精品解析：福建省泉州第七中学2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

泉州七中2024~2025学年第二学期七年级数学期末考试 一、单选题：（每小题4分，共40分） 1. 年月日是第九个“中国航天日”，年前的今天，我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，拉开了中国人进入太空的序幕．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 3. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如果是关于的二元一次方程的解，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 足够多的如下四种正多边形瓷砖（如图①为正三角形瓷砖），则下列不能铺满地面的瓷砖是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将绕点A逆时针转得到，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题6分，共24分） 11. 已知，请用含的代数式表示，则______． 12. 已知，，则________． 13. 如图，小明从A点出发，前进1m到点B处后向右转，再前进1m到点C处后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _____m． 14. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 15. 整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的不等式的解集是________． x 0 1 2 2 0 16. 如图，若，平分，，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有______．（只填序号） 三、解答题（共86分） 17. （1）解方程：． （2）解方程组： 18. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 19. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： （1）把向下平移2个单位长度得到的； （2）画出格点关于直线对称的； 20. 如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． （1）的度数为________； （2）求的度数． 21. 已知a，b，c满足，． （1）________，________（请用含c的代数式表示a，b）． （2）若代数式的值与c的取值无关，求m的值． 22. 好学的小安同学习惯超前学习，他知道等腰三角形有一个重要性质：“等边对等角”．即“在中，若，则”．请你运用这个知识解决下面问题： 如图1，将正方形的边绕点逆时针时针旋转至，旋转角为，连接，点线段延长线上一点． （1）当时，则__________度； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得到，求证：三点在同一条直线上． 23. 【活动思考一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 如图2，小明画出了汽车与右侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方的点O处，，右侧后视镜用线段表示，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点H为线段上的任意一点，且点H为入射点． （1）若，则图2中入射角等于________°； （2）请用无刻度的直尺与圆规补全图2中的反射光线； （3）由（2），我们把称为司机观察车右侧的“给力视野”，当入射点H与点E重合时，“给力视野”最大，最大值为________°． 【活动思考二】当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡，会形成我们常说的车尾盲区（如图3）．在平直的公路上有一辆货车匀速行驶，正后方跟随一辆速度为20米/秒的小汽车．若此时货车司机紧急刹车，那么后方的小汽车司机也随即刹车，但小汽车司机有一个1.5秒的反应时间．已知货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为15米，小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为40米，货车车尾盲区为货车正后方的5米区域．请作答： （4）在货车刹车前，小汽车应与货车至少保持多少米的安全距离，才不会闯入货车的车尾盲区？ 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 25. 已知：中（如图），是边上一点，当时，我们很容易通过作三角形的高，推理得．请你根据以上结论解决下列问题： 如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，的延长线交于点，，． （1）若，，求的度数； （2）设的面积为，点分别在线段上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，，当取得最小值时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州七中2024~2025学年第二学期七年级数学期末考试 一、单选题：（每小题4分，共40分） 1. 年月日是第九个“中国航天日”，年前的今天，我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，拉开了中国人进入太空的序幕．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、不存在一点，图形绕该点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、不存在一点，图形绕该点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、不存在一点，图形绕该点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、存在一点，图形绕该点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：． 2. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可． 【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得， ∴“”中应填的符号是“”， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． 3. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 4. 如果是关于的二元一次方程的解，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将代入二元一次方程中，可得，解方程即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解， ∴将代入二元一次方程中， 即， 解得， 故选：A． 5. 足够多的如下四种正多边形瓷砖（如图①为正三角形瓷砖），则下列不能铺满地面的瓷砖是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键． 【详解】解：A、等边三角形内角的度数为，，正三角形瓷砖能铺满地面，不符合题意； B、正方形各内角的度数为，，正四边形瓷砖能铺满地面，不符合题意； C、正五边形各内角的度数为，，正五边形瓷砖不能铺满地面，符合题意； D、正六边形各内角的度数为，，正六边形瓷砖能铺满地面，不符合题意； 故选：C． 6. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】五只雀、六只燕，共重斤（等于两），设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，互换其中一只，恰好一样重，由此可确定等量关系列方程． 【详解】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，五只雀、六只燕，共重斤（等于两）， ∴， 互换其中一只，恰好一样重， ∴，即， 联立方程组得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题意，找出数量关系，根据等量关系列方程是解题的关键． 7. 在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案． 【详解】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， 设∠A＝x，则x+2x+3x＝180， 解得：x＝30°， ∴∠C＝30°×3＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键． 8. 若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分别解两个不等式，确定解集的公共部分存在的条件，进而求出m的取值范围． 【详解】解第一个不等式， 得； 第二个不等式， 若不等式组有解，需满足和有公共部分， 即， 解得， 当时，与无解， 故选C． 9. 如图，在中，，，将绕点A逆时针转得到，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定与性质，根据旋转的性质可得，，，，由此即可判断结论①和③正确；根据角的和差可得，再根据平行线的判定即可判断结论②正确；假设，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，这与相矛盾，由此即可判断结论④错误． 【详解】解：∵将绕点A逆时针转得到， ∴，，，， ∴①和③正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴②正确，符合题意； 假设，则， ∴是等边三角形， ∴，这与相矛盾， ∴假设不成立，④错误，不符合题意； 综上所述，结论正确的有①②③， 故选：A． 10. 已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．把关于的一元一次方程两边同时乘得：，然后根据关于的一元一次方程的解为，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解，关于的一元一次方程两边同时乘得： ， ， 关于的一元一次方程的解为， ，即， 解得：， 故选：C． 二、填空题：（每小题6分，共24分） 11. 已知，请用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用移项即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 12. 已知，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：10． 13. 如图，小明从A点出发，前进1m到点B处后向右转，再前进1m到点C处后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 _____m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和．根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个正十八边形， 因此所走的路程为， 故答案为：． 14. 等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 15. 整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的不等式的解集是________． x 0 1 2 2 0 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格得到当时，是解题的关键．根据表格数据的变化特点即可求解． 【详解】解：由得，， 根据表格可知，的值随的增大而减小，当时，， ∴当时，，即， 故答案为：． 16. 如图，若，平分，，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有______．（只填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等，由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义得，即可得，即可判定①；进而可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，又由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即得，可得，即可判定③；由平行线的性质和三角形内角和定理可得，即可判定④；延长交于，可证，得到，，可得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故④)错误； 如图，延长交于， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确结论是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共86分） 17. （1）解方程：． （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和二元一次方程组，熟练掌握方程的解法是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后通过移项和合并同类项即可求解； （2）利用代入消元法即可求解． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得； 【小问2详解】 解∶由①，得③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 18. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①得： 由②得： 此不等式组的解集为：． 19. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： （1）把向下平移2个单位长度得到的； （2）画出格点关于直线对称的； 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别找到点，再依次连接，即可作答． （2）根据轴对称的性质，分别找到点，再依次连接，即可作答． 【小问1详解】 解：为向下平移2个单位长度得到的图形： 【小问2详解】 解：为关于直线对称的图形． 20. 如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． （1）的度数为________； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是： （1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 21. 已知a，b，c满足，． （1）________，________（请用含c的代数式表示a，b）． （2）若代数式的值与c的取值无关，求m的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，加减消元法，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）两式相加，相减，得到关于，的式子，进一步用含c的代数式表示a，b即可； （2）求出，化简后根据代数式的值与c的取值无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵①，②， ∴，得：，故； ，得：，故； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵代数式的值与c的取值无关， ∴， ∴． 22. 好学的小安同学习惯超前学习，他知道等腰三角形有一个重要性质：“等边对等角”．即“在中，若，则”．请你运用这个知识解决下面问题： 如图1，将正方形的边绕点逆时针时针旋转至，旋转角为，连接，点线段延长线上一点． （1）当时，则__________度； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得到，求证：三点在同一条直线上． 【答案】（1）45° （2） 证明：由旋转的特征得： ， ， ， ， （方法一） ， 又是由绕点顺时针旋转得到， ， ， ． ， 即三点在同一条直线上． （方法二） ， 又是由绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 即三点在同一条直线上． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质易得，由旋转的性质推导出，再利用三角形内角和定理列出关系式，化简计算即可得到； （2）类比上面的思路，利用上面的结论，根据等腰三角形的性质，等边对等角，通过角的和差关系式推导出是平角，结论得证； 【小问1详解】 解：四边形是正方形 ∵绕点逆时针时针旋转至，旋转角为 即，，， 当时： ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、旋转性质，解题的关键是通过角的和差关系式推导出是平角． 23. 【活动思考一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 如图2，小明画出了汽车与右侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方的点O处，，右侧后视镜用线段表示，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点H为线段上的任意一点，且点H为入射点． （1）若，则图2中入射角等于________°； （2）请用无刻度的直尺与圆规补全图2中的反射光线； （3）由（2），我们把称为司机观察车右侧的“给力视野”，当入射点H与点E重合时，“给力视野”最大，最大值为________°． 【活动思考二】当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡，会形成我们常说的车尾盲区（如图3）．在平直的公路上有一辆货车匀速行驶，正后方跟随一辆速度为20米/秒的小汽车．若此时货车司机紧急刹车，那么后方的小汽车司机也随即刹车，但小汽车司机有一个1.5秒的反应时间．已知货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为15米，小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为40米，货车车尾盲区为货车正后方的5米区域．请作答： （4）在货车刹车前，小汽车应与货车至少保持多少米的安全距离，才不会闯入货车的车尾盲区？ 【答案】（1）40； （2）如图3， （3）100； （4）60米 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了无刻度作图—作一个角等于已知角，三角形的内角和定理，平行线的性质，垂直的定义，线段和差，掌握知识点的应用是解题的关键． 【活动思考一】 （1）设与交于点K，利用平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理得出，然后根据角度和差即可求解； （2）根据作一个角等于已知角的方法即可； （3）设与交于点R，当入射点H与点E重合时，的度数最大值为，利用平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理得出，然后根据角度和差即可求解； 【活动思考二】 （4）先求出米，根据题意得出安全距离为，然后代入求解即可． 【详解】（1）汽车用长方形表示，司机位于车内左前方的点O处，，后视镜与形成的为，的度数不大于，如图2，设与交于点K， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）①以H为圆心，任意长度为半径画弧，交、分别为P、Q，连接； ②以Q为圆心，长度为半径画弧，交弧于点F； ③连接； ∴即为所求； （3）如图4，设与交于点R，当入射点H与点E重合时，的度数最大值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即“给力视野”最大值为， 故答案为：100； 【活动思考二】 （4）∵（米）， ∴（米）， ∴小汽车应与货车至少保持60米的安全距离． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 【答案】任务1： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元；任务2：有3种方案，①购买15套书签，购买1个冰箱贴；②购买10套书签，购买10个冰箱贴；③购买5套书签，购买19个冰箱贴；任务3：王老师购买了4个毛绒玩具 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题关键是： 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； 任务2：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴，根据总费用为560元列出二元一次方程，然后根据x、y都是正整数求解即可； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具，根据四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，列出方程组，整理可得，，根据四种文创商品都购买，得出，解不等式求出b的整数解，即可求解． 【详解】解∶ 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元； 任务2 ：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴， 根据题意，得， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴，，， ∴有3种方案，具体如下： ①购买15套书签，购买1个冰箱贴； ②购买10套书签，购买10个冰箱贴； ③购买5套书签，购买19个冰箱贴； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具， 根据题意，得 由②得，， 把代入①，并化简，得 把代入，得， ∵四种文创商品都购买， ∴， 解得， ∴整数b的值为6， ∴，， ∴王老师购买了4个毛绒玩具． 25. 已知：中（如图），是边上一点，当时，我们很容易通过作三角形的高，推理得．请你根据以上结论解决下列问题： 如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，的延长线交于点，，． （1）若，，求的度数； （2）设的面积为，点分别在线段上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，，当取得最小值时，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（）由三角形内角和定理得，再根据折叠的性质即可求解； （）①作点关于的对称点，则由翻折得点在上，连接，可得，即得，可知当点三点共线且时，的值最小，即为垂线段的长，再利用解答即可求解；②当取最小值时，于点，交于点，，由可得，由得，即得，即得到，可得，设，由 得，进而由列出方程求出即可求解； 本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ， 沿直线翻折得到，点的对应点为， ； 【小问2详解】 解：①如图，作点关于的对称点，则由翻折得点在上，连接， 则， ， ∴当点三点共线且时，的值最小，即为垂线段的长， 如图，于点，交于点，， ∵， ∴， 解得，此时， 的最小值为； ②如图，当取最小值时，于点，交于点，， ，，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得， 设， ， ， ∵， 得， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $