福建省泉州第一中学等四校联盟2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

“泉州一中、度外石狮分校、泉港一中、德化一中”四校联盟 2024一2025学年第二学期期末考 高二数学试题 命题人：陈学充刘冰郭患勇 前国文 （考试时间：120分钟 总分：150分) 一、单进题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 的 1.已知集合A兰{x(x+1)(x-3)<0}、B={0,1.2,3,4.5},则AnB=() A.{0,1,2 B.{1,2,3 C.{-1,0,1,2} D.{0,1,2,3} 2.已知函数/)的定文城为(-2,2引，则函数g()=/-的定义城为( √x- A.（-1,) B.{母 C.(13) D.（-E3) 3,用4种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂木同的颜色，则不同的涂法有()种 A.16 B.24 C.36 D,48 4.(x2+1的展开式中x的系数是() ① A.1 B.2 C.4 D.6 ② [-x-ax-5,xsl. 已知函数f八x)=1a,x>1 是R上的增函数，则a的取值范围是() A.-3≤a≤-2B,as-2 C.-3sas0 D.as0 6.某中学选派一支代表队参加全市辩论比赛，现有“初心”、“使命”两支预备队.选哪支队是随机的， 其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命“队获胜的概率为0.7，该中学在比赛中获胜的条件下， 选“使命”队参加比春的概率为（) 2 A. 3 c. 7 D.5 7.若a>0.b>0且a+b=4,则下列不等式但成立.的是() A.a+b258 C.√G+vbs2W2 8,没函数f)=(ar-6-).若fy)s0恒成立，则的最小值为() A。+1 B.-1 c. D,1 e 二、多选恩：本题共3小题，每小愿6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要 求，全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9。下列说法正确的是(） A.若a>b,则ae2>bc B.命题“xeR,1<f(x)s2"的否定是“xeR,f(x)≤1或f(x)>2” c如果ab>0,那么」<"是“a>b"的充分不必要条件 D.当xeR时，不等式a2-x+1>0恒成立，则k的取值范围是[0,4) 10.己知m,n均为正数，随机变量X的分布列如下表，则下列结论一定成立的是() 1 2 Pnm A.2m+n=】 B.P(X=1)<P(X+1)C.E(X)=1 D.D(2X+1)<I 第1页，共4页 扫描全能王创建 11.若平面点集M满足：对任意点(x,y)eM,存在正实数1，都有（红，y)EM,则称该点集M为“1阶 关联点集”，则下列命题为真命题的是() A.若M=(x,)x之y,则M是"3阶关联点集” B.若M=(3y)川y=2x}是“1阶关联点集”，则1为任意正实数 cw-c小 则M不是“！阶关联点集 求 D.若M={(x,y川y之是“阶关联点集”，则1<1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线y=4sinx在x=0处的切线与am-y=0平行，则a的值为 13。一批产品的一等品率为子，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取n次，用X表示抽到的一等品 的件数，若E(X)=Z,D(X)∈Z,则满足条件的n的最小值为 种 4在数列a,中，4=3,2+++品=1+分与aN),则a=一者a,之 a,a, 对所有n∈N恒成立，则入的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(满分13分) 为考察国产14钠米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对 两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 的， 良品 次品 合计 牛下， 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 m 180 500 (1)求m,n的值，并以频串估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率： (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能香判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差 异7 n(ad-be) 附：X=(a+bc+da+cXb+d 其中n=a+b+c+d为祥本容量 目的要 0.05 .01 0.001 X 3.841 6.635 10.828 扫描全能王创建 16.(满分15分) 已知数列{an}满足4=1，a:= a.+2,n为奇数， 2an,n为偶数， (1)记b.=a,+2,求6,6，并证明数列{b}是等比数列： (2)记G,=aa+3,求满足G+G3+G++cn<100的所有正整数n的值. 17.(满分15分) 随著中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技 升级的研发费用，需了解该产品年研发费用x(单位：千万元对年销售量y(单位：于万件)的影响，根 据市场调研与模拟，对收集的数据(，y)=1,2,3,,10)进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 下： 10 4% 》4 6 30.5 15 15 46.5 024681012141618202224262830x 表中4，=如x,y=ny, (1)根据散点图判断，y一Q+bx与y=cx哪一个更适合作为年销售量y关于年研发费用x的回妇方程 棋型（给出判断即可，不必说明理由）： (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年 销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率X大幅提高，经试验统计得X大致服从正态分布N(0.52,0.01).企业对 科技升级团队的奖励方案如下：若X不超过50%，不子奖励：若X超过50%，但不超过53%，每件产品 奖动2元：若X超过53%，每件产品奖励4元，记Y为每件产品获得的奖励，求E(Y)(精确到0.01). 附：①对于一组数据(4，)=12,3，，n),其回归直线v=a+&的斜率和藏距的最小二乘估计分别为 .2--前- 一， a=v-bu. 24-或 买- ②若随机变量X~N(4o2)(a>0),则P(μ-g<X≤4+o)*0.6827,P(u-2a<X≤μ+2a)0.9S45 ⑧e≈2.7. 笛？而tA而 扫描全能王创建 18.(满分17分) 己知函数f(x)=lnx+a, (1)若a=0, ①求函数g(x)=c-f(x)的单调区间： ②求证：。2>f(x: (2)若对任意xe(0,+∞)，都有。-"2f(x)(e为自然对数的底数)，求a的取值范霸. 19.(满分17分) 某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的深 事为}，前一局腐后下一局继续赢的概率为；，前一局输后下一局赢的概率为行如此重复进行，记甲同 学第1局案的概率为P(i∈N): (1)求乙同学第2屁赢的概率： (2)求P: (3)若存在I,使e-h(P+1)+k20成立，求整数k的最小值. 第4页，共4页 扫描全能王创建“泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中”四校联盟 2024一2025学年第二学期期末考高二数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.A【解】由题设A={x-1<x<3},B={0,1,2,3,4,5},则A∩B={0,1,2}.故选：A. 「-2<x-1<2 2.C【解】要使g(x)有意义，则 解得1<x<3,所以g(x)的定义域为(L3).故选：C. x>1, 3.D【解】区域②有4种选择，区域③有3种选择，区域①和④各有2种选择，由分步乘法计数原理可知， 不同的涂法种数为4×3×2×2=48种.故选：D. 4.D【解】仁项展开式的通项为71=C(x2)1=C时x(0≤k≤4，keZ),令82k4,解得k=2, 所以x6的系数是C=6,故选D. 5.A【解】由f(x)是R上的增函数，则a<0 ,解得-3≤a≤-2.选：A. -1-a-5sa 6.D【解】依题意，记选“初心”队为事件A,选“使命”队为事件B,该单位获胜为事件M, 则P(A)=PB)=0.5,P(M|A)=0.8,PM1B)=0.7, 因此PM)=P(4)P(M|A)+P(B)P(M|B)=0.5×0.8+0.5×0.7=0.75,所以选“使命”队参加比赛的概率 PCBIM)-0)B)5 P(M 07515·故选：D. 7.C【解】对于A,由ad2+b2≥2ab可得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b),又a+b=4,所以 2(a+b2)≥(a+b)=16,即d+b2≥8，当且仅当a=b=2时等号成立，故A错误： 对于B,由已知a+b=422函，即0<a的≤4，所以品之子当且仅当a=8=2时等号成立，故B错误： 对于C,由a+b≥2ab可得2(a+b)2a+b+2d=(Na+b),，所以可得8≥(Na+B,即 √a+√b≤2W2,当且仅当a=b=2时等号成立，即C正确： 当且仅当a=b=2时等号成立，可得D错误.故选：C 8.B【解】令f)=0,可得x=上或e,由腿意可知，上=c,得b=-lna,将b=-na代入，可得 a 2=-ha,令ga)=-na,求导得g'回=1+na,令g(a)=0,解得a=e,g(e=e=-.当a<e aa a a ee 时，g(a<0,g(a)单调递减，当a>e时，g'(a)>0,g(a单调递增，因此，a=e时，g(a)取得极小 值，即合的最小值为、故选：B。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.BD【解】对于A,当c=0时，ac2=0=bc2,故A错误： 对于B,命题“3x∈R,1<f(x)≤2”的否定是“xeR,f(x)≤1或f)>2”,故B正确： 对汗C若心>0,8，则-a0,则哈君品<0即后行必要性度立 a b ab 若小、01,1，则}1.b0<0,所以b<a,充分性成立，所以如果b>0,那么“”是“a>b” a b ab a b 的充要条件，故C错误： k>0 对于D,当k=0时，1>0恒成立，当k≠0时，则 △=-4k<0'解得0<k<4,综上所述，ke[0,). 第1页，共4页 故D正确.故选：BD. 10.AC【解】由题意，2m+n=1且m,n>0,而P(X-1)=n,P(X≠1)=2m大小不确定，故A正确，B 错误；E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)=n+2m=1,故C正确： 由E(X)=0×P(X=0)+12×PX=1)+22×PX=2)=n+4m, 所以D(2X+1)=4D(X)=4[E(X2)-E2(X]=4(n+4-1)=8,不一定小于1，故D错误；故选：AC 11.ABC【解】对于A,由x≥y可得3x23y,故M是“3阶关联集”，即A正确： 对于B,若M={(x,y)川y=2x}是“t阶关联点集”，则少=2，则t为任意正实数，故B正确： 对于C,因 2+y2=1,而 3 2 +广=1故M不是阶聚合点集，即C正确： 4 33694 对于D.法一：若M=,之是t阶关联点集3则2瓜，当1=)=4，=3时。 匠-号放2派不立，放D错灵 9> 法二：因M={(x,川y2V是“t阶关联点集”，则y2≥，因1>0，可得w2≥x,又因y≥x, 依题意可得t≥1，反之也成立，故D错误.故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【解】由y=4sinx得y'=4cosx,则yLo=4os04,又axy=0,即y=x与曲线y=4sinx在x=0 处的切线平行，则a=4. 13.【解1显然X-A写引()-凯D-号-到-n,又ez.x)ez. ∴是9的倍数，故n的最小值为9. 14.【解】解：由于弘+3+…+3=1+ aa a+123 所以当r≥2时，有马+超++3和=1+是+ +…+1+n- a ay a 23 n1+2, 两式相减可得弘=上+1”+2 a.+122n 会牛2，当n=1时，求得4=6，即2=2也符合该递推关系，所以 即当n≥2时，8u=6n a=8.a= 6” n(n+1), ad2a 由于a眉)u+.e, 3 3 (n+1)(n+2) 由于Cu= 2 2m+4_名4，当n=4时，6，=6，当n<4单调递增，当加>4单调递 3n33n n(n+1) 3 减，所以G<6<G,<c=C,>6。>,故数列最大项为320 81 即12320 81 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.【解】(1)由题意得1=170+150=320，n=170+80=250. …2分 808 样品中，国产14纳米光刻机次品的频率为 …*…小分 25025' 所以国产14纳米光刻机的次品率约为P=25: 8 (2)零假设H。:国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异，…7分 根据列联表中的数据，经计算得到x= 500×17000-12000)2125 320×180×250×25036 ≈3.472<6.635=.01·10分 根据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，…12分 因此可以认为H。成立，即认为两种光刻机没有差异。…13分 第2页，共4页 16.【解】(1)由题意，4=3,4=6，a,=8,所以么=5，b,=10,…3分 又两为2会号2之兰2 …7分 所以数列{地n}是首项为5，公比为2的等比数列；……8分 (2)由(1)知bn=5×2,所以Cn=5×2-+1,…10分 所以G+C2+C,+…+cn=5×(2°+2+4+2-1)+n=5×2+n-5,…12分 因为9+c+G+…+c,单调递增，且91+C2+C3+C,=79<100<1+c2+C3+c4+C=160,…14分 所以正整数n的所有取值为1,2,3,4。…15分 17.【解】(1)根据散点图可判断，y=cx更适合作为y关于x的回归方程模型.…2分 (2)由y=Cx得：血y=hc+dhx,即v=nc+dl,…3分 由表中数据得：v=u=1.5, …4分 艺-脑 所以d= 30.5-10×1.5×1.5_1 -m 46.5-10×1.5×1.53' …6分 所以nc=-dm=1.5-x15=1,所以c=e,7分 3 所以y关于x的回归方程为y=ex3 …8分 当x=27时，y=3≈81，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件.…9分 (3)因为l-2石=0.5，l+0=053,…10分 所以P(0.50<X≤0.53)=P(L-2o<X≤+G) =PUu-2G<X≤L-o)+PUu-G<x≤u+o)=09545-0.682 +0.6827=0.8186,…12分 所以PX>0.53)=Px>1+o)=1-0682 ≈0.1587， …13分 2 所以B()=0+2×0.8186+4×0.1587=2.272≈2.27（元）.…15分 18.【解】1)解：①当a=0时，函数f(y=hx,可得g)=e-nx,则g')=e- 1分 令=g)-e上可得创-e+宁>0， 所以h(x）在(0，十∞)单调递增，且h1)=0,…2分 当x∈(0,1)时，h()<0,即g(x)<0,g(x)在(0,1)单调递减： 当x∈(1，+0)时，h(x)>0,即g(x)>0,8(x)在(1+0)单调递增，…3分 所以g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(L,+∞). …小分 ②（法-）证明：令g(y)=c3-hx,可得g(x)=e: …5分 x 令m=g)-e可得m)=e节>0 所以8()在(0，+∞)上单调递增，且g)=】-1<0,g(2)=>0,…7分 e 所以存在3m∈L2),使得g'(m)=0,当xe(0,m)时，g'(x)<0:当x∈(m,+o)时，g'(x)>0, 所以8()在(0，m)单调递减，在(m,+o)单调递增，可得g(r).=g(m=c2-血m, …9分 又由e-=,可得m-2=-lnm,则g(m)=+l-2>0,所以g()>0,即e2>hx.…10分 (法二)易证e-2≥x-1≥nx(略)，不能同时取等，故e-2>hx. 第3页，共4页 (2)解：（法一）设gs)=c-血x-a,则g()=e-1,显然g(s)在(0，+o)上递增，…11分 i设g(）=e-=0,则a=元+，…12分 当xe(0,)时，8(x)<0;当xe(x,+o)时，g'(x)>0, 所以g(x)在(0，x)上单调递减，在(。，十∞）上单调递增，…13分 所以8a.(田)=g化)=c-h飞-a=}-,-2h无≥0， …………14分 。 ◆o-2.则到-1是1-2-任c0 …15分 x2 h-2hx在(0+四递减，因为h00,所以≤1，… 所以a=无+nx≤1，所以实数a的取值范围为(-o0,门.…17分 (法二)由e-a≥lnx+a,可得e+x-a≥lnx+x,则e#+x-a≥es+nx,令h(x)=e+x,可得 H(x)=e+1>0,所以h(x)在(-n,+o)上递增，又由h(x-a≥h(lnx),可得x-a≥血x,所以a≤x-nx, 令9=-血x,可得p-1由()=0，解得x1,冬9)>0，可得x1:令9(k0,可 得0<x<1,所以函数p(x)在1，+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以p(r)。=p(1)=1,所以a≤1， 所以实数a的取值范围为(-n,刂 19.【解】由题意，甲第2局赢的概率为B=×2+1-x名-19 ……2分 25 2330 所以乙赢的概率为P=1-19_业 3030 …3分 a)已知i22时，-+0-古+子所以P音-， …5分 又月子所爱列化骨是首项为官公比为古的等比数列， …6分 所以P-名（安(，所以=（安（启+eN): …8分 (3)e-h(R+1)+k20,即k2h(R+1)-e, …9分 令f)=ne+D-e,则f)=1-e, x+1 …10分 因为y=点和7=心在@+)上递减，所以国在Q+网上递减， 因为0)=0，所以x>0时，f"(x)<0,则f)在(0，+m)上递减， 显然P>0i∈N),因此要求n(P+1)-e的最大值，即求P的最小值，…I2分 又R=(令（启eN).所烈u为偶数时，P ,i为奇数时，P< …l3分 8 8 且当为商爱时，=（皮（宁一管白是取调运增的 所以R=是P)中的最小值，所以k≥0+为-c, …15分 又f(x)=ln(r+1)-e在(O,+o)上是减函数， 所以兮<f0=-1,而e<2,故f分=0+孕-e2>-2 …16分 所以-2<0+约-。<-山，所以满足k≥0+-c的整数k的最小值为-1.…17分 第4页，共4页