，所以，所以.故答案为： 12．过双曲线右焦点作一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于两点，为坐标原点，，的平分线交轴于点，且到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】双曲线的渐近线如下图所示：由题意可知三角形OAB的内切圆圆心为M，过点M分别作于点N，于点T，由知四边形为正方形， 焦点到渐近线的距离为，得，又，所以， 所以，所以，所以.故答案为：.    13．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点与双曲线的两条渐近线分别交于两点．若是的中点，且，则此双曲线的离心率为(    )    A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，所以是直角三角形，又因为是的中点， 所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点， 所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：， 于是有：，因为双曲线渐近线的方程为：，因此有： ，故选：B. 14.(1) 已知双曲线的离心率，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程. (2) 求过点(-1,3)，且和双曲线有共同渐近线的双曲线方程. 【答案】（1）（2） 15.已知双曲线=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0,b)，且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 16.过双曲线(a＞0,b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为       . 【答案】 【解析】双曲线的右焦点为（c，0）.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点P的横坐标为，由，得，解之得（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为. 17.已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．1<e<－2 B．1<e<2 C．1<e<3 D．1<e<2＋ 【答案】D 18.已知过双曲线右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________． 【答案】　(1，) 19．已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点， 则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，于是，解得， 所以t的取值范围是.    20．设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程． 【答案】. 【解析】由可得， 根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程， ∴曲线在点P处的切线斜率为 ∴曲线在点P处的切线方程为，化简得 ∴双曲线C在点P处的切线的方程为． 21．已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 【答案】答案见解析 【解析】由方程组，消去，可得(*)， (i)当，即时，方程(*)为，此时直线与双曲线仅有一个交点． (ii)当，即时，， ①若，即且时，直线与双曲线有两个交点． ②若，即时，直线与双曲线只有一个交点． ③若，即或时，直线与双曲线没有交点． 由以上讨论可知，当且时，直线与双曲线有两个交点； 当或时，直线与双曲线只有一个交点； 当或时，直线与双曲线没有交点． 22．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由已知，，又，则，所以双曲线方程为. (2)由，得，则， 设，，则，，所以. 23．已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3． (1)求的方程； (2)过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)由题，不妨设点，，的方程为． 因为在上，则，即有， 则分别与，连线的斜率之积为， 所以的方程为．    (2)由题知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 联立方程组消去，得， 令，，则， 因为直线分别交的左、右支于M，N两点， 则，， 则，的面积， 则， 解得或(舍去)，则，所以的方程为．    24．已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 【答案】(1)或(2) 【解析】(1)由，消去，得①， 当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点(与渐近线平行时). 当，得与也只有一个交点(与双曲线相切时)， 综上得的取值是或； (2)设交点，由，消去，得， 首先由，得且，并且， 又因为与的左右两支分别交于A､B两点， 所以，即，解得，故. 因为直线l与y轴交于点，所以， 故.解得或. 因为，所以. 25．已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】设，，则有与，两式相减得：，即，又因为为AB的中点，所以， 得到，即直线AB的斜率为6.故选：D. 26．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，且，由得：， 即，为中点，，， ，直线方程为：，即； 由得：，则，满足题意； 直线的方程为：.故选：A. 27．过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，且， 又因为，所以，即有， 所以，所以，所以，所以，所以.故选：C. 28.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的(    )处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 【答案】A 【解析】如图，    以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则 设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故， 由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上， 依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A. 29．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应(简称双耳效应)．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为(    ) A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 【答案】D 【解析】设两耳所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为， 则，，由题意， 所以，所以． 故选：D． 30．3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm(数据均以外壁即笔筒外侧表面计算)，则笔筒最细处的直径为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. 由题意可知，设，则， 设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为， 所以，所以方程可化简为， 将和的坐标代入式可得，解得， 则笔筒最细处的直径为. 故选：C. 课 后 作 业 1．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线的离心率为，得， 所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即． 故选:A． 2．若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，而，所以， 故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．故选：A． 3．(多选)已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是(   ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由于，所以，依题意，所以， 所以.故选：BC 4．已知双曲线(，)的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率(    ) A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】满足，又满足，故，轴，， 可得，．故选：B． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在上,且,,则的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的定义可得:,则, 在中由余弦定理得, 即:,即,因为,所以, 即的渐近线方程为.故选:C. 6．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于(    ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】如图，不妨设点A在第一象限， 由题意可得：，则四边形为平行四边形， 因为，即，则，所以四边形为矩形， 设，则， 因为，即，整理得.故选：A.    7．过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有(    ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；故可设， 与双曲线联立可得，， 由弦长公式知， 则或.故存在四条直线满足条件.故选：D 8．已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线，可知右焦点为，，又， 所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，又双曲线的渐近线方程为， 所以点的纵坐标为，即的高为，所以的面积为.故选：C.    9．(2023秋·高二单元测试)双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则的内切圆半径等于(    ) A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由双曲线，知，所以，所以， 所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出，， 所以，， 设的内切圆半径为，在中，由等面积法得： 所以，解得：.故选：C. 10．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】因为双曲线的标准方程为，所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得， 所以双曲线的标准方程为，设，所以①，②， ①-②得，，化简得③， 因为线段的中点为，所以， 代入③，整理得，显然，所以直线的斜率.故选：B 11．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，则，由点差法得． ∵，∴，，∴，又， ∴，∴渐近线方程为.故选：A． 12．过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，则有，两式做差后整理得， 由已知，，又，，得故选：B 13．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是(    )(结果精确到)(参考数值：，，) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图：建系， 因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线方程，， 又因为，，则，将代入双曲线方程，可得， 解得，即，当水面下降，纵坐标，代入双曲线方程可得， .故选：B 14．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后(，A，B在同一直线上)，满足，则该双曲线的离心率的平方为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知共线，共线，如图，设， 则.因为，所以， 则，则， 又因为，所以，则, 在中，，即，所以. 故选：D 15．北京冬奥会火种台(图1)以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在轴，如图，双曲线方程为， 则，， ()，()在双曲线上，且， 由，即，，， 由，得，所以，，， 离心率为．故选：B． 16．(多选)直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率不可能为(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】ABC 【解析】设，，因点A，B在双曲线 上， 则，，两式相减得：， 因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1， 此时，直线l的方程为：， 由消去y并整理得：，， 即直线l与双曲线 交于两点，所以直线l的斜率为1．故选：ABC 17．(多选)已知双曲线，点，在上，的中点为，则(    ) A．的渐近线方程为 B．的右焦点为 C．与圆没有交点 D．直线的方程为 【答案】CD 【解析】对于AB，由双曲线可得，所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确；对于C，联立消可得，代入，解得无实数根， 所以与圆没有交点，故正确；对于D，设，则，， 两式相减，得，因为的中点为，所以等式可得，易得直线的斜率存在，故可得，则直线为即，联立双曲线的方程和直线，消去x，可得， 此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意， 故直线l的方程为，故正确.故选：CD 18．若直线与单位圆(圆心在原点)和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 【答案】(或，，，只需写出一个答案即可) 【解析】显然直线存在斜率，设直线：，联立方程组 , 得因为直线与曲线相切，所以， 即.因为直线与单位圆相切，所以，联立方程组 解得，，故直线的方程可能是，，， 19．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【解析】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为， 即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为． 20．不与轴重合的直线过点，双曲线上存在两点关于对称，中点的横坐标为.若，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】设，则，两式相减得， 即，即，所以， 因为是垂直平分线，有，所以，即，化简得， 因为，所以，解得或(舍)，所以双曲线的离心率为. 21．不与x轴重合的直线l过点N(,0)(xN≠0)，双曲线C：(a＞0，b＞0)上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ． 【答案】2 【解析】设，则，两式相减得， 即，即 ，所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得， 故. 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】 如图:,由,,可得点P的坐标为， 则直线OP斜率为,直线AB斜率为， 另一方面，设 则,两式相减得,整理得,即，故． 23.已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为 . 【答案】1 【解析】设，，显然，则有，， 两式作差可得，，即， 又弦的中点为，则，，代入可得，即，所以直线AB的斜率为1.此时直线方程为，即， 联立直线与双曲线方程可得，，，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件. 24.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线(，为焦点)上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ． 【答案】2 【解析】如图，延长交延长线于点，因为点是的角平分线上的一点，且， 所以点为的中点，所以，又点为的中点，且， 所以． 25.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ． 【答案】 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，双曲线的离心率为. 25．已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 . 【答案】2 【解析】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上，的中点在渐近线上， 则，又，所以， 所以，所以.    26．已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ． 【答案】或 【解析】依题意，联立方程，消去，得， 设直线与双曲线的右支的两个交点为，      则，解得或， 27.已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的取值范围 ． 【答案】 【解析】联立双曲线、直线方程，消去整理得， 由题意，设方程的两根为，则，解得． 28．经过点作直线交双曲线于两点，且为中点． (1)求直线的方程． (2)求线段的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)设，代入双曲线方程得， 两式相减得，即， 因为为的中点，所以，所以，所以直线的斜率为 所以的方程为，即，经验证符合题意， 所以直线的方程为； (2)将代入中得，故， 所以. 29．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点。 (1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率. 【解析】(1)设A(xA，yA)．由题意，F2(c，0)，， 因为△F1AB是等边三角形，所以，即，解得b2＝2． 故双曲线的渐近线方程为． (2)由已知，F1(-2，0)，F2(2，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l:y＝k(x-2)．显然k≠0． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以k2-3≠0，且△＝36(1+k2)＞0． 设AB的中点为M(xM，yM)．由即，知F1M⊥AB，故． 而， 所以，得，故l的斜率为．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.2.2双曲线的简单几何性质 知 识 梳 理 一、双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 注意：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。 因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。 由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 二、双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。 （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。 （3） 与双曲线有公共渐近线的双曲线 方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为. 三、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长,焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来. （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系. 例题讲解 考点一 双曲线的简单几何性质 例1、求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率. 例2、方程表示双曲线，求实数m的取值范围。 考点二 离心率 例1、双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 例2、设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 例3、设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点的直线与在第一象限相交于一点P，若，且直线倾斜角的余弦值为，则的离心率为 ． 例4、已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。 例5、已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________． 考点三 渐近线 例1、双曲线的渐近线方程为(        ) A． B． C． D． 例2、已知双曲线方程，求渐近线方程。 （1）；（2） 例3、根据下列条件，求双曲线方程。 （1) 与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）一渐近线方程为，且双曲线过点 考点四 直线与双曲线的位置关系 例1、讨论直线与双曲线的公共点的个数． 例2、直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为 ． 例3、求经过点的双曲线：的切线的方程． 考点五 弦长及其应用 例1、如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E.  (1)求轨迹E的方程： (2)过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值. 例2、已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．求：(1)双曲线的方程；(2)；(3)的面积． 考点六 中点弦及其应用 例1、已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 例2、过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 例3、已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，(不重合)，的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 考点七 双曲线的实际应用 例1、如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为(    ) A．4米 B．米 C．米 D．米 例2、人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时(其中为入射点)，的大小为(    ) A． B． C． D． 举一反三 1.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　) A． B．－4 C．4 D. 2.已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（ ） A．－2 B．1 C．－1 D． 3.求双曲线的焦距。 4.设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 5.双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝_______________． 6．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为(    ) A． B．2 C． D．3 7．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 8．(多选)已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是(    ) A． B．的离心率为 C． D．的渐近线方程为 9. 求下列双曲线方程的渐近线方程 （1）；（2）；（3） 10.已知双曲线的一条渐近线为，则a＝________． 11.已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ,0），则a=_______；b=____________. 12.中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 13.过点(2，-2)且与双曲线有公共渐近线的双曲线是 ( ) A. B. C. D. 14.设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 10.双曲线与有相同的（ ） A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对 11．如果双曲线右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 12．过双曲线右焦点作一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于两点，为坐标原点，，的平分线交轴于点，且到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为 ． 13．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点与双曲线的两条渐近线分别交于两点．若是的中点，且，则此双曲线的离心率为(    )    A． B．2 C． D． 14.(1) 已知双曲线的离心率，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程. (2) 求过点(-1,3)，且和双曲线有共同渐近线的双曲线方程. 15.已知双曲线=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0,b)，且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、 16.过双曲线(a＞0,b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为       . 17.已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．1<e<－2 B．1<e<2 C．1<e<3 D．1<e<2＋ 18.已知过双曲线右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________． 19．已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ．    20．设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程． 21．已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 22．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 23．已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3． (1)求的方程； (2)过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程． 24．已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 25．已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 26．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是(    ) A． B． C． D． 27．过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 28.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的(    )处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 29．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应(简称双耳效应)．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为(    ) A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 30．3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm(数据均以外壁即笔筒外侧表面计算)，则笔筒最细处的直径为(    ) A． B． C． D． 课 后 作 业 1．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 2．若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为(    ) A． B． C． D． 3．(多选)已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是(   ) A． B． C． D． 4．已知双曲线(，)的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率(    ) A． B． C．2 D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在上,且,,则的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于(    ) A． B． C．2 D． 7．过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有(    ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为(    ) A． B．1 C． D． 9．双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则的内切圆半径等于(    ) A． B． C． D．2 10．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为(    ) A． B．1 C． D．2 11．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 12．过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 13．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是(    )(结果精确到)(参考数值：，，) A． B． C． D． 14．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后(，A，B在同一直线上)，满足，则该双曲线的离心率的平方为(    ) A． B． C． D． 15．北京冬奥会火种台(图1)以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为(    ) A．2 B． C． D． 16．(多选)直线l交双曲线 于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率不可能为(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 17．(多选)已知双曲线，点，在上，的中点为，则(    ) A．的渐近线方程为 B．的右焦点为 C．与圆没有交点 D．直线的方程为 18．若直线与单位圆(圆心在原点)和曲线均相切，则直线的一个方程可以是 19．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ． 20．不与轴重合的直线过点，双曲线上存在两点关于对称，中点的横坐标为.若，则双曲线的离心率为 . 21．不与x轴重合的直线l过点N(,0)(xN≠0)，双曲线C：(a＞0，b＞0)上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ． 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为 ． 23.已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为 . 24.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线(，为焦点)上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ． 25.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ． 25．已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 . 26．已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ． 27.已知双曲线，直线，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求的取值范围 ． 28．经过点作直线交双曲线于两点，且为中点． (1)求直线的方程． (2)求线段的长． 29．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点。 (1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率. 学科网（北京）股份有限公司 $$