福建省福州高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学训练（集合、不等式、向量1）

2024-2025学年福州高级中学高三数学期末训练 集合、不等式、向量1 班级_________姓名__________座号_______ 1．已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2．设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第二象限 C． D． 6．在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，下列结论正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为5 8．下列有关复数的说法正确的是（ ） A．若是关于的方程的一个根，则 B．若，则点的集合所构成的图形的面积为 C．若是复数，则一定有 D．若，则 9．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 三、填空题 10．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 . 11．已知集合（为虚数单位），则的非空真子集的个数为： . 12．已知的最小值为，则的取值范围为 ． 4、 解答题 13．已知向量，，且. (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)记函数，若的最小值为，求实数的值. 14．已知函数. (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集； (3)若在区间上恒成立，求实数a的范围. 15．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4） 2024-2025学年福州高级中学高三数学期末训练 集合、不等式、向量1（解析） 班级_________姓名__________座号_______ 1.【答案】A ；2．【答案】C；3．【答案】A【详解】因为， ，又，，所以， ，且，所以， 所以.故选：A. 4．【答案】A【详解】由，得，联立消去，得，而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值.故选：A 5．【答案】C【详解】由可知，则逆时针旋转后相应点为，所以，即，其虚部为，故A错误； ，其对应的点在第三象限，故B错误； ，故C正确； ， 则，故D错误.故选：C 6．【答案】D【详解】，， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 二、多选题 7.【答案】ABD【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B，因为，，当且仅当，即，时 取等号，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，即， 所以， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时取等号，D正确． 故选：ABD． 8．【答案】ABD【详解】A，由题意，整理得， 所以，解得，故，正确； B，记，则，所以， 圆的面积为，圆的面积为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，正确. C，当，则，而，显然不成立，错误； D，令，，则， 故，又，，则，所以，正确.故选：ABD 9．【答案】ABD 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为， 则， 即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值，显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确.故选：ABD 三、填空题 10．【答案】【详解】因为，则， 则向量在上的投影向量为， 又向量在上的投影向量的坐标为， 所以，即.故答案为： 11． 【答案】6 【详解】，故， 由于，所以：. 又，令，则. 所以， 则得非空真子集，，，，，，共个. 故答案为：6. 12．【详解】当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，设，则，则， 则函数在上为减函数，所以，， 要使得函数的最小值为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 5、 解答题 13．【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）向量，， . （2）， ， ，，， 所以的取值范围为. （3）由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为，解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 14．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3). 【详解】（1）当时，则， 由，得， 原不等式的解集为； （2）由， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）由即在上恒成立，得. 令，则， 当且仅当 ，即时取等号. 则，.故实数a的范围是 15．【答案】(1)8小时；(2)1.6 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂， 所以其浓度为 当时，，解得，此时， 当时，，解得，此时， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时． （2）设从第一次喷洒起，经小时后，其浓度因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 所以其最小值为，由，解得， 所以a的最小值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$